111 專技高考高等考試 結構工程技師 結構學 考古題詳解

111 年・專技高考・高等考試・結構工程技師
試題代碼 結構學

第 一 題25 分

如圖 1 所示梁結構，dd 點為滾支承，bb 點為鉸接，各桿件都有相同之彈性模數 EE 值與慣性矩 II 值，且

EI=250000 kN⋅m2EI=250000\ \mathrm{kN\cdot m^2}

彈簧係數

k=6000 kN/mk=6000\ \mathrm{kN/m}

ee 點有一向下的沉陷位移 Δe\Delta_e。當 bb 點及 cc 點各承受垂直集中載重 72 kN72\ \mathrm{kN} 時，梁結構的彎矩圖如圖 1 所示。求彈簧內力、cc 點及 ee 點的垂直位移。

梁結構各點間距離及彎矩圖數據如下：dd、cc、bb、aa 各點相鄰間距均為 5 m5\ \mathrm{m}；彎矩圖於 cc 點為 120 kN⋅m120\ \mathrm{kN\cdot m}，於 aa 點為 480 kN⋅m480\ \mathrm{kN\cdot m}。

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核心觀念

本題利用彎矩圖的斜率判定剪力，再由剪力跳躍量求彈簧力；接著以彎矩曲率關係計算 cc 點撓度，最後用彈簧變形相容求出 ee 點沉陷。

以下以「向下位移為正、彎矩圖上方為正」表示。彈簧力的方向以作用在梁上的方向表示。

解題方法

1. 由彎矩圖求彈簧力

彎矩圖在 cc 點左右的斜率分別為

Vc−=120−05=24 kN,Vc+=0−1205=−24 kN.V_{c^-}=\frac{120-0}{5}=24\ \mathrm{kN}, \qquad V_{c^+}=\frac{0-120}{5}=-24\ \mathrm{kN}.

因此，cc 點剪力跳躍量為

Vc+−Vc−=−24−24=−48 kN.V_{c^+}-V_{c^-}=-24-24=-48\ \mathrm{kN}.

令彈簧對梁的作用力為向上 FsF_s，則 cc 點的集中力合力為 Fs−72F_s-72。因此

Fs−72=−48⇒Fs=24 kN.F_s-72=-48 \quad\Rightarrow\quad F_s=24\ \mathrm{kN}.

彈簧對梁施加向上 24 kN24\ \mathrm{kN} 的力，表示彈簧受壓。

2. 計算 cc 點垂直位移

由 aa 點固定端的位移與轉角皆為零，使用彎矩曲率關係積分至 cc 點：

vc=−1EI∫caM(x)(x−c) dx.v_c=-\frac{1}{EI}\int_c^a M(x)(x-c)\,dx.

彎矩圖分成 cc 至 bb、bb 至 aa 兩段。令各段局部座標 zz 自該段左端起算：

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第 二 題25 分

如圖 2 所示剛架結構，不考慮桿件的軸向變形，aa 點及 ee 點為鉸支承，桿件有相同彈性模數 EE 與慣性矩 II，且

EI=40000 kN⋅m2EI=40000\ \mathrm{kN\cdot m^2}

求 cdcd 梁桿件的彎矩圖、bb 點及 cc 點的水平位移。

圖示結構之水平尺寸為 4 m4\ \mathrm{m}，垂直尺寸分為四段，每段為 2 m2\ \mathrm{m}；於架構上施加兩個向右之集中水平力，各為 30 kN30\ \mathrm{kN}。

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核心觀念

本題考剛架的直接勁度法，並以「不考慮桿件軸向變形」建立位移相容條件。各構件仍會產生彎曲變形，因此要把彎曲自由度與剛接節點的轉角一併納入分析。

取全域座標 xx 向右、yy 向上，節點轉角逆時針為正。忽略軸向變形後：

  • 豎向桿件的各節點豎向位移相同；由支承條件可知 a,b,c,d,ea,b,c,d,e 的豎向位移皆為零。
  • 水平桿 cdcd 的兩端軸向位移相同，因此 uc=udu_c=u_d。
  • a,ea,e 為鉸支承，兩點平移為零，但支承處可轉動。

解題方法

將兩支集中力作用處分別設為節點 bb 與 ff，把剛架分成五個長度均為 2 m2\ \mathrm{m} 的構件：ab、bc、cd、df、feab、bc、cd、df、fe。各構件採平面剛架元素勁度矩陣組裝，代入 EI=40000 kN⋅m2EI=40000\ \mathrm{kN\cdot m^2}、支承條件及上述位移相容條件，解節點位移與轉角。

