110 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

請試述下列名詞之意涵：（每小題 5 分，共 10 分） (一) 應變能（strain energy）。 (二) 諧和條件（compatibility condition）。

Accepted Answer

核心觀念 應變能是材料受力變形時，外力所作的功以彈性位能形式儲存在材料內的能量。卸載後，若材料仍在彈性範圍內，這些能量可由材料釋放。應變能不是外力本身，而是材料因變形而儲存的能量。 定義與公式 對單軸受力構件，若荷重由零逐漸增加至 $P$，相應變形為 $\delta$，應變能為荷重—變形曲線下的面積： $$ U=\int0^\delta P\,d\delta $$ 若構件為線彈性，且 $P$ 與 $\delta$ 成正比，則： $$ U=\frac{1}{2}P\delta $$ 對長度為 $L$、截面積為 $A$、彈性模數為 $E$ 的等截面桿件，承受軸力 $P$ 時，$\delta=PL/(AE)$，因此： $$ U=\frac{P^2L}{2AE} $$ 以應力與應變表示，線彈性材料的單位體積應變能為： $$ u=\frac{1}{2}\sigma\varepsilon =\frac{\sigma^2}{2E} =\frac{E\varepsilon^2}{2} $$ 其中 $U$ 是總應變能，$u$ 是單位體積應變能。一般受力狀態下，應變能可由各方向的應力與應變分量計算。 解題技巧 回答名詞題時，先指出「外力作功儲存在材料中的彈性位能」，再補上荷重—變形曲線下面積及線彈性公式。須注意 $\frac12P\delta$ 僅適用於荷重與變形呈線性關係的情形；非線性材料應使用積分式。 （二）諧和條件（compatibility condition） 核心觀念 諧和條件又稱相容條件，是指結構的變形必須連續且幾何上相容，不得出現彼此矛盾的位移或變形。它描述的是「變形是否能實際發生」，與平衡條件所要求的力平衡不同。

Question 2

考慮一複合懸臂梁受彎矩如下圖所示。梁之斷面上層為塑鋼（FRP），其彈性模數為 $E_f=60\ \text{GPa}$ ；下層鋼材之彈性模數為 $E_s=180\ \text{GPa}$ 。當塑鋼所受之最大撓曲應力為 $100\ \text{MPa}$ 時，鋼材承受之最大撓曲應力為何？

圖示資訊：複合梁受端部彎矩 $M$ ；上層與下層厚度均為 $40\ \text{cm}$ ，梁寬為 $45\ \text{cm}$ 。

Accepted Answer

核心觀念

複合梁各材料黏結良好、截面保持平面，因此各處縱向應變沿梁深呈線性分布。彈性範圍內，材料應力為 $\sigma=E\varepsilon$ ，故兩種材料在同一位置的應力比等於彈性模數比。

複合梁的中性軸須依各材料的彈性模數加權計算：

\bar y=\frac{\sum E_iA_i y_i}{\sum E_iA_i}

其中 $y_i$ 為各層形心至選定基準面的距離。

解題方法

以梁底面為 $y=0$ 。上下兩層寬度均為 $45\ \text{cm}$ 、厚度均為 $40\ \text{cm}$ ，因此鋼材形心位於 $y_s=20\ \text{cm}$ ，FRP 形心位於 $y_f=60\ \text{cm}$ 。

中性軸位置為

\bar y =\frac{(180)(45\times40)(20)+(60)(45\times40)(60)} {(180)(45\times40)+(60)(45\times40)} =30\ \text{cm}

可見中性軸位於鋼材內，距梁底 $30\ \text{cm}$ 。

Question 3

考慮一撓曲剛度（flexural rigidity）不同之兩跨連續梁，其邊界條件及承受彎矩之條件如下圖所示。試求 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 點反力， $B$ 點旋轉角，並請繪出剪力與彎矩分布圖。

圖示資訊： $A$ 、 $B$ 、 $C$ 為連續梁支承點， $AB=a$ 、 $BC=a$ 。左跨 $AB$ 之撓曲剛度為 $2EI$ ，右跨 $BC$ 之撓曲剛度為 $EI$ ；梁於 $B$ 點承受集中彎矩 $M$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題考兩跨連續梁在不同撓曲剛度下的轉角相容與支承反力。A、C 為固定端，故 $	hetaA=	hetaC=0$；B 為滾支承，垂直位移為零，但兩跨在 B 相接，因此共用同一轉角 $	hetaB$。 圖示集中彎矩 $M$ 為順時針。以下取逆時針力矩、向上反力為正，並以正彎矩代表下緣受拉的撓曲彎矩。 解題方法 在無分布荷載、無端點垂直位移的梁段中，端部轉角引起的端力可由梁元素剛度關係求得。端部轉動剛度為 $4EI/L$，端部垂直力與轉角的關係係數為 $6EI/L^2$。 B 點兩側梁段都提供轉動剛度。B 點的轉動平衡為 $$ \left(\frac{4(2EI)}{a}+\frac{4(EI)}{a}ight)	hetaB=-M $$ 因此 $$ \boxed{	hetaB=-\frac{Ma}{12EI}} $$ 負號表示 B 點順時針旋轉。 支承反力 由梁段端部轉角造成的垂直端力： - 左跨 $AB$：A 端為 $\frac{6(2EI)}{a^2}	hetaB$，B 端為其相反數。 - 右跨 $BC$：B 端為 $\frac{6(EI)}{a^2}	hetaB$，C 端為其相反數。 代入 $	hetaB=-\frac{Ma}{12EI}$，得 $$ RA=\frac{12EI}{a^2}	hetaB=-\frac{M}{a} $$ $$ RB=-\frac{12EI}{a^2}	hetaB+\frac{6EI}{a^2}	hetaB =\frac{M}{2a} $$ $$ RC=-\frac{6EI}{a^2}	hetaB=\frac{M}{2a} $$ A、C 固定端的反力矩分別為 $$ MA=\frac{4(2EI)}{a}	hetaB=-\frac{M}{3}, \qquad MC=\frac{2(EI)}{a}	hetaB=-\frac{M}{6} $$ 反力矩負號表示方向均為順時針。垂直反力中，$RA$ 向下，$RB$、$RC$ 向上。 剪力與彎矩分布 令 $x$ 自 A 向右量，則剪力為

Question 4

材料應力—應變曲線圖中，曲線下方的面積越大，代表何種容量越大？ (A) 剛性容量 (B) 彈性容量 (C) 韌性容量 (D) 勁度容量

Accepted Answer

核心觀念 本題主要測驗材料在單軸拉伸試驗中，「應力—應變曲線」（Stress-Strain Diagram, $\sigma$-$\epsilon$ 圖）的幾何特徵所代表的物理意義，特別是應變能密度（Strain Energy Density）與韌性（Toughness）的定義。 1. 曲線下面積的物理意義： 在應力—應變圖中，微小面積為 $dU = \sigma \, d\epsilon$。面積的積分代表單位體積材料所吸收的變形能（應變能密度）： $$u = \int \sigma \, d\epsilon$$ 其單位為 $	ext{N}\cdot	ext{m}/	ext{m}^3 = 	ext{J}/	ext{m}^3 = 	ext{N}/	ext{m}^2 = 	ext{Pa}$。 2. 能量吸收容量的兩大指標： - 回彈模數（Modulus of Resilience，彈性容量）：材料受力至比例限或降伏點（$\epsilony$）前，單位體積所能吸收且可完全釋放的彈性應變能，即彈性段曲線下方的三角形面積： $$ur = \int0^{\epsilony} \sigma \, d\epsilon \approx \frac{\sigmay^2}{2E}$$ - 韌性模數（Modulus of Toughness，韌性容量）：材料由受力開始至破壞斷裂（$\epsilonf$）為止，單位體積所能吸收的總應變能，即整條應力—應變曲線下方的全部面積： $$ut = \int0^{\epsilonf} \sigma \, d\epsilon$$ --- 解題方法 在工程力學與材料力學的標準定義中，未特別限定範圍的「應力—應變曲線下方之面積」，係指自原點至材料斷裂（Fracture）之全範圍積分 $\int0^{\epsilonf} \sigma \, d\epsilon$。 此面積越大，代表材料在破壞前所能吸收的總機械能越多，材料抵抗衝擊與斷裂破壞的能力越強，此性能即定義為韌性容量（Toughness Capacity）或韌性模數（Modulus of Toughness）。

Question 5

某材料的單軸拉伸應力—應變曲線結果如圖所示，下列敘述何者最為恰當？

圖示應力—應變曲線座標：縱軸為應力 $\sigma$ （MPa），標示 $100$ 、 $200$ 、 $300$ MPa；橫軸為應變 $\varepsilon$ ，標示 $0\%$ 、 $1\%$ 、 $2\%$ 、 $3\%$ 、 $4\%$ 。

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Accepted Answer

核心觀念 本題考應力—應變曲線的判讀： - 彈性模數 $E$ 為材料在彈性階段的應力與應變比值，即曲線初始直線段的斜率：$E=\Delta\sigma/\Delta\varepsilon$。 - 降伏強度 $\sigmay$ 是材料開始產生明顯塑性變形時的應力。 - 極限抗拉強度 $\sigmau$ 是曲線所達到的最大工程應力。 解題方法 依圖讀取曲線特徵：曲線進入降伏階段時，應力約為 $280\ 	ext{MPa}$；曲線峰值則約為 $310\ 	ext{MPa}$。因此，圖上所示降伏強度與選項 (B) 的數值相符。 選項分析 - (A) 彈性模數 $E=200\ 	ext{GPa}$：錯誤。 $200\ 	ext{GPa}=200{,}000\ 	ext{MPa}$。若此數值正確，應力增加 $200\ 	ext{MPa}$ 時，彈性應變約為 $0.1\%$。

Question 6

有關梁撓曲應力式 $\sigma=-My/I$，有梁斷面保持平面（plane-remains-in-plane）、均質（homogeneous）、線彈性材料（linearly-elastic material）、微小變形（small deformation）等基本假設。如果材料進入塑性變形，則此應力式應作修改。下列敘述何者最不恰當？ (A) 變形可以允許不再微小。 (B) 線彈性材料的假設不再適用。 (C) 對部分材料進入塑性變形、部分材料保持彈性的階段而言，材料已非均質。 (D) 斷面保持平面的假設不再適用。

Accepted Answer

核心觀念

本題的核心在於「Euler-Bernoulli 梁純彎曲理論（Pure Bending Theory）」公式 $\sigma = -\frac{My}{I}$ 的三大推導基石，以及梁進入**彈塑性彎曲（Elasto-plastic Bending）**時各假設的適用性變化：

幾何運動學假設（Kinematics）——斷面保持平面（Plane Sections Remain Plane）：梁在純彎曲變形前後，橫斷面維持為平面且垂直於變形後的彈性曲線軸線。此幾何假設直接導出縱向軸向應變 $\epsilon_x$ 沿梁斷面高度方向呈線性分佈： $\epsilon_x = -\kappa y = -\frac{y}{\rho}$ 其中 $\kappa$ 為曲率， $y$ 為距中性軸之距離。只要未發生顯著的局部剪切翹曲，無論材料處於線彈性、非線性彈性或塑性階段，斷面保持平面的幾何假說均依然成立。
本構關係／材料法則（Constitutive Law）——線彈性與均質（Linearly-Elastic & Homogeneous）：在彈性範圍內，材料服從一維虎克定律（Hooke's Law）： $\sigma_x = E \epsilon_x$ 。若各點材料性質相同（均質， $E$ 為定值），則應力分佈亦呈線性分佈： $\sigma_x = -E \kappa y$ 。
靜力平衡條件（Equilibrium）：合軸力為零（確定中性軸位置）與合彎矩等於外力彎矩 $M$ （積分得 $M = E I \kappa$ ，進而導出 $\sigma = -\frac{My}{I}$ ）。

