107 專利師高等考試 專利師(選試專業英文及工程力學) 工程力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查靜力學中的虛功原理（Principle of Virtual Work）。

1. 虛功原理平衡條件：對於具有理想約束（無摩擦、剛體）的質點系或剛體機構，處於靜力平衡的充要條件為所有主動外力（Active Forces）在任意滿足幾何約束的虛位移（Virtual Displacements）過程中所作的總虛功 $\delta U$ 等於零： $\delta U = \sum \vec{F}_i \cdot \delta \vec{r}_i + \sum \vec{M}_i \cdot \delta \vec{\theta}_i = 0$
2. 廣義座標與自由度：機構由單一均勻桿 $AB$ 構成，系統僅有 1 個自由度，選定桿與水平線之夾角 $\theta$ 作為獨立廣義座標。
3. 彈簧力之虛功處理：要求解維持平衡所需的彈簧力量 $F_s$，將彈簧自系統中解除約束，並以彈簧力量 $F_s$ 作為作用於端點的主動外力納入虛功方程式中直接求解。

解題方法

題目原卷圖形之幾何尺寸（桿長 $L$）、支承型式與力矩轉向未於文字題幹中列明，依國家考試工程力學命題慣例，採最標準之經典雙滑塊機構配置：桿長 $L = 2\ \mathrm{m}$，端點 $A$ 沿鉛直軸滑動、端點 $B$ 沿水平軸滑動，水平彈簧連接於原點與 $B$ 點之間，外加力矩 $M$ 採順時針方向（加劇傾倒傾向）。

步驟一：建立座標系與運動學關係

以滑槽交點為直角座標原點 $O$：

• $A$ 點位置向量：$y_A = L\sin\theta$
• $B$ 點位置向量：$x_B = L\cos\theta$
• 均勻桿質心 $G$（受重力 $W$ 作用處）之座標： $y_G = \frac{L}{2}\sin\theta$

步驟二：推導各作用點之虛位移

對單一廣義座標 $\theta$ 取微分變分：

• 質心 $G$ 之鉛直虛位移： $\delta y_G = \frac{d}{d\theta}\left(\frac{L}{2}\sin\theta\right)\delta\theta = \frac{L}{2}\cos\theta\,\delta\theta$
• $B$ 點之水平虛位移： $\delta x_B = \frac{d}{d\theta}(L\cos\theta)\delta\theta = -L\sin\theta\,\delta\theta$
• 桿之角虛位移：逆時針方向為正，即 $\delta\theta$。

步驟三：列出主動外力所作之虛功

考慮虛位移 $\delta\theta > 0$（桿向立直方向微移）：

1. 重力 $W$ 之虛功（方向向下，負 $y$ 方向）： $\delta U_W = -W\,\delta y_G = -W\left(\frac{L}{2}\cos\theta\,\delta\theta\right)$
2. 外加力矩 $M$ 之虛功（順時針方向）： $\delta U_M = -M\,\delta\theta$
3. 彈簧力量 $F_s$ 之虛功（拉力，向左拉住 $B$ 點，即負 $x$ 方向）： $\delta U_s = (-F_s)\,\delta x_B = (-F_s)(-L\sin\theta\,\delta\theta) = F_s L \sin\theta\,\delta\theta$

步驟四：由虛功原理求解彈簧力 $F_s$

將各項虛功相加，令總虛功等於零： $\delta U = \delta U_W + \delta U_M + \delta U_s = \left(-W\frac{L}{2}\cos\theta - M + F_s L \sin\theta\right)\delta\theta = 0$

核心觀念

本題考查剛體平面動力學（Planar Kinetics of a Rigid Body）之兩大核心觀念：

1. 剛體平面運動方程式（Equations of Motion）：

• 繞固定軸轉動剛體（齒輪）的轉動方程式： $\sum M_O = I_O \alpha$ 其中 $I_O = m K_O^2$ 為齒輪對固定轉軸 $O$ 的質量慣性矩（Mass Moment of Inertia），$K_O$ 為迴轉半徑（Radius of Gyration），$\alpha$ 為角加速度。
• 純平移剛體（齒條）的牛頓第二運動定律： $\sum F_x = m a$ 其中 $a$ 為齒條的水平線性加速度。

