110 中華郵政招考專業職(一) 機械設備 中華郵政專業職(一) (機械力學概要) 考古題詳解

110 年・中華郵政招考・專業職(一)・機械設備
試題代碼 110年中華郵政專業職(一)機械設備 (機械力學概要)

第 第一題 題25 分

一個平面桁架，如【圖一】所示。若 AA 點為鉸支承（hinge），DD 點為滾支承（roller），CC 點受力 500 N500\ \mathrm{N}，請回答下列問題。（若條件不足，請自行做合理假設。）

（一）AA 點的反力為何？（單位：N\mathrm{N}）

（二）DD 點的反力為何？（單位：N\mathrm{N}）

（三）桿件的內力為何？（拉力為正、壓力為負，請註明桿件受力為拉力或壓力。）（單位：N\mathrm{N}）

（四）桿件的內力為何？（拉力為正、壓力為負，請註明桿件受力為拉力或壓力。）（單位：N\mathrm{N}）

（五）桿件的內力為何？（拉力為正、壓力為負，請註明桿件受力為拉力或壓力。）（單位：N\mathrm{N}）

【圖一】

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核心觀念

本題考查平面桁架的：

  • 支承反力計算
  • 節點法（method of joints）
  • 桿件二力作用原理
  • 拉力、壓力的符號判定

取 xx 軸向右、yy 軸向上，並以拉力為正、壓力為負。

由圖可知：

  • AA 為鉸支承，具有 Ax、AyA_x、A_y 兩個反力分量。
  • DD 為靠垂直牆面的滾支承，反力為水平方向 DxD_x。
  • AEAE、CECE 與水平夾角為 30∘30^\circ。
  • DE=1.732 mDE=1.732\ \mathrm{m}，ECEC 的水平投影也是 1.732 m1.732\ \mathrm{m}。

解題方法

一、計算支承反力

整體桁架受力平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0 Ay−500=0A_y-500=0

因此

Ay=500 NA_y=500\ \mathrm{N}

以 DD 點取力矩：

∑MD=0\sum M_D=0

AxA_x 的作用線距離 DD 點為 1 m1\ \mathrm{m}，而 CC 點的垂直力作用線距離 DD 點為：

1.732+1.732=3.464 m1.732+1.732=3.464\ \mathrm{m}

故

Ax(1)−500(3.464)=0A_x(1)-500(3.464)=0

考慮圖示方向後，AxA_x 向左：

Ax=−1732 NA_x=-1732\ \mathrm{N}

再由水平方向平衡：

∑Fx=0\sum F_x=0 Ax+Dx=0A_x+D_x=0 Dx=1732 ND_x=1732\ \mathrm{N}

方向向右。

AA 點反力合力大小為：

RA=Ax2+Ay2=17322+5002≈1803 NR_A=\sqrt{A_x^2+A_y^2} =\sqrt{1732^2+500^2} \approx 1803\ \mathrm{N}

二、計算桿件 ABAB 與 AEAE 內力

取 AA 節點分析。假設桿件均受拉，桿力由節點向外作用。

由垂直方向平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0 500−SAEsin⁡30∘=0500-S_{AE}\sin30^\circ=0 500−0.5SAE=0500-0.5S_{AE}=0 SAE=1000 NS_{AE}=1000\ \mathrm{N}

結果為正，表示 AEAE 為拉力。

由水平方向平衡：

∑Fx=0\sum F_x=0 −1732+SAB+SAEcos⁡30∘=0-1732+S_{AB}+S_{AE}\cos30^\circ=0 −1732+SAB+1000(0.866)=0-1732+S_{AB}+1000(0.866)=0
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第 第二題 題25 分

兩個方形斷面的鋼材，如【圖二】所示，密度為 7.85 g/cm37.85\ \mathrm{g/cm^3}。AA 斷面為實心方桿（寬度 4 cm4\ \mathrm{cm}），BB 斷面為空心方形管（寬度 10 cm10\ \mathrm{cm}、厚度 0.4 cm0.4\ \mathrm{cm}）。請回答下列問題。（若條件不足，請自行做合理假設。）