解題方法

判定本題的切入點在於區分**「幾何應變關係」與「材料本構關係」**：

撓曲應力公式 $\sigma = -\frac{My}{I}$ 的本質是「幾何線性應變分佈」結合「線彈性虎克定律」後的產物。
當材料由彈性進入塑性階段（如外緣達到降伏應力 $\sigma_Y$ ），改變的是應力與應變之間的對應關係（不再滿足 $\sigma = E\epsilon$ ），而不是斷面的變形幾何模式。
在塑性力學與結構塑性分析中，純彎曲分析依然採用 Euler-Bernoulli 假說，即應變仍與 $y$ 成正比（斷面保持平面），據此方能繪製線性的應變圖，再透過材料之彈塑性應力-應變曲線（如理想彈塑性模型 Elastic-Perfect Plastic）求得非線性的應力分佈與塑性彎矩 $M_p$ 。

選項分析

Question 7

一塊在 $x$-$y$ 平面上之不銹鋼薄板，彈性模數為 $E=2.00	imes10^5\ 	ext{MPa}$，柏松比 $
u=0.25$。今在此不銹鋼板上貼一應變規，應變規方向與 $x$ 軸夾角 $	heta=30^\circ$，並施加均勻應力場 $\sigma{xx}=12.00\ 	ext{MPa}$、$\sigma{yy}=32.00\ 	ext{MPa}$、$	au{xy}=0.00\ 	ext{MPa}$ 於此不銹鋼板之後，其應變規之讀值最接近下列何者？ (A) $3	imes10^{-5}$ (B) $4	imes10^{-5}$ (C) $5	imes10^{-5}$ (D) $6	imes10^{-5}$ 圖示：$x$ 軸與 $y$ 軸互相垂直，應變規方向與 $x$ 軸夾角為 $30^\circ$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考「平面應力下的應變」及「斜向應變規讀值」。薄板受力可視為平面應力，先由虎克定律求出 $x$、$y$ 方向正應變，再用應變轉換式計算與 $x$ 軸成 $30^\circ$ 的應變規讀值。 平面應力下： $$ \varepsilonx=\frac{\sigma{xx}-
u\sigma{yy}}{E},\qquad \varepsilony=\frac{\sigma{yy}-
u\sigma{xx}}{E} $$ 斜向應變規的讀值為： $$ \varepsilon	heta =\varepsilonx\cos^2	heta+\varepsilony\sin^2	heta +\frac{\gamma{xy}}{2}\sin 2	heta $$ 其中 $\gamma{xy}$ 為工程剪應變。 解題方法 題目給定 $	au{xy}=0$，因此 $\gamma{xy}=0$。先計算兩方向正應變： $$ \varepsilonx =\frac{12-0.25(32)}{2.00	imes10^5} =\frac{4}{200000} =2.00	imes10^{-5} $$ $$ \varepsilony =\frac{32-0.25(12)}{2.00	imes10^5} =\frac{29}{200000} =1.45	imes10^{-4} $$

Question 8

平面應力中的純剪元素 $	au{xy}=	auo$，將該元素旋轉 $45^\circ$ 後，與下列何狀態相同？ (A) 圖示元素：旋轉後之坐標軸 $x$、$y$ 上，剪應力分量標示為 $	auo/2$。 (B) 圖示元素：旋轉後之坐標軸 $x$、$y$ 上，剪應力分量標示為 $	auo$，並於部分方向標示 $	auo/2$。 (C) 圖示元素：旋轉後之元素具有正應力或剪應力分量 $	auo$。 (D) 圖示元素：旋轉後之元素於各相關方向標示剪應力 $	auo$。

Accepted Answer

核心觀念 平面應力元素旋轉後，應力分量會依應力轉換公式改變。純剪應力元素旋轉 $45^\circ$ 時會轉成主應力狀態：剪應力為零，兩個互相垂直方向上出現大小相等、正負相反的正應力。 解題方法 原始狀態為純剪應力，因此 $\sigmax=\sigmay=0$、$	au{xy}=	auo$。將座標軸旋轉角度 $	heta$ 後，正應力與剪應力為 $$ \sigma{x'}=\frac{\sigmax+\sigmay}{2} +\frac{\sigmax-\sigmay}{2}\cos 2	heta +	au{xy}\sin 2	heta $$ $$ \sigma{y'}=\frac{\sigmax+\sigmay}{2} -\frac{\sigmax-\sigmay}{2}\cos 2	heta -	au{xy}\sin 2	heta $$ $$ 	au{x'y'}=-\frac{\sigmax-\sigmay}{2}\sin 2	heta +	au{xy}\cos 2	heta $$ 代入 $	heta=45^\circ$，則 $\sin 2	heta=1$、$\cos 2	heta=0$，得到

Question 9

已知一平面應變場之應變為 $\varepsilon{xx}=3.2	imes10^{-5}$、$\varepsilon{yy}=-0.8	imes10^{-5}$，以及 $\gamma{xy}=3.0	imes10^{-5}$，則其最大剪應變 $\gamma{\max}$ 最接近下列何者？ (A) $2.4	imes10^{-5}$ (B) $3.6	imes10^{-5}$ (C) $5.0	imes10^{-5}$ (D) $1.0	imes10^{-4}$

Accepted Answer

核心觀念 本題測驗之重點為材料力學中平面應變狀態（Plane Strain State）下的應變轉換與莫耳圓（Mohr's Circle for Strain）求最大剪應變。 1. 應變莫耳圓特性： 在應變莫耳圓中，橫軸為常應變（正應變）$\varepsilon$，縱軸為「半工程剪應變」$\frac{\gamma}{2}$。 莫耳圓的圓心坐標為 $(\varepsilon{	ext{avg}}, 0)$，半徑為 $R$，其中： $$\varepsilon{	ext{avg}} = \frac{\varepsilon{xx} + \varepsilon{yy}}{2}$$ $$R = \sqrt{\left(\frac{\varepsilon{xx} - \varepsilon{yy}}{2}ight)^2 + \left(\frac{\gamma{xy}}{2}ight)^2}$$ 2. 最大剪應變公式： 面內最大剪應變（In-plane Maximum Shear Strain）$\gamma{\max}$ 定義為莫耳圓最高點與最低點的工程剪應變差值，亦即半徑的兩倍： $$\gamma{\max} = 2R = \sqrt{(\varepsilon{xx} - \varepsilon{yy})^2 + \gamma{xy}^2} = \varepsilon1 - \varepsilon2$$ 其中 $\varepsilon1$ 與 $\varepsilon2$ 為面內兩主應變。 3. 三維空間絕對最大剪應變檢驗： 在平面應變條件下，垂直平面的正應變 $\varepsilon{zz} = \varepsilon3 = 0$。若 $\varepsilon1 0$ 且 $\varepsilon2 < 0$，則主應變大小排序為 $\varepsilon1 \varepsilon3 \varepsilon2$。此時面內最大剪應變即等於空間絕對最大剪應變： $$\gamma{\max,	ext{abs}} = \varepsilon{\max} - \varepsilon{\min} = \varepsilon1 - \varepsilon2 = \gamma{\max}$$ --- 解題方法 步驟一：整理已知應變分量 題意給定之平面應變場分量為： - $\varepsilon{xx} = 3.2 	imes 10^{-5}$ - $\varepsilon{yy} = -0.8 	imes 10^{-5}$ - $\gamma{xy} = 3.0 	imes 10^{-5}$ 步驟二：計算正應變差值與剪應變 計算括號內之兩差值項： - 正應變差值項： $$\varepsilon{xx} - \varepsilon{yy} = 3.2 	imes…

Question 10

一均質彈性金屬板之厚度為 $3\ 	ext{cm}$，該材料之抗剪強度為 $35\ 	ext{MPa}$。現若欲在此金屬板中以沖頭沖打直徑為 $1.8\ 	ext{cm}$ 之圓形螺栓孔，則沖頭之沖力至少應為： (A) $26.7\ 	ext{kN}$ (B) $43.1\ 	ext{kN}$ (C) $59.4\ 	ext{kN}$ (D) $76.4\ 	ext{kN}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考核材料力學中之平均直接剪應力（Direct Shear Stress / Punching Shear）與抗剪強度極限之應用。 1. 沖剪破壞機制： 當圓形沖頭穿透板件時，板材是沿著沖頭外圍圓周、貫穿板厚的「圓柱側表面」發生剪力滑移破壞。 2. 剪斷面積（Shear Area, $As$）： 受剪面積為圓柱側表面積，而非孔洞的圓形截面積： $$As = \pi d t$$ 其中 $d$ 為沖頭直徑（孔徑），$t$ 為板厚。 3. 沖力與抗剪強度之關係： 欲將材料沖剪穿透，外加之沖剪力 $P$ 產生的剪應力至少必須達到材料的極限抗剪強度（$	au{	ext{ult}}$）： $$P{\min} = 	au{	ext{ult}} \cdot As$$ --- 解題方法 1. 整理已知條件並統一單位 計算材料力學題目時，建議一律將長度換算為公釐（$	ext{mm}$），應力以百萬帕（$	ext{MPa} = 	ext{N/mm}^2$）代入，求得之力單位即為牛頓（$	ext{N}$）： 板厚：$t = 3\ 	ext{cm} = 30\ 	ext{mm}$ 沖頭直徑：$d = 1.8\ 	ext{cm} = 18\ 	ext{mm}$ 抗剪強度：$	au{	ext{ult}} = 35\ 	ext{MPa} = 35\ 	ext{N/mm}^2$ 2. 計算剪斷面積 $As$ 剪斷面為直徑 $18\ 	ext{mm}$、高度 $30\ 	ext{mm}$ 之圓柱側表面： $$As = \pi \cdot d \cdot t = \pi 	imes 18\ 	ext{mm} 	imes 30\ 	ext{mm} = 540\pi\ 	ext{mm}^2 \approx 1696.46\ 	ext{mm}^2$$ 3. 計算最小沖力 $P$ 使剪應力達到抗剪強度 $35\ 	ext{MPa}$ 所需之最小力量為： $$P = 	au{	ext{ult}} \cdot As = 35\ 	ext{N/mm}^2 	imes 540\pi\ 	ext{mm}^2 = 18900\pi\ 	ext{N}$$

Question 11

有一截面積為 $4\ 	ext{cm}^2$、長 $30\ 	ext{cm}$ 之均勻鋼棒，承受一軸向拉力 $160\ 	ext{kN}$ 之作用。設彈性模數 $E=200\ 	ext{GPa}$，柏松比（Poisson’s ratio）為 $0.3$，則其側向應變為： (A) $0.002$ (B) $0.0012$ (C) $0.0008$ (D) $0.0006$