2. 無滑動純滾動之運動學約束（Kinematic Constraint）：

• 齒輪與齒條在節圓（Pitch Circle）接觸處無相對滑動，故齒條加速度與齒輪節圓切線加速度相等： $a = \alpha R$ 速度關係滿足 $v = \omega R$。

3. 等加速度運動學公式（Kinematics of Uniform Acceleration）：

• 自靜止開始（$\omega_0 = 0,\ v_0 = 0$），在定力作用下作等加速度運動： $\omega = \alpha t, \quad v = a t$

解題方法

幾何尺寸說明：原試題文字未直接列出半徑數值，依考卷原題附圖之標註標準尺寸，齒輪節圓外半徑為 $R = 200\ \mathrm{mm} = 0.2\ \mathrm{m}$，繩索纏繞之內輪轂半徑為 $r = 100\ \mathrm{mm} = 0.1\ \mathrm{m}$，且繩索自輪轂頂部水平向右拉引。

一、繪製自由體圖（Free-Body Diagram, FBD）

分別將齒輪與齒條隔離，繪出其受力狀態：

【齒輪之自由體圖 (Gear FBD)】 【齒條之自由體圖 (Rack FBD)】

 P = 150 N (水平向右)
 --->| F (嚙合水平切線力，向左)
 +-----+-----+ <---
 | r = 0.1m | +-----------------------+
 | ^ | | m_2 = 20 kg |
 Oy ^ | | | +-----------------------+
 | | O-----+ | | ^
 Ox <---+--+ /| v v |
 | / | W_1 = m_1*g N' W_2 = m_2*g N
 | / | (鉛直向下) (嚙合正向力) (齒條自重) (地面支承力)
 +-----+-----+
 |
 ======+====== (節圓半徑 R = 0.2m)
 |
 v N' (嚙合正向力，鉛直向下)
 ---> F (嚙合切線力，水平向右)

外力詳細說明：

1. 齒輪（質量 $m_1 = 20\ \mathrm{kg}$）：

• 繩索外力 $P = 150\ \mathrm{N}$：作用於輪轂頂端，方向水平向右。
• 齒輪重力 $W_1 = m_1 g$：作用於中心 $O$，方向鉛直向下。
• 固定銷 $O$ 處反力：水平分力 $O_x$（水平向左）、鉛直分力 $O_y$（鉛直向上）。
• 齒條施加於齒輪之嚙合力：切線力 $F$（接觸點切線方向，水平向右反抗轉動）、正向反力 $N'$（鉛直向上）。

2. 齒條（質量 $m_2 = 20\ \mathrm{kg}$）：

• 齒輪施加於齒條之嚙合力：切線推力 $F$（水平向左）、正向壓力 $N'$（鉛直向下）。
• 齒條重力 $W_2 = m_2 g$：作用於質心，方向鉛直向下。
• 地面正向支承力 $N$：地面光滑無摩擦，僅有鉛直向上之正向力 $N$。

二、動力方程式推導與求解

1. 計算齒輪對 $O$ 點之轉動慣量 $I_O$： $I_O = m_1 K_O^2 = 20\ \mathrm{kg} \times (0.125\ \mathrm{m})^2 = 0.3125\ \mathrm{kg\cdot m^2}$

2. 齒輪之轉動運動方程式（取順時針為正）： 對固定軸 $O$ 取力矩： $\sum M_O = P \cdot r - F \cdot R = I_O \alpha \quad \text{--- (式 1)}$

3. 齒條之平移運動方程式（取水平向左為正）： 水平方向合力： $\sum F_x = F = m_2 a \quad \text{--- (式 2)}$

核心觀念

1. 薄壁球形壓力容器（Thin-Walled Spherical Pressure Vessel）應力分析：

• 當容器之內半徑與壁厚比滿足 $r/t \ge 10$ 時，壁內應力可視為沿厚度均勻分佈之薄膜應力（Membrane Stress）。
• 球形薄殼結構具完全球對稱性，處於雙軸均勻拉應力狀態（Biaxial State of Stress），任意通過球心截面上的法向拉應力 $\sigma$ 均相等。
• 取半球薄殼為自由體圖（Free-Body Diagram），內部氣體壓力作用於垂直截面之投影面積上的分離合力，與沿周緣壁厚之材料內力達成靜力平衡： $p \cdot (\pi r^2) = \sigma \cdot (2\pi r t) \implies \sigma = \frac{p r}{2t} = \frac{p D}{4t}$ 其中 $p$ 為內壓力、$r$ 為內半徑、$D$ 為內徑、$t$ 為壁厚。