解得的水平位移及節點轉角如下：

節點水平位移轉角
aa00−0.0075 rad-0.0075\ \mathrm{rad}
bb0.014 m0.014\ \mathrm{m}−0.0060 rad-0.0060\ \mathrm{rad}
cc0.023 m0.023\ \mathrm{m}−0.0030 rad-0.0030\ \mathrm{rad}
dd0.023 m0.023\ \mathrm{m}+0.0030 rad+0.0030\ \mathrm{rad}
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第 三 題25 分

如圖 3 所示桁架結構，aa、bb、cc 點為滾支承，ee 點為鉸支承，各桿件有相同彈性模數 EE 與斷面積 AA。當單位載重在桁架底弦移動，分別求 aa 點反力、bb 點反力、cc 點反力、mnmn 桿件軸力及 nknk 桿件軸力的影響線。

桁架全長為 30 m30\ \mathrm{m}，底弦分為 1010 個區間，每區間長度為 3 m3\ \mathrm{m}，桁架高度為 4 m4\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題是桁架移動荷重影響線。支承在 a、b、ca、b、c 提供三個豎向反力，ee 提供一個水平與一個豎向反力；對豎向移動荷重而言，四個豎向反力只有兩條整體平衡方程可用，因此不能只靠靜力平衡求解，須考慮桁架變形相容。

解題方法

依圖建立各底弦節點及桿件的座標，以各桿件軸向剛度 EA/LEA/L 組成整體剛度矩陣。對底弦各節點依序施加向下單位力，求得節點位移後，讀取 a、b、ca、b、c 支承反力，並由桿件端點的相對位移求出 mn、nkmn、nk 軸力。

底弦共有 1111 個節點，故需以單位荷重分別作用於 j=0,…,10j=0,\ldots,10 的節點。各影響線的節點縱標為

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第 四 題25 分

如圖 4 所示三層樓構架，各樓層承受水平外力，構架梁柱桿件的彈性模數都為 EE，另構架之柱桿件斷面慣性矩都為 II，且

EI=97200 kN⋅m2EI=97200\ \mathrm{kN\cdot m^2}

而構架之梁桿件斷面慣性矩為無限大。不考慮構架梁柱桿件的軸向變形，求 cc 點水平位移、bb 點水平位移、aa 點及 mm 點固定端的水平反力與彎矩。

圖示結構共有三層，每層高度為 3.6 m3.6\ \mathrm{m}，柱間距均為 4 m4\ \mathrm{m}。各樓層水平外力如下：bb 點施加向右 100 kN100\ \mathrm{kN}，cc 點施加向右 200 kN200\ \mathrm{kN}，dd 點施加向右 300 kN300\ \mathrm{kN}。

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核心觀念

本題考三層構架的側移剛度分析。梁的 EI→∞EI\to\infty，且柱不發生軸向變形，因此各樓層梁保持水平，梁柱接點轉角為零。各柱段可視為兩端轉角受拘束的側移構件，其側移剛度為

k=12EIL3.k=\frac{12EI}{L^3}.

圖中 bb 樓僅有左側第一跨梁，因此只有 aa、ee 兩根柱在 bb 樓受梁拘束；ee 右側兩根柱從基礎連續至 cc 樓，中間沒有 bb 樓梁柱接點。

解題方法

令 ub,uc,udu_b,u_c,u_d 分別為 b,c,db,c,d 點向右的水平位移。每層高度 h=3.6 mh=3.6\ \mathrm m，且

12EIh3=12(97200)3.63=25000 kN/m.\frac{12EI}{h^3} =\frac{12(97200)}{3.6^3} =25000\ \mathrm{kN/m}.

從 bb 到 cc 樓有兩根柱，側移剛度合計 50000 kN/m50000\ \mathrm{kN/m}；從基礎到 cc 樓的兩根連續柱長為 7.2 m7.2\ \mathrm m，合計剛度為 6250 kN/m6250\ \mathrm{kN/m}；cc 到 dd 樓有四根柱，合計剛度為 100000 kN/m100000\ \mathrm{kN/m}。aa 到 bb 樓則有兩根柱，合計剛度為 50000 kN/m50000\ \mathrm{kN/m}。

依各樓層水平力列位移平衡式：

1000[100−500−50156.25−1000−100100][ubucud]=[100200300].1000 \begin{bmatrix} 100&-50&0\\ -50&156.25&-100\\ 0&-100&100 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_b\\u_c\\u_d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100\\200\\300 \end{bmatrix}.

解得

ub=0.0098 m,uc=0.0176 m,ud=0.0476 m.u_b=0.0098\ \mathrm m,\qquad u_c=0.0176\ \mathrm m,\qquad u_d=0.0476\ \mathrm m.
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