Accepted Answer

核心觀念 本題評量均勻斷面桿件在單軸向拉力作用下的彈性變形行為，核心觀念包含： 1. 正向應力（Normal Stress）：桿件承受軸向載重 $P$ 時，斷面之平均正應力定義為 $\sigma = \frac{P}{A}$。 2. 一維虎克定律（Hooke's Law）：材料在等向性線彈性範圍內，軸向正應變與正應力成正比，即 $\epsilon{	ext{axial}} = \frac{\sigma}{E}$。 3. 柏松比（Poisson’s Ratio, $
u$）：材料承受單軸向應力時，側向應變（橫向應變 $\epsilon{	ext{lat}}$）與軸向應變（縱向應變 $\epsilon{	ext{axial}}$）之比值，定義為： $$
u = -\frac{\epsilon{	ext{lat}}}{\epsilon{	ext{axial}}}$$ 取絕對值大小則為 $|\epsilon{	ext{lat}}| = 
u \cdot \epsilon{	ext{axial}}$。 --- 解題方法 步驟一：整理已知條件並進行單位換算 軸向拉力：$P = 160\ 	ext{kN} = 160 	imes 10^3\ 	ext{N}$ 桿件截面積：$A = 4\ 	ext{cm}^2 = 4 	imes 100\ 	ext{mm}^2 = 400\ 	ext{mm}^2$ 桿件長度：$L = 30\ 	ext{cm}$（計算應變時不需使用長度，此為多餘資訊） 彈性模數：$E = 200\ 	ext{GPa} = 200 	imes 10^3\ 	ext{MPa} = 200 	imes 10^3\ 	ext{N/mm}^2$ 柏松比：$
u = 0.3$ 步驟二：計算軸向應力 $\sigma$ $$\sigma = \frac{P}{A} = \frac{160 	imes 10^3\ 	ext{N}}{400\ 	ext{mm}^2} = 400\ 	ext{N/mm}^2 = 400\ 	ext{MPa}$$ 步驟三：計算軸向應變 $\epsilon{	ext{axial}}$ 依虎克定律，軸向拉伸應變為： $$\epsilon{	ext{axial}} = \frac{\sigma}{E} = \frac{400\ 	ext{MPa}}{200 	imes 10^3\ 	ext{MPa}} = 2 	imes 10^{-3} = 0.002$$ 步驟四：計算側向應變 $\epsilon{	ext{lat}}$ 依柏松比定義，受拉伸之桿件在軸向伸長時，側向將產生收縮變形：

Question 12

一直徑為 $2\ 	ext{m}$ 之彈性圓氣球升上天空中，因大氣壓力減小而膨脹。假設仍保持圓球體而直徑增大了 $12\ 	ext{cm}$，則其體積應變為： (A) $0.191$ (B) $0.160$ (C) $0.1236$ (D) $0.06$

Accepted Answer

核心觀念 1. 線應變（直徑應變）定義： 線應變 $\varepsilon$ 為長度變化量與原長度之比值： $$\varepsilon = \frac{\Delta D}{D0}$$ 2. 球體體積與體積應變（Volumetric Strain）定義： 球體體積公式為 $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{\pi}{6}D^3$。工程體積應變 $e$（或記為 $\varepsilonv$）之嚴格定義為體積變化量與原體積之比值： $$e = \frac{\Delta V}{V0} = \frac{V1 - V0}{V0} = \left(\frac{D1}{D0}ight)^3 - 1 = (1 + \varepsilon)^3 - 1$$ 3. 有限變形（精確解）與微小應變近似： 若 $\varepsilon \ll 1$，微小應變近似為 $e \approx 3\varepsilon$。本題直徑應變達 $6\%$，屬於有限變形範疇，命題者採用工程應變之精確定義求解。 --- 解題方法 步驟一：統一單位並計算直徑線應變 $\varepsilon$ 原直徑 $D0 = 2\ 	ext{m} = 200\ 	ext{cm}$ 直徑增量 $\Delta D = 12\ 	ext{cm}$ 膨脹後直徑 $D1 = D0 + \Delta D = 212\ 	ext{cm}$ 直徑之線應變： $$\varepsilon = \frac{\Delta D}{D0} = \frac{12\ 	ext{cm}}{200\ 	ext{cm}} = 0.06$$ 步驟二：建立體積應變與線應變之精確關係式 原體積 $V0$ 與膨脹後體積 $V1$ 分別為： $$V0 = \frac{\pi}{6}D0^3$$ $$V1 = \frac{\pi}{6}D1^3 = \frac{\pi}{6}[D0(1 + \varepsilon)]^3 = V0(1 + \varepsilon)^3$$ 依體積應變之定義： $$e = \frac{V1 - V0}{V0} = \frac{V0(1 + \varepsilon)^3 - V0}{V0} = (1 + \varepsilon)^3 - 1$$ 步驟三：代入數值計算 $$e = (1 + 0.06)^3 - 1 = (1.06)^3 - 1$$ 依二項式展開或直接連乘： $$(1.06)^2 = 1.1236$$ $$(1.06)^3 = 1.1236 	imes 1.06 = 1.191016$$

Question 13

圖示為一平面應力元素之莫耳圓（Mohr’s circle），其中 $C$ 為圓心、 $EF$ 為直徑、 $O$ 為 $(\sigma-\tau)$ 平面座標原點。若已知 $\sigma_{xx}=100\ \text{MPa}$ 、 $\sigma_{yy}=40\ \text{MPa}$ 、 $\tau_{xy}=-40\ \text{MPa}$ ，下列有關本平面應力元素應力之敘述，何者正確？

(A) 最大主應力為 $110\ \text{MPa}$ 。

(B) 最小主應力為 $10\ \text{MPa}$ 。

(C) 莫耳圓直徑 $EF=110\ \text{MPa}$ 。

(D) 最大剪應力為 $50\ \text{MPa}$ 。

圖示標示：縱軸為 $\tau$ ，橫軸為 $\sigma$ ；圓心為 $C$ ，直徑端點為 $E$ 、 $F$ ，並標有 $\sigma_{xx}$ 、 $\sigma_{yy}$ 、 $\tau_{xy}$ 及原點 $O$ 。

Accepted Answer

核心觀念 平面應力的莫耳圓圓心與半徑分別為 $$ \sigma{	ext{avg}}=\frac{\sigma{xx}+\sigma{yy}}{2},\qquad R=\sqrt{\left(\frac{\sigma{xx}-\sigma{yy}}{2}ight)^2+	au{xy}^{\,2}}. $$ 莫耳圓半徑 $R$ 等於最大面內剪應力；最大、最小主應力則分別為 $\sigma{	ext{avg}}+R$ 與 $\sigma{	ext{avg}}-R$。莫耳圓直徑為 $2R$。 解題方法 代入題目數值： $$ \sigma{	ext{avg}}=\frac{100+40}{2}=70\ 	ext{MPa} $$ $$ R=\sqrt{\left(\frac{100-40}{2}ight)^2+(-40)^2} =\sqrt{30^2+40^2} =50\ 	ext{MPa}. $$ 因此最大剪應力為 $50\ 	ext{MPa}$，主應力為

Question 14

一空心不銹鋼管置於光滑地面，內徑 $r$、外徑 $R$、高度 $h$、熱膨脹係數 $\alpha$。今環境溫度由室溫升高 $\Delta T$，則鋼管中空部分的體積變化 $\Delta V$ 為何？ (A) $3\alpha\Delta T\pi r^2h$ (B) $\alpha\Delta T\pi(R^2-r^2)h$ (C) $\alpha\Delta T\pi(R^2-r^2)hr/R$ (D) $3\alpha\Delta T\pi rRh$ 圖示：空心圓管高度為 $h$，內徑為 $r$，外徑為 $R$。

Accepted Answer

核心觀念 均勻、自由受熱的各向同性材料，其每一方向的線應變為 $$ \varepsilon=\alpha\Delta T $$ 因此，小變形下體積應變為 $$ \frac{\Delta V}{V}=3\alpha\Delta T $$ 空心管中空部分的體積變化，可視為內孔各尺寸隨管壁一同熱膨脹。光滑地面不提供水平摩擦約束，管子可自由膨脹。 解題方法 把中空部分視為高度為 $h$、半徑為 $r$ 的圓柱，其原體積為 $$ V{	ext{孔}}=\pi r^2h $$ 內孔的半徑與高度都按比例增加 $\alpha\Delta T$。因此其中空體積的變化量為 $$ \Delta V=3\alpha\Delta T\,V{	ext{孔}} =3\alpha\Delta T\pi r^2h $$ 故依官方答案，選 (A)。 選項分析 - (A) $3\alpha\Delta T\pi r^2h$：正確。 中空部分原體積為 $\pi r^2h$，其體積應變為 $3\alpha\Delta T$，相乘即得體積變化。 - (B) $\alpha\Delta T\pi(R^2-r^2)h$：錯誤。

Question 15

一剛性桿以鉸接的方式垂直懸掛於天花板，並於點 $b$ 以一軸力繫桿與牆壁相連，繫桿的斷面積為 $A=100\ \text{mm}^2$ 、彈性模數 $E=200000\ \text{MPa}$ 。今於剛性桿底部之自由端施加一水平集中力 $P=3\ \text{kN}$ 。試問點 $c$ 之水平位移量 $\Delta$ 最接近下列何者？

(A) $0.13\ \text{mm}$

(B) $0.33\ \text{mm}$

(C) $1.3\ \text{mm}$

(D) $3.3\ \text{mm}$

圖示資訊：剛性桿上端鉸接於點 $a$ ； $a$ 至 $b$ 距離為 $60\ \text{cm}$ ； $b$ 至 $c$ 距離為 $40\ \text{cm}$ ；點 $c$ 受水平力 $P$ ；繫桿由 $b$ 連接至牆壁。

Accepted Answer

核心觀念 本題考剛性桿的力矩平衡、繫桿的軸向變形，以及剛性桿轉動時各點位移的幾何比例。繫桿的軸向伸長量為 $$ \delta=\frac{NL}{AE} $$ 其中 $N$ 為繫桿軸力、$L$ 為繫桿長度、$A$ 為斷面積、$E$ 為彈性模數。 解題方法 由圖可知，剛性桿以 $a$ 點為轉動中心，$ab=60\ 	ext{cm}$、$ac=60+40=100\ 	ext{cm}$；繫桿長 $80\ 	ext{cm}$，水平連接點 $b$ 與牆壁。 先對 $a$ 點取力矩平衡： $$ T(600\ 	ext{mm})=P(1000\ 	ext{mm}) $$ $$ T=\frac{3000	imes1000}{600}=5000\ 	ext{N} $$ 繫桿軸向伸長量為 $$ \deltab=\frac{TL}{AE} =\frac{5000	imes800}{100	imes200000} =0.20\ 	ext{mm} $$ 繫桿水平伸長量等於 $b$ 點的水平位移。剛性桿繞 $a$ 點轉動，因此各點水平位移與距離轉動中心的長度成正比：

Question 16

上下兩端固定之變斷面柱，以均勻材質製成。上半段柱之截面積為 $A$，下半段柱之截面積為 $1.5A$，柱總長 $L$。若環境升溫 $\Delta T$，柱固體材料之熱膨脹係數為 $\alpha$，彈性模數為 $E$，請問上半段柱因這個環境升溫所造成之熱應力 $\sigma$ 為何？ (A) $\sigma=\frac{3E\alpha\Delta T}{5}$ (B) $\sigma=\frac{4E\alpha\Delta T}{5}$ (C) $\sigma=E\alpha\Delta T$ (D) $\sigma=\frac{6E\alpha\Delta T}{5}$ 圖示：柱上半段長度為 $L/2$、截面積為 $A$；下半段長度為 $L/2$、截面積為 $1.5A$；上下兩端固定。

