109 關務特考三等 輻射安全技術工程 放射物理與輻射安全 考古題詳解

109 年・關務特考・三等・輻射安全技術工程
試題代碼 放射物理與輻射安全

第 一 題20 分

100 keV100\ \mathrm{keV} 光子與銅的 KK 層電子作用，銅的 KK 層束縛能為 9.0 keV9.0\ \mathrm{keV}。已知 100 keV100\ \mathrm{keV} 光子發生光電效應和康普吞（Compton）效應的直線衰減係數（linear attenuation coefficient）分別為 τ\tau 和 σ\sigma；而發生光電效應和 Compton 效應的能量轉移係數分別為 τtr\tau_{\mathrm{tr}} 和 σtr\sigma_{\mathrm{tr}}。

其中，發生 Compton 效應的光子之散射角度以 90∘90^\circ 計算。請計算：

（一）τtrτ\frac{\tau_{\mathrm{tr}}}{\tau}。

（二）σtrσ\frac{\sigma_{\mathrm{tr}}}{\sigma}。

（每小題 1010 分，共 2020 分）

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核心觀念

能量轉移係數表示光子能量經交互作用轉移給帶電粒子的比例。若每次交互作用中轉移給帶電粒子的能量為 TT，入射光子能量為 EE，則該交互作用的能量轉移係數與直線衰減係數之比為

μtrμ=TE.\frac{\mu_{\mathrm{tr}}}{\mu}=\frac{T}{E}.

因此，本題分別求光電效應與 Compton 效應中，光子能量轉移給電子的比例。

解題方法

（一）τtrτ\frac{\tau_{\mathrm{tr}}}{\tau}

光電效應中，入射光子被吸收，K 層電子逸出成為光電子。光子能量一部分用來克服 K 層束縛能，其餘成為光電子動能：

T=E−BK=100−9=91 keV.T=E-B_K=100-9=91\ \mathrm{keV}.

所以

τtrτ=TE=91100=0.91.\frac{\tau_{\mathrm{tr}}}{\tau} =\frac{T}{E} =\frac{91}{100} =\boxed{0.91}.

（二）σtrσ\frac{\sigma_{\mathrm{tr}}}{\sigma}

Compton 效應中，散射後光子仍帶有能量；轉移給反沖電子的能量等於入射與散射光子的能量差。

散射光子能量由 Compton 公式求得：

E′=E1+Emec2(1−cos⁡θ).E'=\frac{E}{1+\dfrac{E}{m_ec^2}(1-\cos\theta)}.

取 mec2=511 keVm_ec^2=511\ \mathrm{keV}、E=100 keVE=100\ \mathrm{keV}、θ=90∘\theta=90^\circ，因為

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第 二 題20 分

已知 1.25 MeV1.25\ \mathrm{MeV} 光子對空氣的質量衰減係數 (μρ)\left(\frac{\mu}{\rho}\right) 為 0.0569 cm2/g0.0569\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{g}，和質量吸收係數 (μabρ)\left(\frac{\mu_{\mathrm{ab}}}{\rho}\right) 為 0.0267 cm2/g0.0267\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{g}。空氣的密度為 0.001293 g⋅m−30.001293\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{m}^{-3}。

有一 1 Ci1\ \mathrm{Ci} 活度的點射源 60Co^{60}\mathrm{Co}（半衰期 5.265.26 年），要考慮空氣的衰減，請計算距離 33 公尺處：

（一）光子的通量率（m−2⋅s−1\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{s}^{-1}）。

（二）空氣吸收劑量率（Gy⋅s−1\mathrm{Gy}\cdot\mathrm{s}^{-1}）。

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核心觀念

點射源在無衰減空間中的光子通量率，等於每秒放出的光子數除以球面面積；考慮空氣衰減時，再乘上指數衰減因子：

Φ˙(r)=N˙γ4πr2e−μr,μ=(μρ)ρ\dot{\Phi}(r)=\frac{\dot{N}_{\gamma}}{4\pi r^2}e^{-\mu r}, \qquad \mu=\left(\frac{\mu}{\rho}\right)\rho

空氣吸收劑量率可由光子能量通量率乘上質量吸收係數求得：

D˙=Φ˙Eγ(μabρ)\dot{D}=\dot{\Phi}E_{\gamma} \left(\frac{\mu_{\mathrm{ab}}}{\rho}\right)

其中質量吸收係數須換成 m2/kg\mathrm{m^2/kg}，光子能量須換成 J\mathrm{J}，結果才是 Gy/s\mathrm{Gy/s}。

解題方法

題目所列空氣密度為 0.001293 g⋅m−30.001293\ \mathrm{g\cdot m^{-3}}，但空氣在標準狀況下常用的密度是 0.001293 g⋅cm−30.001293\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}。以下依此慣用值計算，亦即 ρ=1.293 kg/m3\rho=1.293\ \mathrm{kg/m^3}。

