109 年專技高考高等考試大地工程技師(二) 考古題與詳解

Question 1

如圖所示之懸臂式擋土牆，牆背回填土為水平。因工程需要，擬於牆背回填土地表處堆置填土。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示條件如下：

砂性回填土： $\phi'_1=30^\circ$ ， $\gamma_1=18\ \mathrm{kN/m^3}$ 。
現地土壤： $c'_2=40\ \mathrm{kPa}$ ， $\phi'_2=20^\circ$ ， $\gamma_2=19\ \mathrm{kN/m^3}$ 。
擋土牆高度： $6\ \mathrm{m}$ 。
基礎埋置深度： $D_f=1.5\ \mathrm{m}$ 。
牆頂背填土側距離： $0.5\ \mathrm{m}$ 。
基礎底版厚度： $0.8\ \mathrm{m}$ 。
基礎底版尺寸依圖示為： $0.7\ \mathrm{m}$ 、 $0.7\ \mathrm{m}$ 及 $2.6\ \mathrm{m}$ 。
牆背地表堆載： $q'$ 。

請計算若需符合傾倒破壞安全係數至少為 $2.0$ ，以及滑動破壞安全係數至少為 $1.5$ 之要求，填土造成的超載（ $q'$ ，surcharge）至多為何？

另請說明此狀況下，是由何種破壞控制填土的超載。

請以Rankine土壓力理論進行分析，並於本題中忽略承載力破壞機制之影響；條件不足之處，請合理假設之。

Accepted Answer

核心觀念

本題檢核懸臂式擋土牆的傾倒與滑動安全係數。回填土水平，採 Rankine 主動土壓力；牆背堆載 $q'$ 會增加水平主動土壓力，也會在基礎底版上方形成向下荷重。

圖中 $0.5\ \mathrm m$ 是牆身頂部厚度；基礎寬度為 $0.7+0.7+2.6=4.0\ \mathrm m$ ，其中前趾寬 $0.7\ \mathrm m$ 、牆身底寬 $0.7\ \mathrm m$ 、牆踵寬 $2.6\ \mathrm m$ 。

題目未提供混凝土單位重與基底接觸參數，以下採混凝土單位重 $\gamma_c=24\ \mathrm{kN/m^3}$ 、基底摩擦角 $\delta=\phi'_2=20^\circ$ 、基底黏著力 $c_a=c'_2=40\ \mathrm{kPa}$ 。保守起見，滑動檢核不計前趾被動土壓力；因此埋置深度 $D_f$ 不列入滑動抗力。

解題方法與計算

1. Rankine 主動土壓力

回填砂土 $\phi'_1=30^\circ$ ，故

K_a=\tan^2\left(45^\circ-\frac{\phi'_1}{2}\right) =\tan^2 30^\circ=\frac13

牆高 $H=6\ \mathrm m$ 。土重造成的主動土壓合力為

P_{a,\gamma}=\frac12 K_a\gamma_1H^2 =\frac12\left(\frac13\right)(18)(6^2) =108\ \mathrm{kN/m}

其作用點距基礎底版頂面 $H/3=2\ \mathrm m$ 。均布堆載造成的主動土壓合力為

P_{a,q}=K_aq'H=2q'\ \mathrm{kN/m}

作用點距基礎底版頂面 $H/2=3\ \mathrm m$ 。取傾倒力矩時，兩合力作用點距基礎底版底面分別為 $2.8\ \mathrm m$ 與 $3.8\ \mathrm m$ 。