Accepted Answer

核心觀念 上下兩端固定，柱子升溫後不能自由伸長，因此會產生軸向壓力。兩段柱串聯，軸力相同；總自由熱伸長量必須由兩段的彈性縮短量抵銷。 解題方法 令軸力 $N$ 以拉力為正。兩段材料相同，軸向彈性模數均為 $E$。固定端條件要求總變形為零： $$ \sumi\left(\frac{NLi}{EAi}+\alpha\Delta T Li\right)=0 $$ 代入兩段長度及截面積： $$ \frac{N(L/2)}{EA}+\frac{N(L/2)}{E(1.5A)} +\alpha\Delta T L=0 $$ 整理得： $$ \frac{NL}{EA}\left(\frac12+\frac13\right) +\alpha\Delta T L=0 $$ $$ N=-\frac65EA\alpha\Delta T $$ 負號表示軸力為壓力。題目詢問上半段的熱應力，上半段截面積為 $A$，所以：

Question 17

三根不同軸向剛度的線彈性柱子如圖所示，其上覆以一剛性蓋板，今於其上施加一垂直力 $P$ 。若欲使剛性蓋板不因柱子的變形而傾斜，請問施力 $P$ 的作用位置 $x$ 應為下列何者？

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Accepted Answer

核心觀念 剛性蓋板不傾斜，表示三根柱子的軸向變形量相同。柱子的軸向變形為 $\delta=NL/(EA)$；三根柱長相同，因此柱內軸力與軸向剛度 $EA$ 成正比。三柱剛度比為 $1:1:2$，所以支承反力也為 $1:1:2$。 解題方法 令左、中、右三柱的反力分別為 $Ra$、$Rb$、$Rc$。由相同變形量可得： $$ Ra:Rb:Rc=1:1:2 $$ 再由垂直力平衡 $Ra+Rb+Rc=P$： $$ Ra=\frac{P}{4},\qquad Rb=\frac{P}{4},\qquad Rc=\frac{P}{2} $$ 以左側柱 $a$ 的位置為力矩基準，三柱位置依序為 $0,s,2s$。施力位置 $x$ 必須使外力矩與三柱反力矩平衡： $$ Px=Rb s+Rc(2s) $$ 代入反力：

Question 18

一不同彈性材料製作的雙層包心斷面圓桿如圖所示，外層直徑為 $160\ 	ext{mm}$，內層直徑為 $80\ 	ext{mm}$。若外層材料容許剪應力為 $4\ 	ext{MPa}$，內層材料容許剪應力為 $16\ 	ext{MPa}$。若任何一層皆不得超出容許應力，則該圓桿斷面所能承受之扭力至多為： (A) $3.2\ 	ext{kN}\cdot	ext{m}$ (B) $2.4\ 	ext{kN}\cdot	ext{m}$ (C) $1.6\ 	ext{kN}\cdot	ext{m}$ (D) $1.2\ 	ext{kN}\cdot	ext{m}$ 圖示：外層圓環直徑 $160\ 	ext{mm}$，內層圓心實心圓直徑 $80\ 	ext{mm}$。

Accepted Answer

核心觀念 圓軸受扭時，最大剪應力與扭矩的關係為 $$ 	au{\max}=\frac{Tc}{J} \qquad\Longrightarrow\qquad T{	ext{allow}}=\frac{	au{	ext{allow}}J}{c} $$ 其中 $J$ 是該層材料截面的極慣性矩，$c$ 是該層最外側半徑。依本題官方解法，分別計算外層與內層的容許扭矩，再以較小值作為控制扭矩。 解題方法 外層是外半徑 $80\ 	ext{mm}$、內半徑 $40\ 	ext{mm}$ 的圓環： $$ J{	ext{外}}=\frac{\pi}{32}\left(160^4-80^4ight) =60.4	imes10^6\ 	ext{mm}^4 $$ 外層容許剪應力為 $4\ 	ext{MPa}=4\ 	ext{N/mm}^2$，故其容許扭矩為 $$ T{	ext{外}} =\frac{4(60.4	imes10^6)}{80} =3.02	imes10^6\ 	ext{N·mm} =3.02\ 	ext{kN·m} $$ 內層是直徑 $80\ 	ext{mm}$ 的實心圓，半徑為 $40\ 	ext{mm}$： $$ J{	ext{內}}=\frac{\pi}{32}(80^4) =4.02	imes10^6\ 	ext{mm}^4 $$

Question 19

一均質彈性構件斷面積為 $240\ 	ext{mm}^2$，長度 $1500\ 	ext{mm}$，彈性模數為 $50\ 	ext{GPa}$。在溫度 $25^\circ	ext{C}$ 時將其正交安裝在兩固定端（無殘留應力）。假設該構件之熱膨脹係數為 $30	imes10^{-6}/^\circ	ext{C}$，則當周邊溫度均勻上升至 $45^\circ	ext{C}$ 時，該構件之軸向應力絕對值為多少 MPa？ (A) $45\ 	ext{MPa}$ (B) $40\ 	ext{MPa}$ (C) $35\ 	ext{MPa}$ (D) $30\ 	ext{MPa}$ 圖示：構件長度為 $1500\ 	ext{mm}$，兩端固定。

Accepted Answer

核心觀念 構件兩端固定，升溫後不能自由伸長，因此熱膨脹應變會被限制，構件內產生壓縮應力。完全拘束且均勻升溫時： $$ \varepsilon{	ext{總}}=\varepsilon{	ext{機械}}+\varepsilon{	ext{熱}}=0 $$ 其中 $\varepsilon{	ext{機械}}=\sigma/E$，$\varepsilon{	ext{熱}}=\alpha\Delta T$。 解題方法 溫度變化為： $$ \Delta T=45-25=20^\circ	ext{C} $$ 因為構件不能伸長，總應變為零： $$ \frac{\sigma}{E}+\alpha\Delta T=0 $$ 因此： $$ \sigma=-E\alpha\Delta T $$ 代入 $E=50\ 	ext{GPa}=50{,}000\ 	ext{MPa}$、$\alpha=30	imes10^{-6}/^\circ	ext{C}$： $$ \sigma=-(50{,}000)(30	imes10^{-6})(20) =-30\ 	ext{MPa} $$

Question 20

兩不同斷面積實心圓桿 $AB$ 及 $BC$ 相連接如下圖所示，其中 $AB$ 段之斷面積為 $4000\ \text{mm}^2$ ， $BC$ 段之斷面積為 $2000\ \text{mm}^2$ 。現在 $C$ 、 $B$ 斷面二力 $100\ \text{kN}$ 及 $200\ \text{kN}$ 作用之下，其 $AB$ 及 $BC$ 段之正交應力 $\sigma$ 分別為：

(A) $\sigma_{AB}=-50\ \text{MPa}$ ； $\sigma_{BC}=-50\ \text{MPa}$

(B) $\sigma_{AB}=-50\ \text{MPa}$ ； $\sigma_{BC}=50\ \text{MPa}$

(C) $\sigma_{AB}=25\ \text{MPa}$ ； $\sigma_{BC}=-50\ \text{MPa}$

(D) $\sigma_{AB}=-25\ \text{MPa}$ ； $\sigma_{BC}=50\ \text{MPa}$

圖示資訊：桿件由左側 $A$ 經 $B$ 延伸至右側 $C$ ； $AB=0.8\ \text{m}$ 、 $BC=0.6\ \text{m}$ ； $B$ 點作用 $200\ \text{kN}$ ， $C$ 點作用 $100\ \text{kN}$ ，方向依圖示。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查軸向桿件的靜力平衡與正向應力。分段桿件在不同位置受力時，應分別切開桿件，利用各段自由體圖求軸力，再以 $$ \sigma=\frac{N}{A} $$ 計算正向應力。以下採用拉應力為正、壓應力為負。 解題方法 依圖示，$B$ 點的 $200\ 	ext{kN}$ 力向左，$C$ 點的 $100\ 	ext{kN}$ 力向右。先對整根桿件列水平力平衡： $$ RA-200+100=0 \quad\Longrightarrow\quad RA=100\ 	ext{kN} $$ $RA$ 方向向右。 在 $AB$ 段任取截面，取截面左側作自由體。左側只有向右的支承反力 $100\ 	ext{kN}$，因此截面內力對左側自由體向左，$AB$ 段受壓： $$ N{AB}=-100\ 	ext{kN} $$ $$ \sigma{AB} =\frac{-100\,000\ 	ext{N}}{4000\ 	ext{mm}^2} =-25\ 	ext{MPa} $$ 在 $BC$ 段任取截面，取截面右側作自由體。右側的 $C$ 點外力為向右 $100\ 	ext{kN}$，因此 $BC$ 段承受拉力： $$ N{BC}=100\ 	ext{kN} $$

Question 21

二同長度 $L1$ 之均質吊桿 $A$、$B$ 懸吊一長度為 $L$ 之剛體，位置如圖所示。若二桿件之軸向剛度（axial rigidity）分別為 $EAAA$、$EBAB$，則在端點力 $P$ 之作用下，下列何者會使 $A$、$B$ 桿件之內力相同？ (A) $EA=EB$；$2AA=AB$ (B) $EA=2EB$；$2AA=AB$ (C) $2EA=EB$；$AA=2AB$ (D) $EA=EB$；$AA=AB$ 圖示資訊：剛體長度為 $L$，兩吊桿 $A$、$B$ 長度均為 $L1$，分別連接剛體兩端；端點力 $P$ 作用於剛體中央。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查吊桿的軸向變形與剛體的位移相容。吊桿軸向剛度為 $EA$，長度為 $L1$ 時，軸向力與伸長量的關係為 $$ N=\frac{EA}{L1}\,\delta $$ 圖中剛體左端受導向支承，垂直位移為零；吊桿 $B$ 位於剛體中點，吊桿 $A$ 位於右端。剛體轉動時，兩吊桿連接點的垂直位移依距左端的距離成比例。 解題方法 設吊桿 $A$ 連接點向下位移為 $\deltaA$。由剛體轉動的幾何相容關係，中點 $B$ 的位移為 $$ \deltaB=\frac{1}{2}\deltaA $$ 兩吊桿長度同為 $L1$，因此各自的軸力為 $$ NA=\frac{EAAA}{L1}\deltaA $$ $$ NB=\frac{EBAB}{L1}\deltaB =\frac{EBAB}{2L1}\deltaA $$ 要求兩桿內力相同，即 $NA=NB$： $$ \frac{EAAA}{L1}\deltaA =\frac{EBAB}{2L1}\deltaA $$ 約去共同項後，得到

Question 22

兩端固定的直柱，長度為 $L$，斷面積二次慣量為 $J$，剪力模數為 $G$。在直柱三分之一高度處承受一扭矩 $T$ 作用，請問該處會產生多少扭轉角？ (A) $\dfrac{TL}{GJ}$ (B) $\dfrac{2TL}{3GJ}$ (C) $\dfrac{TL}{3GJ}$ (D) $\dfrac{2TL}{9GJ}$ 圖示：柱兩端固定，扭矩 $T$ 作用於距一端 $L/3$、距另一端 $2L/3$ 處。