60Co^{60}\mathrm{Co} 每次衰變約放出兩個光子，題目以 1.25 MeV1.25\ \mathrm{MeV} 表示其代表光子能量，因此光子放出率為

N˙γ=2A=2(1 Ci)(3.7×1010 s−1/Ci)=7.4×1010 s−1\dot{N}_{\gamma}=2A =2(1\ \mathrm{Ci})(3.7\times10^{10}\ \mathrm{s^{-1}/Ci}) =7.4\times10^{10}\ \mathrm{s^{-1}}

先將質量衰減係數換算成線性衰減係數：

μ=(0.0569 cm2/g)(0.001293 g/cm3)=7.358×10−5 cm−1=7.358×10−3 m−1\mu =(0.0569\ \mathrm{cm^2/g})(0.001293\ \mathrm{g/cm^3}) =7.358\times10^{-5}\ \mathrm{cm^{-1}} =7.358\times10^{-3}\ \mathrm{m^{-1}}

在 r=3 mr=3\ \mathrm{m} 處，空氣透射因子為

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第 三 題20 分

已知活度 0.2 μCi0.2\ \mu\mathrm{Ci} 的點射源（source, S）137Cs^{137}\mathrm{Cs} 到偵測器窗口距離 dd 為 1010 公分，偵測器窗口為圓形，半徑為 33 公分，示意圖如下。

（一）請計算立體角（solid angle, Ω\Omega）為何？

（二）此偵測器對 662 keV662\ \mathrm{keV} 光子（photon）的偵測效率為 0.12 count/photon0.12\ \mathrm{count/photon}，不考慮背景值與偵測器的無感時間（dead time），請計算計數率（count per minute, cpm）為何？

（每小題 1010 分，共 2020 分）

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核心觀念

點射源若視為各向同性放射，偵測器窗口截取的光子比例為 Ω/(4π)\Omega/(4\pi)，其中 Ω\Omega 是窗口從射源位置所張的立體角。圓形窗口半徑為 aa、射源到窗口平面的垂直距離為 dd 時：

Ω=2π(1−dd2+a2)\Omega=2\pi\left(1-\frac{d}{\sqrt{d^2+a^2}}\right)

計數率則由「每秒發射的 662 keV662\ \mathrm{keV} 光子數 × 幾何截取比例 × 偵測效率」求得，再由每秒計數換算為每分鐘計數。

解題方法

（一）立體角

題圖為圓形窗口正對點射源，代入 d=10 cmd=10\ \mathrm{cm}、a=3 cma=3\ \mathrm{cm}：

Ω=2π(1−10102+32)=2π(1−10109)≈0.265 sr\begin{aligned} \Omega &=2\pi\left(1-\frac{10}{\sqrt{10^2+3^2}}\right)\\ &=2\pi\left(1-\frac{10}{\sqrt{109}}\right)\\ &\approx 0.265\ \mathrm{sr} \end{aligned}

（二）計數率

活度為：

A=0.2 μCi×3.7×104=7.4×103 s−1A=0.2\ \mu\mathrm{Ci}\times 3.7\times10^4 =7.4\times10^3\ \mathrm{s^{-1}}
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第 四 題20 分

某一質量 33 公克的 32S^{32}\mathrm{S} 同位素經中子通量率 1770 cm−2s−11770\ \mathrm{cm}^{-2}\mathrm{s}^{-1} 照射。已知 32S(n,p)32P^{32}\mathrm{S}(n,p)^{32}\mathrm{P} 反應之中子與 32S^{32}\mathrm{S} 的作用截面是 0.210.21 邦（barn），32P^{32}\mathrm{P} 的半衰期是 14.314.3 天。請計算：

（一）32P^{32}\mathrm{P} 的飽和活度（saturation activity）為多少貝克（Bq）？

（二）經過多少天的照射，32P^{32}\mathrm{P} 的活度可達 8 Bq8\ \mathrm{Bq}？

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核心觀念

本題考中子活化分析中「生成與衰變同時進行」的活度變化。照射時，32S^{32}\mathrm{S} 以反應率生成 32P^{32}\mathrm{P}，而生成的 32P^{32}\mathrm{P} 同時依其衰變常數 λ\lambda 衰變。

靶核數為 NTN_T 時，生成率為

R=ϕσNTR=\phi\sigma N_T

其中 ϕ\phi 為中子通量率，σ\sigma 為反應截面。若照射期間靶核數近似不變，照射 tt 秒後的產物活度為

A(t)=R(1−e−λt)=Asat(1−e−λt)A(t)=R\left(1-e^{-\lambda t}\right) =A_{\mathrm{sat}}\left(1-e^{-\lambda t}\right)