2. 傾倒安全係數

以基礎底版前趾為力矩中心。底版、牆身及牆踵上方回填土重量如下：

項目	重量 $W$ （kN/m）	重心距前趾（m）
基礎底版： $4(0.8)(24)$	76.8	2.00

Question 2

某筏式基礎底版之尺寸為$L$（長）$	imes B$（寬）$=30\ \mathrm{m}	imes24\ \mathrm{m}$，其合力作用位置之偏心距$(eB,eL)=(0.4\ \mathrm{m},0\ \mathrm{m})$。考慮載重因子後的設計垂直載重（factored load）為$40\ \mathrm{MN}$。 該筏式基礎座落於地表下$2\ \mathrm{m}$處，地下水位面亦位於此處，其餘土壤力學參數（含壓密參數）如下圖所示。假設此筏基為剛性基礎，請回答下列問題： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 土層及土壤參數如下： - 地表至基礎底面為乾燥砂土層，$\phi=30^\circ$，$\gamma=16\ \mathrm{kN/m^3}$。 - 基礎底面以下為厚度$5\ \mathrm{m}$之正常壓密飽和黏土層： - $Cu=50\ \mathrm{kPa}$ - $\gamma{\mathrm{sat}}=20\ \mathrm{kN/m^3}$ - $e0=0.8$ - $Cc=0.25$ - $Cs=0.06$ - 黏土層下方為飽和砂層。 - 基礎底面位於地下水位面處。 請回答下列問題： （一）此筏式基礎之承載力破壞安全係數。請以廣義一般承載力公式進行分析，另附影響因素公式如下。 （二）此筏式基礎之平均壓密沉陷量以及可能的角變量。 （三）請說明此角變量對於上部結構可能造成之影響。 承載力影響因素表： | 考慮影響項目 | 凝聚力$c$ | 超載$q$ | 土重$\gamma$ | |---|---|---|---| | 形狀影響因素$s$，$\phi=0$法 | $F{cs}=1+0.2\left(\frac{B}{L}ight)\leq1.2$ | $F{qs}=1.0$ | $F{\gamma s}=1.0$ | | 形狀影響因…

Accepted Answer

核心觀念

本題分別考查偏心載重下的淺基礎承載力，以及飽和正常壓密黏土的壓密沉陷與基礎轉動。

偏心距沿 $B$ 方向，依有效面積法取：

B'=B-2e_B=24-2(0.4)=23.2\ \mathrm{m},\qquad L'=L-2e_L=30\ \mathrm{m}

偏心距 $e_B=0.4\ \mathrm{m}<B/6=4\ \mathrm{m}$ ，有效面積法適用，且基底不會因偏心而產生拉力。垂直載重沒有水平分力，故載重傾斜角 $\beta=0$ ，傾斜影響因數均為 1。

（一）承載力破壞安全係數

基礎底面下為飽和黏土，採不排水分析： $\phi=0$ 、 $c=c_u=50\ \mathrm{kPa}$ 。廣義一般承載力公式為：

q_u=cN_cF_{cs}F_{cd}F_{ci} +qN_qF_{qs}F_{qd}F_{qi} +\frac12\gamma B'N_\gamma F_{\gamma s}F_{\gamma d}F_{\gamma i}

$\phi=0$ 時，取 $N_c=5.14$ 、 $N_q=1$ 、 $N_\gamma=0$ 。基礎埋置深度 $D_f=2\ \mathrm{m}$ ，其上方乾砂造成的超載為：

q=\gamma D_f=16(2)=32\ \mathrm{kPa}

形狀及埋置深度因數採題目所附 $\phi=0$ 公式：

F_{cs}=1+0.2\frac{B'}{L'} =1+0.2\frac{23.2}{30}=1.155

F_{cd}=1+0.2\frac{D_f}{B'} =1+0.2\frac{2}{23.2}=1.017

$F_{qs}=F_{qd}=F_{qi}=F_{ci}=1$ ，且因 $N_\gamma=0$ ，土重項為零。因此：

q_u=50(5.14)(1.155)(1.017)+32 \approx333.9\ \mathrm{kPa}

有效面積上的載重壓力為：

q_{\mathrm{載}}=\frac{40,000\ \mathrm{kN}}{23.2(30)\ \mathrm{m^2}} =57.47\ \mathrm{kPa}

以極限承載力除以題目所給載重壓力，安全係數為：

FS=\frac{q_u}{q_{\mathrm{載}}} =\frac{333.9}{57.47} \approx\boxed{5.81}

（二）平均壓密沉陷量與角變量

以題目給定的 $40\ \mathrm{MN}$ 作沉陷估算，採 $2:1$ 應力擴散法，並以黏土層中點 $z=2.5\ \mathrm{m}$ 代表該層平均應力增量。基礎底面平均壓力為：

q_0=\frac{40,000}{30(24)}=55.56\ \mathrm{kPa}

黏土層中點的垂直應力增量約為：

\Delta\sigma'= \frac{40,000}{(30+2.5)(24+2.5)} =46.45\ \mathrm{kPa}

黏土層中點的初始有效應力，以 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$ 計：

Question 3

某場址之土層分布狀況以及參數如下圖所示。今預計於此場址施作開口式鋼管樁（Open-ended steel pipe pile），其外徑為 $508\ \mathrm{mm}$ ，壁厚為 $5.56\ \mathrm{mm}$ ，樁長為 $24\ \mathrm{m}$ 。