Accepted Answer

核心觀念 此題考兩端固定軸在中間受扭矩時的扭轉變形相容條件與力矩平衡。軸的扭轉角公式為 $$ \phi=\frac{TL}{GJ} $$ 其中 $T$ 為該段內扭矩、$L$ 為該段長度、$G$ 為剪力模數、$J$ 為斷面極二次慣量。兩端固定表示兩端扭轉角皆為零，因此受扭矩處的轉角，必須同時符合左右兩段軸的扭轉關係。 解題方法 設受扭矩處的轉角為 $	heta$。該處距一端 $L/3$，距另一端 $2L/3$。左右兩段軸分別承受支承反扭矩，且都從固定端的零轉角扭轉至受扭矩處的 $	heta$。 由扭轉角公式，左右兩段的反扭矩大小分別為 $$ T1=\frac{GJ	heta}{L/3}, \qquad T2=\frac{GJ	heta}{2L/3} $$ 在受扭矩處作力矩平衡： $$ T=T1+T2 =GJ	heta\left(\frac{3}{L}+\frac{3}{2L}ight) =\frac{9GJ}{2L}	heta $$

Question 23

一功率為 $30\ 	ext{kW}$ 之馬達具圓形斷面驅動軸，該軸之容許剪應力為 $45\ 	ext{MPa}$。如當馬達轉速為 $500\ 	ext{rpm}$ 時，所產生之扭矩為 $0.57\ 	ext{kN}\cdot	ext{m}$，則此時該驅動軸所需之直徑至少約為： (A) $50\ 	ext{mm}$ (B) $45\ 	ext{mm}$ (C) $40\ 	ext{mm}$ (D) $35\ 	ext{mm}$

Accepted Answer

核心觀念 1. 圓軸扭轉剪應力公式（Torsion Formula）： 實心圓軸受純扭矩 $T$ 作用時，斷面上任一點之剪應力為 $	au = \frac{Tho}{J}$。最大剪應力發生於外表面（$ho = c = \frac{d}{2}$）： $$	au{\max} = \frac{Tc}{J} = \frac{T(d/2)}{\frac{\pi d^4}{32}} = \frac{16T}{\pi d^3}$$ 其中 $J$ 為圓形斷面之極慣性矩（Polar Moment of Inertia），$J = \frac{\pi d^4}{32}$；$d$ 為軸直徑。 2. 容許應力設計準則（Allowable Stress Design）： 軸件設計必須滿足最大剪應力不得超過材料之容許剪應力： $$	au{\max} \le 	au{	ext{allow}}$$ 3. 工程規格選取原則（無條件進位）： 在機械與結構設計中，軸徑尺寸有安全下限門檻。若算出的理論最小直徑超過某一標稱規格，為防止應力超標產生破壞，不可使用一般數學四捨五入捨去，必須向上選取能滿足強度要求的標準規格。 --- 解題方法 步驟一：整理已知條件並統一單位 - 容許剪應力：$	au{	ext{allow}} = 45\ 	ext{MPa} = 45\ 	ext{N/mm}^2$ - 軸所承受之扭矩：$T = 0.57\ 	ext{kN}\cdot	ext{m} = 570\ 	ext{N}\cdot	ext{m} = 570 	imes 10^3\ 	ext{N}\cdot	ext{mm}$ - （備註：題目給定之馬達功率 $P = 30\ 	ext{kW}$ 與轉速 $N = 500\ 	ext{rpm}$，其關係為 $T = \frac{P}{\omega} = \frac{30000}{2\pi 	imes (500/60)} \approx 572.96\ 	ext{N}\cdot	ext{m} \approx 0.57\ 	ext{kN}\cdot	ext{m}$，與題意給定之扭矩完全吻合，解題直接代入題給扭矩數值即可。） 步驟二：列出強度條件式並推導直徑公式 根據實心圓軸扭轉剪應力公式： $$	au{\max} = \frac{16T}{\pi d^3} \le 	au{	ext{allow}}$$ 移項可得驅動軸直徑 $d$ 必須滿足： $$d^3 \ge \frac{16T}{\pi 	au{	ext{allow}}}$$ 步驟三：代入數值計算理論最小直徑 $$d^3 \ge \frac{16 	imes (570 	imes 10^3\ 	ext{N}\cdot	ext{mm})}{\pi 	im…

Question 24

上下翼板等長之 C 型鋼，板中心線的長度標示如圖，腹板與翼板具有均一厚度 $t=5\ \text{mm}$ 。若將腹板加厚為 $8\ \text{mm}$ ，翼板厚度不變，且板中心線的長度與位置維持不變。對於斷面內垂直剪力而言，有關剪力中心（shear center）的位置（相對於原本未加厚時所對應的剪力中心位置）的敘述，下列何者最恰當？

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Accepted Answer

核心觀念

剪力中心是使橫向剪力作用時，截面不產生扭轉的施力位置。此 C 型鋼上下對稱，因此剪力中心位於水平對稱軸上；其相對腹板中心線的位置，可由翼板剪力流對腹板中心線的扭矩求得。

腹板加厚後，截面的垂直方向慣性矩 $I_x$ 增大，翼板剪力流所產生的扭矩比例下降，剪力中心會向腹板中心線靠近。

解題方法

採薄壁截面近似，令腹板中心線長度 $h=320\ \text{mm}$ 、翼板中心線長度 $b=200\ \text{mm}$ 、翼板厚度 $t_f=5\ \text{mm}$ 、腹板厚度 $t_w$ 。

從翼板自由端往腹板量距離 $s$ ，翼板上的剪力流大小為

q(s)=\frac{VQ}{I_x} =\frac{V}{I_x}\,t_f s\frac{h}{2}.

因此單片翼板的剪力流合力為

F=\int_0^b q(s)\,ds =\frac{Vt_fhb^2}{4I_x}.

上下翼板的合力對腹板中心線形成的扭矩大小為 $hF$ 。若剪力中心到腹板中心線的距離為 $e$ ，扭矩平衡給出

eV=hF, \qquad e=\frac{t_fh^2b^2}{4I_x}.

薄壁近似下，截面慣性矩為

I_x\approx \frac{t_wh^3}{12} +2(t_fb)\left(\frac{h}{2}\right)^2.

Question 25

工型梁斷面如圖，此梁斷面承受一剪力 $V=6\ 	ext{kN}$，請問此梁斷面上最大剪應力 $	au$ 之值最接近下列何者？ (A) $0.9\ 	ext{MPa}$ (B) $1.2\ 	ext{MPa}$ (C) $1.7\ 	ext{MPa}$ (D) $2.3\ 	ext{MPa}$ 圖示資訊：工型梁總高度為 $360\ 	ext{mm}$；上下翼板厚度均為 $18\ 	ext{mm}$；腹板厚度為 $10\ 	ext{mm}$；翼板寬度為 $240\ 	ext{mm}$。

Accepted Answer

核心觀念 梁受剪時，截面上的剪應力可用 $$ 	au=\frac{VQ}{It} $$ 計算。其中 $V$ 為剪力、$Q$ 為中性軸一側面積對中性軸的一次矩、$I$ 為整個截面對中性軸的慣性矩，$t$ 為計算位置的截面寬度。 本題截面上下對稱，中性軸位於截面高度中央。腹板上的剪應力最大，因此取腹板厚度 $tw=10\ 	ext{mm}$ 計算。 解題方法 依圖中尺寸，$360\ 	ext{mm}$ 為上下翼板內側之間的腹板淨高，故截面總高為 $360+2(18)=396\ 	ext{mm}$。中性軸至翼板形心的距離為 $$ d=\frac{360}{2}+\frac{18}{2}=189\ 	ext{mm} $$ 在中性軸處取上半截面計算 $Q$，包括上翼板與上半腹板： $$ Q=(240	imes18)(189)+(10	imes180)(90) =978{,}480\ 	ext{mm}^3 $$ 截面對中性軸的慣性矩為

Question 26

矩形梁斷面由兩種材料所構成，彈性模數分別為 $E1=70\ 	ext{GPa}$ 與 $E2=180\ 	ext{GPa}$，受到純彎矩時，其中性軸位置 $c$ 之值最接近下列何者？ (A) $30\ 	ext{cm}$ (B) $40\ 	ext{cm}$ (C) $50\ 	ext{cm}$ (D) $60\ 	ext{cm}$ 圖示資訊：上層材料為 $E1$，厚度為 $80\ 	ext{cm}$；下層材料為 $E2$，厚度為 $20\ 	ext{cm}$；$c$ 為自上方基準面量至中性軸之距離。

Accepted Answer

核心觀念

兩種材料組成的矩形梁受純彎矩時，截面各處的曲率相同，彎曲正應變隨距離中性軸的遠近線性變化。由於兩種材料的彈性模數不同，中性軸不一定通過幾何形心；其位置可由「彈性模數加權形心」求得：

\sum_i E_i A_i (y_i-c)=0

其中 $A_i$ 是各材料區域的面積， $y_i$ 是該區域形心的座標， $c$ 是中性軸座標。

解題方法

依圖示，中性軸座標 $c$ 是自截面底面向上量。截面總高為 $100\ \text{cm}$ ：

下層材料 $E_2=180\ \text{GPa}$ ，厚 $20\ \text{cm}$ ，形心距底面 $10\ \text{cm}$ 。
上層材料 $E_1=70\ \text{GPa}$ ，厚 $80\ \text{cm}$ ，形心距底面 $20+40=60\ \text{cm}$ 。

兩層寬度相同，計算中可約去共同寬度。代入彈性模數加權形心公式：

c= \frac{E_1(80)(60)+E_2(20)(10)} {E_1(80)+E_2(20)}

c= \frac{70(80)(60)+180(20)(10)} {70(80)+180(20)} =\frac{372000}{9200} \approx 40.4\ \text{cm}

Question 27

某地梁受力如圖，下列何者最能代表其壓應力側之彎矩圖？

圖示資訊：梁左端至第一集中力位置距離為 $2\ \text{m}$ ；第一集中力為 $8\ \text{kN}$ ；兩集中力間距離為 $4\ \text{m}$ ；第二集中力為 $8\ \text{kN}$ ；第二集中力右側至梁端距離為 $2\ \text{m}$ ；另有均佈載重 $2\ \text{kN/m}$ 作用於右側 $2\ \text{m}$ 範圍。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查剪力圖與彎矩圖的關係，以及彎矩圖應畫在梁的壓應力側。均佈載重使剪力沿梁長線性變化，因此彎矩呈拋物線；集中力會使剪力跳躍，但彎矩保持連續。

依原圖，向上的 $2\ \text{kN/m}$ 均佈載重作用於全長 $8\ \text{m}$ ，兩個向下集中力各為 $8\ \text{kN}$ ，位置在 $x=2\ \text{m}$ 與 $x=6\ \text{m}$ 。這與題幹文字所寫「右側 $2\ \text{m}$ 範圍」不同；以下依原圖作答。

解題方法

令 $x$ 自梁左端起算，以向上的載重為正。梁端沒有外加剪力與彎矩，故 $V(0)=0$ 、 $M(0)=0$ 。均佈載重使剪力以每公尺 $2\ \text{kN}$ 的斜率增加；遇到向下 $8\ \text{kN}$ 集中力時，剪力向下跳 $8\ \text{kN}$ 。