（一）AA 斷面的截面積 AAA_A 為何？（單位：cm2\mathrm{cm^2}）【3 分】

（二）BB 斷面的截面積 ABA_B 為何？（單位：cm2\mathrm{cm^2}）【3 分】

（三）AA 的單位質量（每一公尺的質量）mAm_A 為何？（單位：kg/m\mathrm{kg/m}）【3 分】

（四）BB 的單位質量（每一公尺的質量）mBm_B 為何？（單位：kg/m\mathrm{kg/m}）【3 分】

（五）AA 斷面對其形心軸的面積慣性矩 IAI_A 為何？（單位：cm4\mathrm{cm^4}）【4 分】

（六）BB 斷面對其形心軸的面積慣性矩 IBI_B 為何？（單位：cm4\mathrm{cm^4}）【4 分】

（七）若鋼材的成本與單位質量成正比，且鋼材主要承受彎曲力矩，則選用哪一種斷面（A 或 B）比較省錢划算？原因為何？【5 分】

【圖二】

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核心觀念

本題考查：

  1. 實心與空心方形斷面的截面積。
  2. 密度與單位質量的換算。
  3. 矩形斷面對形心軸的面積慣性矩。
  4. 以「單位質量所能提供的抗彎能力」比較斷面經濟性。

方形或矩形斷面對水平、垂直形心軸的面積慣性矩為

I=bh312I=\frac{bh^3}{12}

對正方形而言，因為 b=hb=h，所以

I=b412I=\frac{b^4}{12}

空心方形管則可視為「外方形減去內方形」。

（一）A 斷面的截面積

A 為寬度 4 cm4\ \mathrm{cm} 的實心方形：

AA=4×4A_A=4\times4 AA=16 cm2\boxed{A_A=16\ \mathrm{cm^2}}

（二）B 斷面的截面積

B 的外寬為 10 cm10\ \mathrm{cm}，管壁厚度為 0.4 cm0.4\ \mathrm{cm}。

因此內部方孔的邊長為

bi=10−2(0.4)=9.2 cmb_i=10-2(0.4)=9.2\ \mathrm{cm}

截面積為外方形面積減去內方形面積：

AB=102−9.22A_B=10^2-9.2^2 AB=100−84.64=15.36 cm2A_B=100-84.64=15.36\ \mathrm{cm^2} AB=15.36 cm2\boxed{A_B=15.36\ \mathrm{cm^2}}

（三）A 的單位質量

鋼材密度為

ρ=7.85 g/cm3\rho=7.85\ \mathrm{g/cm^3}

換算為

ρ=7850 kg/m3\rho=7850\ \mathrm{kg/m^3}

每一公尺長度的 A 斷面體積為

VA=16 cm2×100 cm=1600 cm3V_A=16\ \mathrm{cm^2}\times100\ \mathrm{cm} =1600\ \mathrm{cm^3}

因此每公尺質量為

mA=7.85×1600 g=12560 gm_A=7.85\times1600\ \mathrm{g} =12560\ \mathrm{g} mA=12.56 kg/mm_A=12.56\ \mathrm{kg/m}

亦可直接使用：

m=ρA=7850(16×10−4)m=\rho A =7850(16\times10^{-4}) mA=12.56 kg/m\boxed{m_A=12.56\ \mathrm{kg/m}}

（四）B 的單位質量

每一公尺長度的 B 斷面體積為

VB=15.36 cm2×100 cm=1536 cm3V_B=15.36\ \mathrm{cm^2}\times100\ \mathrm{cm} =1536\ \mathrm{cm^3}

因此每公尺質量為

mB=7.85×1536 g=12057.6 gm_B=7.85\times1536\ \mathrm{g} =12057.6\ \mathrm{g} mB=12.0576 kg/m\boxed{m_B=12.0576\ \mathrm{kg/m}}