因此飽和活度為 Asat=RA_{\mathrm{sat}}=R，而 λ=ln⁡2/T1/2\lambda=\ln 2/T_{1/2}。

解題方法

先由硫-32 質量求靶核數，再計算反應生成率。注意 1 barn=10−24 cm21\ \mathrm{barn}=10^{-24}\ \mathrm{cm^2}，且半衰期須換算成秒才能與以秒為單位的生成率搭配。

靶核數：

NT=mMNA=3 g32 g mol−1(6.022×1023 mol−1)=5.646×1022N_T=\frac{m}{M}N_A =\frac{3\ \mathrm{g}}{32\ \mathrm{g\,mol^{-1}}} (6.022\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}) =5.646\times10^{22}

反應截面換算為

σ=0.21×10−24=2.1×10−25 cm2\sigma=0.21\times10^{-24} =2.1\times10^{-25}\ \mathrm{cm^2}

（一）飽和活度

Asat=ϕσNT=(1770)(2.1×10−25)(5.646×1022)=21.0 s−1A_{\mathrm{sat}}=\phi\sigma N_T =(1770)(2.1\times10^{-25})(5.646\times10^{22}) =21.0\ \mathrm{s^{-1}}

由於 1 Bq=1 s−11\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}，

Asat≈21.0 BqA_{\mathrm{sat}}\approx 21.0\ \mathrm{Bq}
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第 五 題20 分

已知質量差能量為 Δ\Delta，原子量為 MM，質量數為 AA，Δ=(M−A)⋅c2\Delta=(M-A)\cdot c^2。206Pb^{206}\mathrm{Pb} 的 Δ\Delta 是 −23.79 MeV-23.79\ \mathrm{MeV}，而 205Pb^{205}\mathrm{Pb} 的 Δ\Delta 是 −23.77 MeV-23.77\ \mathrm{MeV}；中子的 Δ\Delta 是 8.07 MeV8.07\ \mathrm{MeV}。

高能量的 γ\gamma ray 可能與原子核發生光致蛻變（photodisintegration）。請計算：

（一）發生 206Pb(γ,n)205Pb^{206}\mathrm{Pb}(\gamma,n)^{205}\mathrm{Pb} 作用，光子的最低能量為何？

（二）若入射光子的能量為 12 MeV12\ \mathrm{MeV}，則作用產生的中子初始動能為何？

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核心觀念

本題考核光致蛻變反應的能量守恆，以及反應閾能與產物動能的關係。質量差能量定義為

Δ=(M−A)c2\Delta=(M-A)c^2

其中 MM 為原子量，AA 為質量數。對反應 206Pb(γ,n)205Pb^{206}\mathrm{Pb}(\gamma,n)^{205}\mathrm{Pb}，反應前後的質量差能量變化可用來求反應的 QQ 值：

Q=Δ初態−Δ末態Q=\Delta_{\text{初態}}-\Delta_{\text{末態}}

若 Q<0Q<0，反應需由入射光子提供能量；最低光子能量即為反應閾能。光子動量由反應核與中子共同承擔，因此閾能略高於單純的分離能。

解題方法

將中子與鉛核的質量差能量代入。反應前是 206Pb^{206}\mathrm{Pb}，反應後是 205Pb^{205}\mathrm{Pb} 與中子，因此

Q=Δ(206Pb)−[Δ(205Pb)+Δ(n)]Q=\Delta(^{206}\mathrm{Pb}) -\left[\Delta(^{205}\mathrm{Pb})+\Delta(n)\right] Q=−23.79−(−23.77+8.07)=−8.09 MeVQ=-23.79-\left(-23.77+8.07\right) =-8.09\ \mathrm{MeV}

故反應所需的分離能為 −Q=8.09 MeV-Q=8.09\ \mathrm{MeV}。

（一）最低光子能量

設靜止靶核質量能為 M206c2M_{206}c^2。在閾值狀態，反應產物沒有相對運動，產物系統整體仍須帶有入射光子的動量。由相對論能量與動量守恆，閾能為

Eγ,th=(M205c2+mnc2)2−(M206c2)22M206c2E_{\gamma,\mathrm{th}} =\frac{(M_{205}c^2+m_nc^2)^2-(M_{206}c^2)^2} {2M_{206}c^2}

令 Sn=−Q=8.09 MeVS_n=-Q=8.09\ \mathrm{MeV}，且 M205c2+mnc2=M206c2+SnM_{205}c^2+m_nc^2=M_{206}c^2+S_n，可改寫為

Eγ,th=Sn+Sn22M206c2E_{\gamma,\mathrm{th}} =S_n+\frac{S_n^2}{2M_{206}c^2}
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