各區段剪力為：

V(x)= \begin{cases} 2x, & 0\le x<2,\\ 2x-8, & 2<x<6,\\ 2x-16, & 6<x\le 8. \end{cases}

由 $dM/dx=V$ ，並令彎矩在各集中力位置連續，可得：

Question 28

在一跨距為 $L=4.0\ 	ext{m}$ 簡支梁的右端 $3.0\ 	ext{m}$ 範圍內施加一均佈載重 $q=3.2\ 	ext{kN/m}$，請問梁內最大彎矩發生位置 $x$ 最接近下列何者？ (A) $x=2.1\ 	ext{m}$ (B) $x=2.5\ 	ext{m}$ (C) $x=3.1\ 	ext{m}$ (D) $x=3.5\ 	ext{m}$ 圖示：簡支梁全長 $4.0\ 	ext{m}$，右端 $3.0\ 	ext{m}$ 範圍承受向下均佈載重 $3.2\ 	ext{kN/m}$，$x$ 自左支承起算。

Accepted Answer

核心觀念 簡支梁的彎矩極值通常出現在剪力 $V=0$ 的位置，因為梁的彎矩圖斜率滿足 $\dfrac{dM}{dx}=V$。本題均佈載重只作用於梁右端 $3.0\ 	ext{m}$，因此先求支承反力，再由剪力為零的位置找最大彎矩。 解題方法 設左支承反力為 $RA$、右支承反力為 $RB$。均佈載重合力為 $$ W=q(3.0)=3.2(3.0)=9.6\ 	ext{kN} $$ 其作用點位於距左支承 $1.0+1.5=2.5\ 	ext{m}$ 處。取左支承力矩平衡： $$ RB(4.0)=9.6(2.5) \quad\Rightarrow\quad RB=6.0\ 	ext{kN} $$ 由垂直力平衡： $$ RA+RB=9.6 \quad\Rightarrow\quad RA=3.6\ 	ext{kN} $$ 令 $x$ 自左支承起算。載重從 $x=1.0\ 	ext{m}$ 開始，所以載重區內的剪力為 $$ V(x)=RA-q(x-1.0) =3.6-3.2(x-1.0) $$ 令剪力為零：

Question 29

矩形斷面簡支梁承受一偏心軸向力 $P=2\ 	ext{kN}$，梁長 $L=1200\ 	ext{mm}$、深度 $h=60\ 	ext{mm}$，梁斷面橫寬（垂直紙面方向）為 $b=40\ 	ext{mm}$，請問梁斷面之正向應力 $\sigma{xx}$ 之最大值與下列何者最為接近？ (A) $4.81\ 	ext{MPa}$ (B) $7.24\ 	ext{MPa}$ (C) $9.15\ 	ext{MPa}$ (D) $10.8\ 	ext{MPa}$ 圖示：矩形梁長度為 $L$，深度方向為 $h$，偏心軸向力 $P$ 作用於距中性軸 $L/10$ 的位置。

Accepted Answer

核心觀念 偏心軸向力可等效為通過梁斷面形心的軸向力 $P$，再加上一個彎矩 $M=Pe$。因此，梁的正向應力由軸向應力與彎曲應力疊加： $$ \sigma{xx}=\frac{P}{A}\pm\frac{Mc}{I} $$ 其中 $A$ 為斷面積，$I$ 為對中性軸的慣性矩，$c$ 為中性軸至最外纖維的距離。 解題方法 圖示偏心距為梁長的 $L/10$，所以 $$ e=\frac{L}{10}=\frac{1200}{10}=120\ 	ext{mm} $$ 矩形斷面尺寸為 $b=40\ 	ext{mm}$、$h=60\ 	ext{mm}$，故 $$ A=bh=40(60)=2400\ 	ext{mm}^2 $$ $$ I=\frac{bh^3}{12} =\frac{40(60)^3}{12} =720000\ 	ext{mm}^4,\qquad c=\frac{h}{2}=30\ 	ext{mm} $$ 軸向力造成的均勻應力為 $$ \sigmaa=\frac{P}{A} =\frac{2000}{2400} =0.833\ 	ext{MPa} $$ 偏心力造成的彎矩與彎曲應力為 $$ M=Pe=2000(120)=240000\ 	ext{N}\cdot	ext{mm} $$

Question 30

直角 L 形實心圓柱，橫向長度 $s$，高 $L\geq s$，半徑 $r<s$，一端固定於地上，另一自由端承受一垂直指入紙面（負 $z$ 方向）的集中力 $P$，下列敘述何者最不恰當？ (A) 梁內最大剪應力不低於 $\dfrac{P(r+2s)}{\pi r^3}$。 (B) 梁內最大剪應力不低於 $\dfrac{2.40PL}{\pi r^3}$。 (C) 梁內最大剪應力不低於 $\dfrac{2.82Ps}{\pi r^3}$。 (D) 梁內最大剪應力不低於 $\dfrac{3.33Pr}{\pi r^3}$。 圖示：L 形圓柱由水平段長度 $s$ 與垂直段高度 $L$ 組成，頂端受垂直向下集中力 $P$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查圓形截面梁在彎曲、扭轉與橫向剪力共同作用下的剪應力。把自由端的力 $P$ 分解到直角 L 形梁各段後，垂直段會同時承受彎矩 $PL$ 與扭矩 $Ps$。實心圓截面的彎曲正應力與扭轉剪應力為 $$ \sigmab=\frac{4M}{\pi r^3},\qquad 	aut=\frac{2T}{\pi r^3}. $$ 同一點同時受彎曲正應力與扭轉剪應力時，最大剪應力為 $$ 	au{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigmab}{2}ight)^2+	aut^2}. $$ 解題方法 在垂直段底部截面，$M=PL$、$T=Ps$，所以 $$ 	au{\max} =\sqrt{\left(\frac{2PL}{\pi r^3}ight)^2+ \left(\frac{2Ps}{\pi r^3}ight)^2} =\frac{2P\sqrt{L^2+s^2}}{\pi r^3}. $$ 因為 $L\ge s$，可得 $$ 	au{\max}\ge \frac{2PL}{\pi r^3}, \qquad 	au{\max}\ge \frac{2\sqrt{2}Ps}{\pi r^3} \approx\frac{2.82Ps}{\pi r^3}. $$ 這兩個界限可用來判斷選項 B、C。橫向剪力 $P$ 也會在圓截面產生剪應力；實心圓截面的最大橫向剪應力為

Question 31

一長度為 $L$、寬度為 $b$、深度為 $h$ 之均勻矩形斷面懸臂梁，承受如圖所示部分向上、部分向下之均佈載重 $w$。則此梁中之最大撓曲應力 $\sigma{\max}$ 為： (A) $\dfrac{3wL^2}{2bh^2}$ (B) $\dfrac{2wL^2}{bh^2}$ (C) $\dfrac{9wL^2}{4bh^2}$ (D) $\dfrac{5wL^2}{2bh^2}$ 圖示：懸臂梁左端 $A$ 固定、右端 $B$ 自由；梁長度分為兩段，各為 $L/2$。左半段承受向上均佈載重 $w$，右半段承受向下均佈載重 $w$；中間點為 $C$。

Accepted Answer

核心觀念 矩形梁的最大撓曲正應力由彎矩公式計算： $$ \sigma{\max}=\frac{M{\max}c}{I} $$ 對寬度為 $b$、深度為 $h$ 的矩形斷面，$I=\dfrac{bh^3}{12}$、$c=\dfrac{h}{2}$，因此： $$ \sigma{\max}=\frac{6M{\max}}{bh^2} $$ 本題關鍵是先考慮兩段均佈載重方向相反，再找出梁內的最大彎矩。 解題方法 取 $x$ 自固定端 $A$ 起算，令向下的彎矩為負。 當 $0\le x\le L/2$，截面右側包含左半段剩餘的向上載重，以及整段右半部的向下載重。對截面取力矩，可得： $$ M(x)=\frac{w}{2}\left(\frac{L}{2}-x\right)^2 -\frac{wL}{2}\left(\frac{3L}{4}-x\right) =w\left(\frac{x^2}{2}-\frac{L^2}{4}\right) $$ 因此，這一段的彎矩由 $M(0)=-wL^2/4$ 增至 $M(L/2)=-wL^2/8$。 當 $L/2\le x\le L$，截面右側只剩向下載重，故： $$ M(x)=-\frac{w}{2}(L-x)^2 $$ 此段彎矩由 $M(L/2)=-wL^2/8$ 減至自由端的 $M(L)=0$。所以全梁最大彎矩絕對值出現在固定端： $$ M{\max}=\frac{wL^2}{4} $$ 代入矩形斷面的撓曲應力公式：

Question 32

一懸臂梁 $AB$ 由兩根同材料且同為 $15\ 	ext{cm}	imes12\ 	ext{cm}$ 之矩形斷面，但不同長度之彈性桿膠結合成，如圖所示。若材料之容許撓曲應力強度為 $5\ 	ext{MPa}$，則自由端可承受之集中載重 $P$ 至多為： (A) $3.6\ 	ext{kN}$ (B) $2.4\ 	ext{kN}$ (C) $1.8\ 	ext{kN}$ (D) $1.2\ 	ext{kN}$ 圖示資訊：懸臂梁左端 $A$ 固定、右端 $B$ 受集中力 $P$；上、下兩根矩形桿膠結組成梁；上桿長度為 $1\ 	ext{m}$，下桿長度為 $2\ 	ext{m}$；斷面尺寸為 $15\ 	ext{cm}	imes12\ 	ext{cm}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考懸臂梁的彎曲正應力，以及膠結、同材質桿件在重疊區段共同受彎時的截面慣性矩。彎曲應力公式為 $$ \sigma{\max}=\frac{Mc}{I}=\frac{M}{S} $$ 其中 $M$ 為彎矩、$c$ 為中性軸至最外纖維的距離、$I$ 為截面二次矩，$S=I/c$ 為截面模數。 解題方法 由圖可知，$A$ 至 $C$ 的 $1\ 	ext{m}$ 區段由兩根膠結桿件組成；$C$ 至 $B$ 的 $1\ 	ext{m}$ 區段只有上桿。兩桿同材質且膠結，在重疊段按整體截面計算。 在固定端 $A$，彎矩為 $$ MA=P(2\ 	ext{m}) $$ 重疊截面由兩個 $15\ 	ext{cm}	imes12\ 	ext{cm}$ 矩形上下疊合，總高度為 $24\ 	ext{cm}$。以截面中線為中性軸： $$ IA=\frac{15(24)^3}{12}=17{,}280\ 	ext{cm}^4,\qquad c=12\ 	ext{cm} $$ 故截面模數為 $SA=1{,}440\ 	ext{cm}^3$。以 $1\ 	ext{MPa}=0.1\ 	ext{kN}/	ext{cm}^2$ 換算，容許彎矩為 $$ M{	ext{allow}}=(0.5\ 	ext{kN}/	ext{cm}^2)(1{,}440\ 	ext{cm}^3) =720\ 	ext{kN}\cdot	ext{cm} =7.2\ 	ext{kN}\cdot	ext{m} $$