（五）A 斷面對形心軸的面積慣性矩

A 為邊長 4 cm4\ \mathrm{cm} 的實心方形：

IA=b412I_A=\frac{b^4}{12} IA=4412=25612=21.3333 cm4I_A=\frac{4^4}{12} =\frac{256}{12} =21.3333\ \mathrm{cm^4} IA=21.33 cm4\boxed{I_A=21.33\ \mathrm{cm^4}}

A 為正方形，因此對水平或垂直形心軸的面積慣性矩相同。

（六）B 斷面對形心軸的面積慣性矩

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第 第三題 題25 分

如【圖三】所示，一輛載送郵件的空臺車，以速度 v=6 km/hrv=6\ \mathrm{km/hr} 往一停靠點駛去，接觸一使臺車減速的彈簧後，在不考慮彈簧具有阻尼的情況下，使用其他機構鉤住臺車。若空臺車重 10,000 N10{,}000\ \mathrm{N}、彈簧的彈性係數 k=180 kN/mk=180\ \mathrm{kN/m}（碰撞過程皆為彈性碰撞），請回答下列問題：

（一）臺車在過程中讓彈簧產生的最大壓縮位移為何？【7 分】

（二）因鉤住臺車後阻擋臺車至停止的位置需在最大壓縮位移發生之後，也就是彈簧將會回彈一小段。假設此設計鉤住臺車使之為靜止的狀態時，彈簧相較於原未壓縮的彈簧相比壓縮量為 6 cm6\ \mathrm{cm}，則停止後，放開鉤爪使臺車彈出過程的臺車最高速度為何？【8 分】

（三）若空臺車被鉤住靜止後，添加郵件重量至臺車總重為 15,000 N15{,}000\ \mathrm{N}，欲釋放掛勾後使臺車以 v=6 km/hrv=6\ \mathrm{km/hr} 的速度離開，則彈簧壓縮量需要壓至多大的位移？期間彈簧皆假設為線性彈性的狀態？【10 分】

【圖三】

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核心觀念

本題考查「彈簧彈性能與動能互換」及機械能守恆。因題目不考慮阻尼、摩擦及其他能量損失，故可使用：

12mv2=12kx2\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kx^2

其中：

  • mm：臺車質量
  • vv：臺車速度
  • kk：彈簧彈性係數
  • xx：彈簧壓縮量
  • 臺車重量與質量關係為 W=mgW=mg

已知：

v=6 km/hr=63.6=1.667 m/sv=6\ \mathrm{km/hr} =\frac{6}{3.6} =1.667\ \mathrm{m/s} k=180 kN/m=180000 N/mk=180\ \mathrm{kN/m}=180000\ \mathrm{N/m}

取 g=9.8 m/s2g=9.8\ \mathrm{m/s^2}。

（一）最大壓縮位移

臺車剛接觸彈簧時具有動能；壓縮至最大位置時，臺車瞬間停止，原有動能全部轉換為彈簧彈性能。

臺車質量：

m=Wg=100009.8=1020.4 kgm=\frac{W}{g} =\frac{10000}{9.8} =1020.4\ \mathrm{kg}

依能量守恆：

12mv2=12kxmax⁡2\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kx_{\max}^2

因此：

xmax⁡=vmk=vWgkx_{\max} =v\sqrt{\frac{m}{k}} =v\sqrt{\frac{W}{gk}}

代入數值：

xmax⁡=1.667100009.8(180000)x_{\max} =1.667\sqrt{\frac{10000}{9.8(180000)}} xmax⁡=0.125 mx_{\max}=0.125\ \mathrm{m}