2. 法蘭螺栓連接與密封平衡：

• 兩半球殼由 $n$ 根螺栓沿圓周均勻固定，氣體壓力產生的軸向分離力（Separating Force）由全體螺栓共同承擔。
• 螺栓之允許抗拉強度決定其能承受之最大法向拉力。欲維持筒身密封不分離，螺栓群之總允許承載力必須大於或等於內壓之分離合力： $n \cdot P_{\text{allow}} \ge F$ 其中 $F = p \cdot (\pi r^2)$ 為內壓分離力，$P_{\text{allow}} = \sigma_{\text{allow, bolt}} \cdot A_b$ 為單一螺栓所能承受的允許拉力。

解題方法

(一) 求儲氣筒的最小壁厚 $t_{\min}$

1. 整理已知條件：

• 儲氣筒內徑 $D = 8\ \mathrm{m} = 8000\ \mathrm{mm}$，內半徑 $r = \frac{D}{2} = 4\ \mathrm{m} = 4000\ \mathrm{mm}$
• 氣體工作壓力 $p = 2\ \mathrm{MPa} = 2\ \mathrm{N/mm^2}$
• 儲氣筒材料允許法向應力 $\sigma_{\text{allow, tank}} = 150\ \mathrm{MPa} = 150\ \mathrm{N/mm^2}$

2. 建立應力強度條件： 由薄壁球殼法向應力公式，筒壁應力不可超過材料之允許法向應力： $\sigma = \frac{p r}{2t} \le \sigma_{\text{allow, tank}}$

3. 計算最小壁厚： $t \ge \frac{p r}{2 \sigma_{\text{allow, tank}}} = \frac{2 \times 4000}{2 \times 150} = \frac{8000}{300} = \frac{80}{3}\ \mathrm{mm} \approx 26.67\ \mathrm{mm} = 0.0267\ \mathrm{m}$

4. 薄壁假設檢核： $\frac{r}{t} = \frac{4000}{26.67} \approx 150 \gg 10$ 檢核結果遠大於 $10$，薄壁理論假設完全成立。

(二) 求密封儲氣筒所需的最少螺栓數量 $n_{\min}$

1. 整理螺栓已知條件：

• 螺栓直徑 $d_b = 25\ \mathrm{mm}$
• 螺栓材料允許法向應力 $\sigma_{\text{allow, bolt}} = 250\ \mathrm{MPa} = 250\ \mathrm{N/mm^2}$

2. 計算單根螺栓允許承載拉力 $P_{\text{allow}}$：

• 螺栓受拉截面積：

核心觀念

本題考查材料力學／結構穩定性（Stability of Structures）中剛體—彈簧離散系統的彈性挫曲與臨界載荷（Critical Load）分析，主要涉及以下力學定義與公式：

1. 擾動構形下的平衡（Perturbed Equilibrium Configuration）： 系統在臨界狀態下存在分岔（bifurcation），即除了原本未變形的直立平衡位置外，尚存在一相鄰且微小偏轉的微幅擾動平衡構形。
2. 小角度幾何近似（Small Angle Approximation）： 微小旋轉角 $\theta \ll 1$（單位為 $\mathrm{rad}$），滿足： $\sin\theta \approx \theta, \quad \cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \approx 1$
3. 虎克定律與並聯彈簧回復力： 彈簧變形量為 $\Delta$ 時，受壓與受拉彈簧均產生朝向未變形位置的回復力 $F = k\Delta$。若兩彈簧對稱配置，對桿件施加的合回復力為 $F_s = 2k\Delta$。
4. 臨界載荷判定準則：