Question 33

一長 $2\ 	ext{m}$ 之懸臂梁 $AB$ 由兩根同為 $20\ 	ext{cm}	imes15\ 	ext{cm}$ 之矩形斷面桿膠結結合成，如圖所示。若黏膠之容許膠結剪力強度為 $2.5\ 	ext{MPa}$，則自由端可承受之集中載重 $P$ 至多為： (A) $150\ 	ext{kN}$ (B) $100\ 	ext{kN}$ (C) $75\ 	ext{kN}$ (D) $50\ 	ext{kN}$ 圖示資訊：懸臂梁左端 $A$ 固定、右端 $B$ 受集中力 $P$；上下兩根矩形斷面桿膠結組成梁；梁長度為 $2\ 	ext{m}$，斷面尺寸為 $20\ 	ext{cm}	imes15\ 	ext{cm}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考懸臂梁受剪力時，兩根矩形桿之間的膠結面會承受縱向剪應力。使用梁的剪應力公式 $$ 	au=\frac{VQ}{Ib} $$ 其中 $V$ 是截面剪力，$Q$ 是膠結面一側截面對中性軸的一次面積矩，$I$ 是整體截面對中性軸的慣性矩，$b$ 是膠結面的寬度。 解題方法 由圖可知，兩根桿上下疊合，每根截面寬 $20\ 	ext{cm}$、高 $15\ 	ext{cm}$。組合後截面寬 $20\ 	ext{cm}$、總高 $30\ 	ext{cm}$，膠結面位於中性軸。懸臂梁受自由端集中力，因此固定端剪力大小為 $V=P$。 取膠結面上方的一根桿計算 $Q$： $$ A=20(15)=300\ 	ext{cm}^2,\qquad \bar y=7.5\ 	ext{cm} $$ $$ Q=A\bar y=300(7.5)=2250\ 	ext{cm}^3 $$ 整體截面的慣性矩為 $$ I=\frac{1}{12}(20)(30^3)=45000\ 	ext{cm}^4 $$ 膠結面寬度 $b=20\ 	ext{cm}$，故 $$ 	au=\frac{P(2250)}{(45000)(20)} =0.0025P\ 	ext{N/cm}^2 $$

Question 34

一矩形薄壁斷面彈性梁，斷面尺寸 $8\ 	ext{cm}	imes12\ 	ext{cm}$，壁厚 $1\ 	ext{cm}$，如圖所示。經計算其強軸慣性矩為 $Ix=652\ 	ext{cm}^4$。若承受載重後在 $y$ 軸產生剪力 $V$，則此斷面之最大剪應力 $	au{\max}$ 為： (A) $0.0529V/	ext{cm}^2$ (B) $0.0738V/	ext{cm}^2$ (C) $0.0917V/	ext{cm}^2$ (D) $0.110V/	ext{cm}^2$ 圖示：矩形薄壁斷面外尺寸為 $8\ 	ext{cm}	imes12\ 	ext{cm}$，壁厚為 $1\ 	ext{cm}$；$y$ 軸為垂直軸，$x$ 軸為水平軸。

Accepted Answer

核心觀念 本題考矩形薄壁斷面承受垂直剪力時的最大剪應力。採用剪應力公式： $$ 	au=\frac{VQ}{Ix b} $$ 其中，$V$ 為剪力、$Q$ 為中性軸一側截面對中性軸的一次矩、$Ix$ 為對 $x$ 軸的慣性矩，$b$ 為該處截面的有效寬度。 解題方法 最大剪應力出現在中性軸處的兩側腹板。先求中性軸上方的材料截面一次矩 $Q$：以外矩形上半部扣除內部空腔上半部。 $$ Q=(8	imes6)	imes3-(6	imes5)	imes2.5 =144-75 =69\ 	ext{cm}^3 $$ 中性軸處截面只有左右兩側腹板，總有效寬度為： $$ b=2	imes1=2\ 	ext{cm} $$ 題目給定 $Ix=652\ 	ext{cm}^4$，代入公式： $$ 	au{\max} =\frac{V(69)}{652(2)} =0.05291V/	ext{cm}^2 \approx0.0529V/	ext{cm}^2 $$ 選項分析

Question 35

懸臂梁左端固定，右端以滾支承架於另一簡支梁中央。兩根梁之材質、尺寸皆相同，彈性模數 $E$ ，跨距 $L$ ，斷面面積二次矩 $I$ 。今於懸臂梁右端施加一集中力 $P$ ，試問梁在受力點之垂直位移為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考「兩根梁接觸支承時的變形相容」。懸臂梁端點向下位移，必須等於下方簡支梁跨中向下位移；接觸處的作用力與反作用力大小相同。 梁的常用撓度公式為： - 懸臂梁自由端受集中力 $F$：$\delta=\dfrac{FL^3}{3EI}$ - 簡支梁中央受集中力 $F$：$\delta=\dfrac{FL^3}{48EI}$ 解題方法 令接觸支承對懸臂梁的向上反力為 $R$。依作用力與反作用力，下方簡支梁跨中承受向下的 $R$。 懸臂梁自由端的向下位移，是外力 $P$ 造成的位移扣除反力 $R$ 造成的向上位移： $$ \delta{	ext{懸臂}} =\frac{(P-R)L^3}{3EI} $$ 簡支梁跨中的向下位移為： $$ \delta{	ext{簡支}} =\frac{RL^3}{48EI} $$ 接觸點變形相容，故兩者相等： $$ \frac{(P-R)L^3}{3EI} =\frac{RL^3}{48EI} $$ 約去共同因子 $L^3/EI$： $$ 16(P-R)=R \quad\Rightarrow\quad R=\frac{16P}{17} $$ 因此受力點的垂直位移為：

Question 36

一強柱弱梁剛性接頭所接之一梁二柱長度皆為 $L$，對應之撓曲剛度分別標示於圖上，其遠端皆視為固定端。接頭右端凸出一長度為 $L/4$ 的懸臂，並於懸臂自由端施加一垂直集中力 $P$，請問此接頭受力後所形成的旋轉角 $	heta$ 為何？ (A) $	heta=\dfrac{PL^2}{96EI}$ (B) $	heta=\dfrac{PL^2}{6EI}$ (C) $	heta=\dfrac{PL^2}{2EI}$ (D) $	heta=\dfrac{2PL^2}{3EI}$ 圖示資訊：接頭連接一梁及左右兩柱；梁撓曲剛度為 $2EI$，柱撓曲剛度分別為 $EI$、$3EI$；各梁柱長度為 $L$；接頭右側懸臂長度為 $L/4$，自由端承受垂直集中力 $P$。

Accepted Answer

核心觀念

剛性接頭受彎時，接頭轉角會使各支承於接頭的梁、柱共同提供抵抗彎矩。遠端固定、近端轉角為 $\theta$ 的構件，其近端彎矩大小為

M=\frac{4EI}{L}\theta

其中 $EI$ 為該構件的撓曲剛度。接頭轉角由外加彎矩除以各構件轉動剛度總和求得。

解題方法

懸臂自由端的集中力 $P$ 距接頭 $L/4$ ，因此在接頭產生的彎矩大小為

M_P=P\left(\frac{L}{4}\right)=\frac{PL}{4}

梁、上柱、下柱的遠端均固定，且各構件長度皆為 $L$ 。它們對接頭轉動的抵抗彎矩分別為

M_{\text{梁}}=\frac{4(2EI)}{L}\theta =\frac{8EI}{L}\theta

M_{\text{上柱}}=\frac{4(EI)}{L}\theta =\frac{4EI}{L}\theta

M_{\text{下柱}}=\frac{4(3EI)}{L}\theta =\frac{12EI}{L}\theta

接頭彎矩平衡：

Question 37

承受均勻載重 $q$ 之梁，一端固定，另一端為滾支承，長度 $L$，撓曲剛度為 $EI$，點 $b$ 之旋轉角 $	heta$ 為何？ (A) $\dfrac{qL^3}{24EI}$ (B) $\dfrac{qL^3}{30EI}$ (C) $\dfrac{qL^3}{48EI}$ (D) $\dfrac{qL^3}{96EI}$ 圖示：梁左端 $a$ 固定，右端 $b$ 為滾支承；梁全長為 $L$，承受均勻載重 $q$。

Accepted Answer

核心觀念 此題考懸臂梁加滾支承形成的撐梁。先利用滾支承處垂直位移為零，求支承反力，再以疊加法計算端點旋轉角。滾支承限制垂直位移，但不限制梁端轉角。 解題方法 取向下為正。先將滾支承反力記為向上的 $Rb$，把梁視為左端固定、右端自由的懸臂梁。 均布載重 $q$ 造成自由端向下位移： $$ \deltaq=\frac{qL^4}{8EI} $$ 端點向上反力 $Rb$ 造成自由端向上位移： $$ \deltaR=\frac{RbL^3}{3EI} $$ 由於 $b$ 點是滾支承，該處垂直位移為零，因此： $$ \deltaq-\deltaR=0 \quad\Rightarrow\quad Rb=\frac{3qL}{8} $$ 再計算 $b$ 點轉角。均布載重造成的自由端轉角大小為 $qL^3/(6EI)$；端點反力造成的轉角方向相反，大小為 $RbL^2/(2EI)$。因此：

Question 38

一均勻矩形斷面簡支梁，梁中央施加一集中彎矩 $M^$，如圖所示，則 $A$ 端支承處之傾角（slope）絕對值為： (A) $\dfrac{M^L}{8EI}$ (B) $\dfrac{M^L}{16EI}$ (C) $\dfrac{M^L}{24EI}$ (D) $\dfrac{M^L}{32EI}$ 圖示：簡支梁兩端為 $A$、$B$，梁中央為 $C$；$AC=CB=L/2$；中央施加集中彎矩 $M^$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考簡支梁受集中彎矩時的撓曲線與端點轉角。梁的曲率滿足 $$ EI\,v''(x)=M(x) $$ 其中 $M(x)$ 是梁內彎矩。集中彎矩會使彎矩圖在作用點產生跳躍；本題要利用兩端撓度皆為零的條件，求 $A$ 端轉角的絕對值。 解題方法 取 $x=0$ 為 $A$ 端，$x=L$ 為 $B$ 端。依圖示彎矩方向選定符號後，支承反力使彎矩圖在中央集中彎矩處跳躍，可寫成 $$ M(x)= \begin{cases} \dfrac{M^}{L}x, & 0\le x<\dfrac L2,\[6pt] \dfrac{M^}{L}x-M^, & \dfrac L2<x\le L. \end{cases} $$ 整體彎矩方向反轉只會改變轉角正負，不影響題目所問的絕對值。 由 $v''(x)=M(x)/(EI)$ 積分，並使用 $v(0)=0$，可得 $$ v(L)=\thetaA L+\frac{1}{EI}\int0^L(L-x)M(x)\,dx. $$ 簡支梁在 $B$ 端也沒有垂直位移，因此 $v(L)=0$，故 $$ \thetaA=-\frac{1}{LEI}\int0^L(L-x)M(x)\,dx. $$ 代入分段彎矩：

