110 中華郵政招考專業職(一) 土木工程 中華郵政專業職(一) (工程力學與結構概要) 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面桁架的：

• 支承反力計算
• 截面法（Method of Sections）
• 桿件內力方向判定
• 二力桿件原理：桿件內力沿桿軸方向作用

圖一各底弦節點間距均為 $3\ \text{m}$，斜桿長度為 $3\ \text{m}$，因此斜桿與水平夾角為 $60^\circ$，桁架高度為

設桿件內力拉力為正，若計算結果為負，表示桿件受壓。

一、計算支承反力

設 $A$ 點為鉸支承，反力為 $A_x,A_y$；$E$ 點為滾支承，反力為 $E_y$。

水平方向平衡：

取 $A$ 點力矩：

垂直方向平衡：

二、以截面法切割

截面切過 $BC$、$CG$、$GF$ 三根桿件，取左側部分 $A-B-G$ 作為自由體。

設：

• $N_{BC}$：$BC$ 桿件內力
• $N_{CG}$：$CG$ 桿件內力
• $N_{GF}$：$GF$ 桿件內力

先假設三者均為拉力。

由幾何關係，斜桿 $CG$ 的方向餘弦為

三、求 $BC$ 桿件內力

取左側自由體對 $G$ 點力矩，可消去 $N_{CG}$ 與 $N_{GF}$。

支承反力 $A_y$ 到 $G$ 的距離為 $3\ \text{m}$，而 $N_{BC}$ 為水平力，其作用線至 $G$ 的垂直距離為桁架高度 $h$：

代入數值：

核心觀念

本題考查集中力、集中力矩與均布載重作用下，梁的支承反力、剪力圖（SFD）及彎矩圖（BMD）。

取：

• $x=0$：支承 $A$
• $x=2\ \text{m}$：集中力矩 $20\ \text{kN}\cdot\text{m}$
• $x=3\ \text{m}$：集中力 $8\ \text{kN}$
• $x=5\ \text{m}$：支承 $B$
• $x=5\sim8\ \text{m}$：均布載重 $w=15\ \text{kN/m}$

均布載重合力為

作用位置在均布載重中央，即距離 $A$：

採用符號約定：

• 剪力正值：截面左側向上
• 彎矩正值：下凹（sagging）
• 圖示 $20\ \text{kN}\cdot\text{m}$ 為順時針力矩

解題方法：先求支承反力

支承 $A$ 為鉸支承，支承 $B$ 為滾支承。由於沒有水平外力：

設垂直反力為 $A_y$、$B_y$。

對 $A$ 點取力矩

取逆時針為正：

垂直力平衡

因此：

• $A_y=-14.3\ \text{kN}$，表示 $A$ 點反力實際方向向下
• $B_y=67.3\ \text{kN}$，方向向上

剪力圖

依各荷載位置逐段計算。

$A$ 至集中力 $8\ \text{kN}$ 之間：$0<x<3$

通過 $x=3\ \text{m}$ 的集中力

剪力向下跳降 $8\ \text{kN}$：

所以 $3<x<5$：

通過支承 $B$：$x=5\ \text{m}$

剪力向上跳升 $67.3\ \text{kN}$：

$B$ 至梁端：$5<x<8$

均布載重使剪力以斜直線下降：

在梁端 $x=8$：

剪力圖主要縱座標

因此剪力圖形狀為：

• $A\sim x=3$：水平線，位於 $-14.3$
• $x=3\sim B$：水平線，位於 $-22.3$
• $B$ 處向上跳至 $45$
• $B\sim$ 梁端：斜直線下降至 $0$

彎矩圖

$A$ 至集中力矩前：$0\leq x<2$

因此：

核心觀念

光滑壁面與光滑地板均無摩擦力，因此接觸反力皆為法向力：

• A 點地板反力：$N_A$，方向鉛直向上。
• B 點牆面反力：$N_B$，方向水平向左。
• 外力 $P$：依圖水平向右，作用於 A 點。
• 細桿重量 $W$：作用於桿件中點。

桿件處於靜力平衡，須滿足：

解題方法

設細桿長度為 $l$，與水平地板夾角為 $\theta$。

以 A 點為力矩中心，可消除地板反力 $N_A$ 與力 $P$ 的力矩。

B 點相對於 A 點的鉛直高度為：

重量 $W$ 作用於中點，其作用線至 A 點的水平距離為：

取逆時針方向為正，列 A 點力矩平衡：

因此：

核心觀念

本題考查梁在某截面上的：

1. 剪力 $V$ 與彎矩 $M$。
2. 彎曲正應力 $\sigma_x=-\frac{My}{I}$
3. 梁腹板上的剪應力 $\tau_{xy}=\frac{VQ}{It}$
4. 平面應力狀態下的正向主應力

由於 $P$ 點同時承受彎曲正應力與剪應力，因此必須使用主應力公式，而不能只計算彎曲應力。

一、支承反力

梁長 $L=2\text{ m}$，均布荷重為

$w=120\text{ kN/m}$

總荷重：

$W=wL=120(2)=240\text{ kN}$

荷重對稱，因此兩端支承反力相等：

$R_A=R_B=\frac{240}{2}=120\text{ kN}$

二、$P$ 截面的剪力與彎矩

由圖可知，$P$ 截面距左支承 $0.3\text{ m}$。

剪力：

$V=R_A-w(0.3)$

$V=120-120(0.3)=84\text{ kN}$

彎矩：

$M=R_A(0.3)-\frac{w(0.3)^2}{2}$

此處為正彎矩，故上側材料承受壓應力。

三、$P$ 點的彎曲正應力

截面總高度為

$15+200+15=230\text{ mm}$

因截面上下對稱，中性軸位於截面中央。圖中 $P$ 位於上翼板與腹板交界處，因此其到中性軸的距離為

$y=\frac{230}{2}-15=100\text{ mm}$

若依圖示將 $P$ 取在上翼板下緣，則

$y=0.100\text{ m}$

因此：

$\sigma_x=-\frac{My}{I}$

$\boxed{\sigma_x=-45.4\text{ MPa}}$

負號表示壓應力。

四、$P$ 點的剪應力

$P$ 位於腹板上緣，故计算 $Q$ 時，只取中性軸以上的上翼板面積。

上翼板面積：

$A_f=175(15)=2625\text{ mm}^2$

上翼板形心至中性軸的距離：

$\bar y=100+\frac{15}{2}=107.5\text{ mm}$

因此：