108 身心障礙特考三等 水利工程 水資源工程學 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗考生對於水庫泥砂管理（Reservoir Sedimentation Management）​與水利工程減淤對策之整體理解。臺灣因地質年輕脆弱、構造活動劇烈、河川坡陡流急，加之颱風豪雨集中，水庫集水區之土壤沖蝕與崩塌率極高。

水庫淤積之物理機制主要涵蓋泥砂之「產出（沖蝕）」、「輸送（搬運）」、「沉陷（庫區沉降）」。泥砂淤積將直接降低有效蓄水容量（Active Storage）、損害出水工結構、縮短水庫運轉壽命。防止與減緩水庫淤積之工程思維，已由早期的「被動清淤」演進為泥砂生命週期全過程管理（Life-cycle Sediment Management），其主要依據之水力學與水土保持原理包括：

1. 布朗沉降捕獲率（Brune's Trap Efficiency）：水庫捕獲率 $E$ 為水庫容量（$C$）與年逕流量（$I$）比值（$C/I$）之函數，當入庫泥砂尚未完全沉降即被排除時，可有效降低 $E$。
2. 異重流理論（Density/Turbidity Current）：洪汛期高含砂水流因密度大於庫水，於水庫底層形成潛流，可藉由低層出水工及時排出。
3. 水流剪應力與沖淤平衡：底床剪應力 $\tau_0 = \gamma R S_f$ 大於臨界剪應力 $\tau_c$ 時，泥砂起動並被水流帶向下游。

解題方法

本題為經典申論題。解題切入點應依循​「空間尺度」​與​「泥砂流動路徑」​之邏輯序列鋪陳，切忌雜亂列舉。理想的架構由上游至下游分為三大防線：

1. 上游集水區治理（源頭抑制產砂量）
2. 入庫前或庫首分流（旁通繞道截砂）
3. 庫區水力操作排砂（利用洪水水力帶砂出庫）
4. 庫內機械與人工清除（庫底機械開挖與抽泥）

依此系統化邏輯，嚴選五項在《水資源工程學》理論完備、且符合臺灣現地工程實務（如石門、曾文水庫工程）之防淤工法進行詳解。

選項分析

本題非選擇題，為「申論分析題」。以下針對所列舉之五項防止與減緩水庫淤積之關鍵工程方法，逐項深入分析其作用原理、工程手段及適用情境：

1. 集水區水土保持與崩塌地整治（源頭減砂）

• 作用原理：水庫泥砂之源頭在於集水區山坡地之表土沖蝕及深層崩塌。透過增加入滲、減緩地表逕流流速與剪應力，減少土壤流失量 $A$（符合通用土壤流失公式 $A = R \cdot K \cdot L \cdot S \cdot C \cdot P$ 之控制原理）。
• 工程手段：
• 植生綠化：造林、植生護坡，增加地表被覆（降低 $C$ 因子）。
• 水土保持工程：設置梯田、山邊溝、截水溝以攔截與導引逕流。
• 野溪治理與治山防災：施作防砂壩（Sabo Dam）、潛壩、梳子壩、固床工，固定兩岸坡腳，穩定河床縱剖面，攔阻上游粗顆粒巨石與砂礫進入水庫主流。

2. 水庫旁通防淤隧道（繞道排砂 / Sediment Bypass Tunnel, SBT）

• 作用原理：於水庫上游庫首或支流處設置攔河堰與進水口，在颱風暴雨洪峰攜帶大量高濁度泥砂時，利用重力旁通隧道直接將高含砂水流導引繞過水庫蓄水核心區，排至大壩下游河道。
• 工程特點與效益：
• 徹底避免粗、細顆粒泥砂沉積於深水庫區。
• 維持天然河川之下游輸砂連續性，亦可減緩大壩下游沖刷侵蝕問題。
• 實務案例：臺灣石門水庫「阿姆坪防淤隧道」、烏山頭水庫官田溪分流工程。

3. 水力排砂操作——異重流排砂（Density Current Venting）

• 作用原理：洪汛期入庫溪流含有極高濃度之懸浮泥砂，高含砂水體之混濁密度顯著高於庫內清澄水體。進入深水區後，重力分層作用使泥砂水流潛入庫底形成「異重流」（Turbidity Current），沿蓄水底床往大壩方向推移前進。
• 操作手段：