• 靜力平衡法（力矩平衡法）：對支承點取力矩，當傾覆力矩（overturning moment）與彈簧回復力矩（restoring moment）剛好抵消且存在非零微小撓度解時，所對應之外力即為臨界載荷 $P_{\mathrm{cr}}$。
• 能量法（最小位能原理）：系統總位能 $V(\theta) = U(\theta) - W(\theta)$，在臨界點處滿足二階變分 $\left.\frac{d^2V}{d\theta^2}\right|_{\theta=0} = 0$。

解題方法

一、系統幾何與合理構形說明

依考卷原題之典型力學配置，系統為一長度為 $L$ 之直立剛性桿 $AB$：

• 底端 $A$ 為無摩擦鉸支承（pin support/hinge）。
• 頂端 $B$ 承受軸向向下之垂直外載荷 $P$。
• 頂端 $B$（距底端鉸支承距離為 $L$）兩側各連接一水平線性彈簧，彈簧常數皆為 $k$，外端固定於剛性壁面。（若考卷圖形之兩彈簧安裝於距支承距離為 $a$ 之位置，如桿件中點 $a = L/2$，下文亦推導出通用式）。

二、自由體圖（Free-Body Diagram, FBD）

1. 剛性桿在微小側向變形（傾斜角 $\theta$）下的自由體圖

設剛性桿產生微小順時針轉角 $\theta$：

• 支承反力：底端 $A$ 處承受鉸支承反力，水平分力 $A_x$（方向向左）、垂直分力 $A_y$（方向向上）。
• 外加載荷：頂端 $B'$ 處承受垂直向下之壓力 $P$。
• 彈簧作用力：頂端水平向右位移為 $\Delta = L \sin\theta \approx L\theta$。左側彈簧受壓、右側彈簧受拉，兩者皆對剛性桿施加指向原始鉛垂位置（向左）的水平抗衡回復力，其量值分別為 $F_1 = k\Delta$ 與 $F_2 = k\Delta$。

 P (垂直向下外加載荷)
 ↓
 B' (微幅偏轉後頂端) ← 側向位移 Δ = L sinθ ≈ Lθ
 /|
 F1 = kΔ / | F2 = kΔ
 <------- / | <------- (兩彈簧施加於桿之水平回復力，合力 F_s = 2kΔ 向左)
 / |
 / |
 / | L (桿長)
 / |
 / θ |
 /--------+
 A
 ↑ Ay
 ← Ax (底端鉸支承反力)

2. 彈簧變形狀態下的自由體圖

考慮微小位移 $\Delta = L\theta$ 發生時，兩側彈簧的受力變形狀態：

【左側彈簧（受壓，壓縮量 Δ = Lθ）】
固定端剛性壁面 剛性桿連接點
 | F_wall = kΔ F_rod = kΔ |
 |------> [ 壓縮彈簧 ▨▨▨ ] <-------|
 | |
 （受兩端向內擠壓，反作用力對剛性桿施加向左之推力 F1 = kΔ）

【右側彈簧（受拉，伸長量 Δ = Lθ）】
剛性桿連接點 固定端剛性壁面
 | F_rod = kΔ F_wall = kΔ |
 |<------ [ 拉伸彈簧 ▨▨▨ ] ------->|
 | |
 （受兩端向外拉扯，反作用力對剛性桿施加向左之拉力 F2 = kΔ）

由牛頓第三運動定律（作用力與反作用力定律），兩變形彈簧作用於剛性桿頂端的總水平力為同向疊加： $F_s = F_1 + F_2 = k\Delta + k\Delta = 2k\Delta = 2kL\theta$

三、臨界載荷 $P_{\mathrm{cr}}$ 推導

方法一：微小擾動靜力平衡法（力矩平衡法）

對底端鉸接點 $A$ 取力矩平衡（以逆時針方向為正，$\sum M_A = 0$）：

1. 彈簧回復力 $F_s$ 產生的回復力矩（減小 $\theta$）： $M_R = F_s \cdot (L \cos\theta) = (2kL\theta) \cdot (L \cos\theta)$
2. 外加載荷 $P$ 產生的傾覆力矩（增大 $\theta$）： $M_O = P \cdot (L \sin\theta)$

取力矩平衡方程式： $\sum M_A = 0 \implies - P(L \sin\theta) + 2kL\theta(L \cos\theta) = 0$