Question 39

如圖所示之均勻懸臂梁，撓曲剛度（flexural rigidity）$EI$ 為常數。梁中央 $C$ 施加一集中載重 $P$，自由端 $B$ 則施加彎矩 $kPL$。若中央 $C$ 斷面之垂直變位為零，則 $k=$？ (A) $\dfrac{5}{24}$ (B) $\dfrac{1}{4}$ (C) $\dfrac{7}{2}$ (D) $\dfrac{1}{3}$ 圖示：懸臂梁左端 $A$ 固定、右端 $B$ 自由；梁長度為 $L$，中央 $C$ 距 $A$、$B$ 各為 $L/2$；$C$ 點受集中力 $P$，$B$ 點受彎矩 $kPL$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考懸臂梁的線彈性疊加原理與撓度公式。因 $EI$ 為常數，可分別計算中央集中力 $P$ 與自由端彎矩 $kPL$ 在 $C$ 點造成的垂直位移，再令兩者代數和為零。 解題方法 令 $a=AC=L/2$，向下位移為負。中央向下集中力在 $C$ 點造成的位移為 $$ \deltaP=-\frac{Pa^3}{3EI} =-\frac{P(L/2)^3}{3EI} =-\frac{PL^3}{24EI}. $$ 自由端彎矩沿梁長造成定值彎矩，其在距固定端 $x$ 處的撓度為 $\deltaM(x)=Mx^2/(2EI)$。依圖示方向，該彎矩使 $C$ 點向上位移，因此 $$ \deltaM=\frac{kPL(L/2)^2}{2EI} =\frac{kPL^3}{8EI}. $$ 題目要求 $C$ 點垂直變位為零，故 $$ \deltaP+\deltaM=0, \qquad -\frac{PL^3}{24EI}+\frac{kPL^3}{8EI}=0. $$ 約去 $PL^3/EI$，得

Question 40

一簡支梁承受如圖所示之向上及向下均佈載重，其最大彎矩之絕對值為何？ (A) $12\ 	ext{kN}\cdot	ext{m}$ (B) $13.5\ 	ext{kN}\cdot	ext{m}$ (C) $18\ 	ext{kN}\cdot	ext{m}$ (D) $24\ 	ext{kN}\cdot	ext{m}$ 圖示資訊：簡支梁兩端支承為 $A$、$B$，中間點為 $C$；$AC=CB=3\ 	ext{m}$；左半段承受向上均佈載重 $12\ 	ext{kN/m}$，右半段承受向下均佈載重 $12\ 	ext{kN/m}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考簡支梁的支承反力、剪力與彎矩關係。均佈載重可換算為作用於載重區段中點的合力；彎矩極值出現在剪力為零處，且須比較各處彎矩的絕對值。 解題方法 令向上為正，並取正彎矩為下凹。左、右半段均佈載重的合力大小皆為 $$12	imes 3=36\ 	ext{kN}$$ 左段合力向上，作用於距 $A$ 點 $1.5\ 	ext{m}$ 處；右段合力向下，作用於距 $A$ 點 $4.5\ 	ext{m}$ 處。 由整梁垂直力平衡與對 $A$ 點取矩： $$RA+RB+36-36=0$$ $$6RB+36(1.5)-36(4.5)=0$$ 因此 $RB=18\ 	ext{kN}$，$RA=-18\ 	ext{kN}$。$RA$ 的負號表示支承反力方向向下。 在左半段，距 $A$ 點 $x$ 處的剪力與彎矩為 $$V(x)=-18+12x,\qquad M(x)=-18x+6x^2\quad (0\le x\le3)$$ 令 $V(x)=0$，得 $x=1.5\ 	ext{m}$；此處彎矩為 $$M(1.5)=-18(1.5)+6(1.5)^2=-13.5\ 	ext{kN}\cdot	ext{m}$$ 在右半段，以 $s=x-3$ 表示自 $C$ 點起算的距離，剪力為 $V=18-12s$，於 $s=1.5\ 	ext{m}$ 再次為零；

Question 41

下列結構皆由兩根相同長度 $L$ 與撓曲剛度 $EI$ 的桿件所建成，受力情形分別如各圖所示，何者之挫屈強度 $P{cr}$ 最高？ (A) 圖示結構一：兩根長度 $L$、撓曲剛度 $EI$ 之桿件組成，受壓力 $P{cr}$。 (B) 圖示結構二：兩根長度 $L$、撓曲剛度 $EI$ 之桿件以不同端部條件組成，受壓力 $P{cr}$。 (C) 圖示結構三：兩根長度 $L$、撓曲剛度 $EI$ 之桿件組成，受壓力 $P{cr}$。 (D) 圖示結構四：兩根長度 $L$、撓曲剛度 $EI$ 之桿件組成，受壓力 $P{cr}$。 各選項均依原卷圖示之桿件端部拘束及連接方式判斷。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查平面剛架的彈性挫屈。歐拉挫屈公式為 $$ P{cr}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2} $$ 其中 $KL$ 為有效長度。剛架的挫屈強度取決於整體支承、接頭轉動拘束與側向位移拘束；拘束愈強，有效長度愈短，臨界荷重愈高。 解題方法 依各圖比較受壓桿的側移與轉動受限程度： - (A) 直立桿下端固定，上端與水平桿剛接；水平桿另一端固定，能限制接頭側移並提供轉動拘束。 - (B) 水平桿另一端為鉸支承，對接頭的轉動拘束弱於 (A)。 - (C) 水平桿有自由端，對接頭提供的拘束較弱，結構較容易彎曲變形。 - (D) 兩段長度各為 $L$ 的桿件串接，兩端為鉸支承，整體受壓長度為 $2L$，故

Question 42

一長度為 $L$ 之均質彈性柱 $AB$，一端 $A$ 為固定支承，另一端 $B$ 為鉸支承，撓曲剛度為 $EI$。現若於距固定端 $nL$ 處 $C$ 加一側支撐，如圖所示，則可使該柱理論挫屈載重值最大的 $n$ 值約為： (A) $0.25$ (B) $0.49$ (C) $0.59$ (D) $0.7$ 圖示：柱 $AB$ 長度為 $L$；$A$ 端固定、$B$ 端鉸支承；點 $C$ 位於距 $A$ 端 $nL$ 處，設置側向支撐；柱上端承受軸向力 $P$。

Accepted Answer

核心觀念 這題考有側向支撐的柱挫屈。側向支撐限制柱在 $C$ 點的側移，但不限制該處轉角；因此柱的撓曲線在 $C$ 點側移為零，兩側轉角與彎矩則連續。 挫屈載重可寫成 $$ P{\mathrm{cr}}=\lambda^2\frac{EI}{L^2}, $$ 其中 $\lambda$ 是由支承條件決定的無因次特徵值。要使理論挫屈載重最大，就是選擇 $n$ 使最小正特徵值 $\lambda1(n)$ 最大。 解題方法 令 $\xi=x/L$，以兩段柱的撓曲線分別表示： $$ yi(\xi)=Ai\cos(\lambda\xi)+Bi\sin(\lambda\xi)+Ci\xi+Di, \qquad i=1,2. $$ 這是軸壓柱挫屈微分方程 $EIy''''+Py''=0$ 的通解。用下列條件組成特徵方程： - 固定端 $A$：$y1(0)=0$、$y1'(0)=0$。 - 側向支撐點 $C$：$y1(n)=0$、$y2(n)=0$，且兩側轉角與彎矩連續，即 $y1'(n)=y2'(n)$、$y1''(n)=y2''(n)$。 - 鉸支端 $B$：$y2(1)=0$、$y2''(1)=0$。

Question 43

一長 $2\ 	ext{m}$、斷面為 $12\ 	ext{cm}	imes6\ 	ext{cm}$ 之矩形空心管柱，管壁厚 $1.5\ 	ext{cm}$，彈性模數 $E$ 為 $10^4\ 	ext{tf}/	ext{cm}^2$。現在形心軸上施加一無偏心之軸向壓力載重 $P$，若取安全係數 $2$，不考慮局部挫屈，則其容許挫屈載重為： (A) $120.6\ 	ext{tf}$ (B) $80.4\ 	ext{tf}$ (C) $60.3\ 	ext{tf}$ (D) $38.4\ 	ext{tf}$ 圖示：空心矩形管柱長度為 $2\ 	ext{m}$，外部斷面尺寸為 $12\ 	ext{cm}	imes6\ 	ext{cm}$，管壁厚度為 $1.5\ 	ext{cm}$；軸向壓力 $P$ 作用於形心軸。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查柱的 Euler 彈性挫屈載重。圖示柱底固定、柱頂自由，屬固定—自由柱，有效長度係數 $K=2$。不考慮局部挫屈時，挫屈由斷面的弱軸控制： $$ P{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI{\min}}{(KL)^2} $$ 安全係數為 $2$，所以容許挫屈載重為： $$ P{\mathrm{allow}}=\frac{P{\mathrm{cr}}}{2} $$ 解題方法 柱長 $L=2\ 	ext{m}=200\ 	ext{cm}$。空心矩形管外尺寸為 $12\ 	ext{cm}	imes6\ 	ext{cm}$，壁厚 $1.5\ 	ext{cm}$，故內尺寸為 $9\ 	ext{cm}	imes3\ 	ext{cm}$。 取弱軸的斷面二次矩： $$ I{\min} =\frac{12(6)^3-9(3)^3}{12} =195.75\ 	ext{cm}^4 $$ 固定—自由柱的有效長度為： $$ KL=2(200)=400\ 	ext{cm} $$ 代入 Euler 公式：

110 專技高考高等考試 結構工程技師 材料力學 考古題詳解

第 一 題10 分

（二）諧和條件（compatibility condition）

第 二 題20 分

核心觀念

解題方法

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

支承反力

剪力與彎矩分布

第 1 題1 分

核心觀念

解題方法

第 2 題1 分

第 3 題1 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 4 題1 分

第 5 題1 分

第 6 題1 分

核心觀念

解題方法

步驟一：整理已知應變分量

步驟二：計算正應變差值與剪應變

步驟三：計算最大剪應變 γmax⁡\gamma_{\max}γmax​

步驟四：驗證主應變與三維剪應變關係

第 7 題1 分

核心觀念

解題方法

1. 整理已知條件並統一單位

2. 計算剪斷面積 AsA_sAs​

3. 計算最小沖力 PPP

第 8 題1 分

核心觀念

解題方法

步驟一：整理已知條件並進行單位換算

步驟二：計算軸向應力 σ\sigmaσ

步驟三：計算軸向應變 ϵaxial\epsilon_{\text{axial}}ϵaxial​

步驟四：計算側向應變 ϵlat\epsilon_{\text{lat}}ϵlat​

第 9 題1 分

核心觀念

解題方法

第 10 題1 分

第 11 題1 分

第 12 題1 分

第 13 題1 分

第 14 題1 分

第 15 題1 分

核心觀念

解題方法

第 16 題1 分

第 17 題1 分

第 18 題1 分

第 19 題1 分

核心觀念

解題方法

第 20 題1 分

核心觀念

解題方法

第 21 題1 分

核心觀念

解題方法

第 22 題1 分

第 23 題1 分

核心觀念

解題方法

第 24 題1 分

核心觀念

解題方法

第 25 題1 分

第 26 題1 分

核心觀念

解題方法

第 27 題1 分

第 28 題1 分

第 29 題1 分

第 30 題1 分

第 31 題1 分

110 專技高考高等考試結構工程技師材料力學考古題詳解

第一題10 分

第二題20 分

第三題20 分

步驟三：計算最大剪應變 $\gamma_{\max}$

2. 計算剪斷面積 $A_s$

3. 計算最小沖力 $P$

步驟二：計算軸向應力 $\sigma$

步驟三：計算軸向應變 $\epsilon_{\text{axial}}$

步驟四：計算側向應變 $\epsilon_{\text{lat}}$