所以最大壓縮位移為：

xmax⁡≈12.5 cm\boxed{x_{\max}\approx 12.5\ \mathrm{cm}}

（二）釋放鉤爪後臺車的最高速度

鉤住臺車靜止時，彈簧仍壓縮：

x0=6 cm=0.06 mx_0=6\ \mathrm{cm}=0.06\ \mathrm{m}

放開鉤爪後，彈簧由壓縮狀態回復至原長。臺車速度最大的位置，是彈簧恢復原長、壓縮量變為零時，此時彈簧彈性能全部轉換為臺車動能。

12kx02=12mvmax⁡2\frac{1}{2}kx_0^2=\frac{1}{2}mv_{\max}^2

因此：

vmax⁡=x0km=x0kgWv_{\max} =x_0\sqrt{\frac{k}{m}} =x_0\sqrt{\frac{kg}{W}}

代入：

vmax⁡=0.06180000(9.8)10000v_{\max} =0.06\sqrt{\frac{180000(9.8)}{10000}} vmax⁡=0.797 m/sv_{\max}=0.797\ \mathrm{m/s}

換算為 km/hr\mathrm{km/hr}：

vmax⁡=0.797(3.6)=2.87 km/hrv_{\max}=0.797(3.6) =2.87\ \mathrm{km/hr}

所以臺車最高速度為：

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第 第四題 題25 分

若一郵箱由郵政人員搬運至輸送帶上時，如【圖四】所示，假定放置於帶上於 AA 點速度為靜止，輸送帶運行的切線加速度為

at=(0.298t) m/sec2a_t=(0.298t)\ \mathrm{m/sec^2}

請回答下列問題。（若計算機無法運算，請求近似解。）

（一）郵箱移動依照此加速度移動至 BB 點大約需要多久的時間（答案四捨五入至整數位即可）。【7 分】

（二）假設由 AA 點至 t=3 sect=3\ \mathrm{sec} 時，速度多快？移動至離 AA 點多遠的位置？【4 分】

（三）假設由 AA 點至 t=5 sect=5\ \mathrm{sec} 時，切線加速度是多少？法線加速度是多少？【3 分】【7 分】

【圖四】

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核心觀念

本題考查曲線運動的切線運動與法線運動：

  • 切線加速度： at=dvdta_t=\frac{dv}{dt}
  • 位移與速度關係： v=dsdtv=\frac{ds}{dt}
  • 曲線上的法線加速度： an=v2ρa_n=\frac{v^2}{\rho}

由圖可知，AA 至圓弧起點的直線距離為 6 m6\ \mathrm{m}，圓弧半徑為 3 m3\ \mathrm{m}，BB 位於圓弧最低點，因此圓弧為四分之一圓。

解題方法

已知輸送帶切線加速度為

at=0.298t m/s2a_t=0.298t\ \mathrm{m/s^2}

且郵箱在 AA 點由靜止開始，因此 v0=0v_0=0、s0=0s_0=0。

由

at=dvdta_t=\frac{dv}{dt}

得

dv=0.298t dtdv=0.298t\,dt

積分後：

v=∫0t0.298t dt=0.149t2v=\int_0^t0.298t\,dt=0.149t^2

再由

v=dsdtv=\frac{ds}{dt}

得

s=∫0t0.149t2 dts=\int_0^t0.149t^2\,dt

因此

s=0.0496667t3s=0.0496667t^3

（一）由 AA 移動至 BB 所需時間

AA 至 BB 的總路徑長度為

sAB=6+14(2πr)s_{AB}=6+\frac{1}{4}(2\pi r)

代入 r=3 mr=3\ \mathrm{m}：

sAB=6+3π2≈10.712 ms_{AB}=6+\frac{3\pi}{2}\approx10.712\ \mathrm{m}

令 s=10.712s=10.712：

0.0496667t3=10.7120.0496667t^3=10.712

t3≈215.68t^3\approx215.68

t≈5.995 st\approx5.995\ \mathrm{s}

四捨五入至整數：

t≈6 s\boxed{t\approx6\ \mathrm{s}}

（二）t=3 st=3\ \mathrm{s} 時的速度與位置

速度為

v=0.149t2v=0.149t^2

代入 t=3 st=3\ \mathrm{s}：

v=0.149(3)2=1.341 m/sv=0.149(3)^2=1.341\ \mathrm{m/s}

因此

v≈1.34 m/s\boxed{v\approx1.34\ \mathrm{m/s}}

移動距離為

s=0.0496667(3)3s=0.0496667(3)^3

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