請依下列狀況以及基礎構造設計規範，計算此單樁之容許支承力以及容許抗拉拔力。

黏土之附著因子 $\alpha$ 隨不排水剪力強度之關係如下圖所示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

土層及土壤參數如下：

地表下 $0\sim3\ \mathrm{m}$ ：粉土質砂層， $\phi=30^\circ$ ， $\gamma=16\ \mathrm{kN/m^3}$ 。
地表下 $3\sim6\ \mathrm{m}$ ：粉土質砂層， $\phi=30^\circ$ ， $\gamma=19\ \mathrm{kN/m^3}$ 。
地表下 $6\sim24\ \mathrm{m}$ ：黏土層， $C_u=50\ \mathrm{kPa}$ ， $\gamma=20\ \mathrm{kN/m^3}$ 。
地表下 $24\sim29\ \mathrm{m}$ ：黏土層， $C_u=75\ \mathrm{kPa}$ ， $\gamma=20\ \mathrm{kN/m^3}$ 。
地表下 $29\ \mathrm{m}$ 以下：岩盤。
開口式鋼管樁長度： $24\ \mathrm{m}$ 。
鋼管樁外徑： $508\ \mathrm{mm}$ 。
鋼管樁壁厚： $5.56\ \mathrm{mm}$ 。

請考慮下列狀況：

（一）表層土壤分別考慮未液化以及已液化之狀況。

（二）地下水位面由地表下 $3\ \mathrm{m}$ 處下降至地表下 $6\ \mathrm{m}$ 處。

Accepted Answer

核心觀念

本題以單樁靜力分析計算軸向承載力：黏土樁身側阻採附著因子法，砂土樁身側阻採有效應力法；樁端位於黏土層頂面，採黏土不排水端承力。抗拉拔時不計樁端承力，並計入樁身自重。

依命題當年《基礎構造設計規範》的容許應力設計概念，以下採壓縮安全係數 $FS=3$ 、抗拉拔安全係數 $FS=2$ 。開口式鋼管樁樁端按未形成土塞處理，故端承面積取鋼管環形截面積。

解題方法與計算

1. 樁體幾何與自重

外徑 $D_o=0.508\ \mathrm{m}$ ，壁厚 $t=0.00556\ \mathrm{m}$ ，故內徑為

D_i=D_o-2t=0.49688\ \mathrm{m}

鋼管環形截面積及樁外周長為

A_s=\frac{\pi}{4}(D_o^2-D_i^2)=0.00878\ \mathrm{m^2}

P=\pi D_o=1.596\ \mathrm{m}

取鋼材單位重 $\gamma_{\mathrm{steel}}=77\ \mathrm{kN/m^3}$ ，樁長 $L=24\ \mathrm{m}$ ，樁自重為

W_p=A_sL\gamma_{\mathrm{steel}} =0.00878(24)(77)=16.2\ \mathrm{kN}

2. 黏土樁身側阻

樁身穿過地表下 $6\sim24\ \mathrm{m}$ 、厚度 $18\ \mathrm{m}$ 的黏土， $C_u=50\ \mathrm{kPa}$ 。依題附圖讀取 $\alpha\approx0.8$ ，單位側阻為

f_s=\alpha C_u=0.8(50)=40\ \mathrm{kPa}

因此黏土側阻為

Q_{s,c}=f_sPL=40(1.596)(18)=1{,}149\ \mathrm{kN}

樁端位於 $C_u=75\ \mathrm{kPa}$ 黏土層頂面，黏土端承力取 $q_b=N_cC_u$ ，其中 $N_c=9$ ：

Q_b=9(75)A_s=9(75)(0.00878)=5.9\ \mathrm{kN}

3. 砂土樁身側阻與地下水位影響

砂層採

f_s=K\sigma'_v\tan\delta

取打入樁 $K=1$ 、 $\delta=0.75\phi=22.5^\circ$ 。地表下 $0\sim3\ \mathrm{m}$ 的砂層單位重為 $16\ \mathrm{kN/m^3}$ ；地表下 $3\sim6\ \mathrm{m}$ 的砂層總單位重為 $19\ \mathrm{kN/m^3}$ 。地下水位以下以浮單位重 $19-9.81=9.19\ \mathrm{kN/m^3}$ 計算。

地下水位在地表下 $3\ \mathrm{m}$ 時，砂層有效應力沿深度積分為

\int_0^6\sigma'_v\,dz =\frac{1}{2}(16)(3^2) +\frac{(48)+(48+9.19\times3)}{2}(3) =257.4\ \mathrm{kN/m}

故砂層側阻為

Q_{s,s}=P\tan22.5^\circ\int_0^6\sigma'_v\,dz =1.596\tan22.5^\circ(257.4) =170\ \mathrm{kN}

地下水位降至地表下 $6\ \mathrm{m}$ 時，第二層砂土改以總單位重計算，有效應力積分為

Question 4

臨近某捷運之支撐開挖系統如下圖所示，請回答下列問題。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

開挖及支撐系統資料如下：

地面高程： $+4.5\ \mathrm{m}$ 。
開挖底面高程： $-17\ \mathrm{m}$ 。
土層：粉土質黏土。
不排水剪力強度： $C_u=36\ \mathrm{kPa}$ 。
單位重： $\gamma=19.5\ \mathrm{kN/m^3}$ 。
支撐為鋼板樁。
橫撐標高：
- 橫撐A： $+1\ \mathrm{m}$
- 橫撐B： $-2\ \mathrm{m}$
- 橫撐C： $-4.5\ \mathrm{m}$
- 橫撐D： $-7.5\ \mathrm{m}$
- 橫撐E： $-10.5\ \mathrm{m}$
- 橫撐F： $-13.5\ \mathrm{m}$

（一）何謂視土壓力（apparent earth pressure）？

（二）請依Peck（1969）之建議，繪製此支撐開挖系統之視土壓力分布圖。

（三）請計算各階橫撐（A～F）之受力。

（四）因監測需要，量測而得之各階橫撐受力（A、B、C、D、E、F）分別為 $230$ 、 $380$ 、 $420$ 、 $420$ 、 $420$ 、 $450\ \mathrm{kN/m}$ ，請與（三）所計算之值相較。你認為視土壓力的分析結果是否合理，並請說明其可能之原因。

Accepted Answer

核心觀念 視土壓力（apparent earth pressure）是依既有支撐開挖案例的量測結果整理出的經驗設計壓力包絡，用來估算支撐系統的設計荷重。它不是土體內某一深度實際量得的側向土壓力分布；開挖施工順序、支撐安裝與預力、擋土壁變形及土壤應力重分布，都會影響實際支撐受力。 本題開挖深度為 $$ H=4.5-(-17)=21.5\ \mathrm{m} $$ 以穩定數判斷黏土類別： $$ Ns=\frac{\gamma H}{Cu} =\frac{19.5	imes21.5}{36} =11.654 $$ 因此依 Peck（1969）採用軟至中等黏土的視土壓力分布。 解題方法 Peck（1969）建議軟至中等黏土的視土壓力採均布，壓力強度範圍為 $0.2\gamma H$ 至 $0.4\gamma H$。若以代表值計算支撐力，採常用中間值 $0.3\gamma H$： $$ pa=0.3\gamma H =0.3(19.5)(21.5) =125.8\ \mathrm{kPa} $$ 因為 $1\ \mathrm{kPa}=1\ \mathrm{kN/m^2}$，各階支撐的每延米受力可用 $Pi=pa hi$ 計算，其中 $hi$ 是該支撐的分擔高度。分擔範圍取相鄰支撐間距的中點；最上階延伸至地面，最下階延伸至開挖底面。 （一）視土壓力定義 視土壓力是供支撐開挖設計使用的經驗等值側壓力包絡，用以估算各階支撐荷重及支撐系統設計需求。它是從實際工程的支撐受力與變形資料歸納而來，不能直接視為開挖期間的真實土壓力分布。 （二）Peck（1969）視土壓力分布圖 本題屬軟至中等黏土，視土壓力沿開挖深度採均布。設計壓力範圍為 $$ pa=0.2\gamma H\sim0.4\gamma H =83.9\sim167.7\ \mathrm{kPa} $$ 代表值 $0.3\gamma H=125.8\ \mathrm{kPa}$ 如下： （三）各階橫撐受力 各支撐分擔高度如下： - A：由地面 $+4.5\ \mathrm{m}$ 至 A、B 中點 $-0.5\ \mathrm{m}$，故 $hA=5.0\ \mathrm{m}$。 - B：由 A、B 中點 $-0.5\ \mathrm{m}$ 至 B、C 中點 $-3.25\ \mathrm{m}$，故 $hB=2.75\ \mathrm{m}$。 - C：由 B、C 中點 $-3.25\ \mathrm{m}$ 至 C、D 中點 $-6.0\ \mathrm{m}$，故 $hC=2.75\ \mathrm{m}$。 - D：由 C、D 中點 $-6.0\ \mathrm{m}$ 至 D、E 中點 $-9.0\ \mathrm{m}$，故 $hD=3.0\ \mathrm{m}$。 - E：由 D、E 中點 $-…

考慮影響項目	凝聚力 $c$	超載 $q$	土重 $\gamma$
形狀影響因素 $s$ ， $\phi=0$ 法	$F_{cs}=1+0.2\left(\frac{B}{L}\right)\leq1.2$	$F_{qs}=1.0$	$F_{\gamma s}=1.0$
形狀影響因素 $s$ ， $\phi\geq10^\circ$	$F_{cs}=1+0.2\left(\frac{B}{L}\right)\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)$	$F_{qs}=1+0.1\left(\frac{B}{L}\right)\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)$	$F_{\gamma s}=1+0.1\left(\frac{B}{L}\right)\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)$
埋置深度影響因素 $d$ ， $\phi=0$ 法	$F_{cd}=1+0.2\left(\frac{D_f}{B}\right)\leq1.5$	$F_{qd}=1.0$	$F_{\gamma d}=1.0$
埋置深度影響因素 $d$ ， $\phi\geq10^\circ$	$F_{cd}=1+0.2\left(\frac{D_f}{B}\right)\tan\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)$	$F_{qd}=1+0.1\left(\frac{D_f}{B}\right)\tan\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)$	$F_{\gamma d}=1+0.1\left(\frac{D_f}{B}\right)\tan\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)$
載重傾斜影響因素 $i$ ， $\beta\geq\phi$	$F_{ci}=\left(1-\frac{\beta}{90^\circ}\right)^2$	$F_{qi}=\left(1-\frac{\beta}{90^\circ}\right)^2$	$F_{\gamma i}=0$
載重傾斜影響因素 $i$ ， $\beta<\phi$	$F_{ci}=\left(1-\frac{\beta}{90^\circ}\right)^2$	$F_{qi}=\left(1-\frac{\beta}{90^\circ}\right)^2$	$F_{\gamma i}=\left(1-\frac{\beta}{\phi}\right)^2$

109 專技高考高等考試大地工程技師(二) 基礎工程與設計考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法與計算

1. Rankine 主動土壓力

2. 傾倒安全係數

第二題25 分

核心觀念

（一）承載力破壞安全係數

（二）平均壓密沉陷量與角變量

第三題30 分

核心觀念

解題方法與計算

1. 樁體幾何與自重

2. 黏土樁身側阻

3. 砂土樁身側阻與地下水位影響

第四題20 分

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第 一 題25 分

核心觀念

解題方法與計算

1. Rankine 主動土壓力

2. 傾倒安全係數

第 二 題25 分

核心觀念

（一）承載力破壞安全係數

（二）平均壓密沉陷量與角變量

第 三 題30 分

核心觀念

解題方法與計算

1. 樁體幾何與自重

2. 黏土樁身側阻

3. 砂土樁身側阻與地下水位影響

第 四 題20 分

其他考古題

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第一題25 分

第二題25 分

第三題30 分

第四題20 分