核心觀念

本題旨在評量水利工程中「管流（Pipe Flow）水力學」之基本能量方程式與能量損失機制：

1. 管流能量損失分類：管路系統中的水頭損失分為主要水頭損失（Major Head Loss）​與次要水頭損失（Minor Head Loss）。主要水頭損失源於流體黏滯性及管壁剪應力所引發的沿程摩擦阻力；次要水頭損失則由管件、閥門、斷面變化及彎頭等局部幾何變異引發之紊流渦流所造成。
2. 主要水頭損失計算公式：水力學中最基本且符合無因次理論的通式為達西–威斯巴哈公式（Darcy-Weisbach Equation）。工程實務（特別是供排水管網）亦常輔以哈森–威廉氏公式（Hazen-Williams Equation）​或曼寧公式（Manning's Equation）​進行估算。

解題方法

一、 排水管路管流流動時之主要能量（水頭）損失（5 分）

在排水管路維持滿管流（Full Pipe Flow，受壓管流）流動時，主要的能量損失為沿程摩擦水頭損失（Friction Head Loss，記作 $h_f$）。

• 物理成因：當水流在管路內部運動時，水流與管壁內表面接觸產生剪應力（Shear Stress），加上水體分子間之黏滯性（Viscosity）與紊流側向動量交換，使機械能不可逆地轉化為熱能消散於環境中。
• 稱為「主要」損失的原因：在長距離排水管線或輸水管路中，管長與管徑之比值通常甚大（$L/D > 1000$），摩擦損失沿整個管長持續累積，往往佔總水頭損失的 $90\%$ 以上；相對地，彎頭或閥門引起的局部損失（次要損失）佔比較小，故稱摩擦損失為主要水頭損失。

二、 主要水頭損失之計算公式及符號說明（10 分）

計算主要水頭損失最標準、理論推導最完備的公式為達西–威斯巴哈公式（Darcy-Weisbach Equation）。於國家考試作答時，以列出此公式為核心，並輔以工程實務常用經驗公式作為補充說明最為完備。

1. 達西–威斯巴哈公式（標準理論通式）

• 公式型態：

• 流速型： $h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}$

• 流量型（由連續方程式 $Q = \frac{\pi D^2}{4} V$ 代入整理）： $h_f = \frac{8fL}{\pi^2 g D^5} Q^2$

• 符號說明與單位（採 SI 制）：

• $h_f$：摩擦水頭損失（Friction Head Loss），單位為公尺（$\text{m}$）。

• $f$：達西摩擦係數（Darcy Friction Factor），為無因次參數（Dimensionless）。其值依雷諾數（$Re$）及管壁相對粗糙度（$\epsilon/D$）由莫迪圖（Moody Diagram）或柯爾布魯克公式（Colebrook Equation）查算取得；若流況為層流（$Re < 2000$），則 $f = \frac{64}{Re}$。

• $L$：管路長度（Length of Pipe），單位為公尺（$\text{m}$）。

• $D$：管路內徑（Inside Diameter of Pipe），單位為公尺（$\text{m}$）。

• $V$：管內斷面平均流速（Mean Velocity），單位為公尺每秒（$\text{m/s}$）。

• $g$：重力加速度（Acceleration due to Gravity），在 SI 制通常取 $9.81\ \text{m/s}^2$。

• $Q$：管路通過之體積流量（Discharge），單位為立方公尺每秒（$\text{m}^3\text{/s}$）。

2. 工程實務常用經驗公式（補充列出展現深度）

在給水、排水或污水工程實務中，水溫通常介於常溫（$15^\circ\text{C}\sim 20^\circ\text{C}$），常採用經驗公式簡化計算：

核心觀念

本題屬於水資源工程規劃中的「工程經濟分析（Engineering Economic Analysis）」，評估多個互斥工程方案（Mutually Exclusive Alternatives）時，在產出效益相同或不考慮效益的前提下，通常採用現值法（Present Worth Method, PW）​比較各方案之總成本現值（Present Worth of Cost, $PWC$），以總成本現值最小者為最佳經濟方案。

本題涉及的核心公式與折現因子如下：

1. 一次支付現值因子（Single Payment Present Worth Factor, SPPWF）： 將未來第 $n$ 年末之單筆金額 $F$ 折算為基準年（第 0 年）之現值 $P$： $(P/F, i, n) = (1 + i)^{-n}$

2. 等額年金現值因子（Uniform Series Present Worth Factor, USPWF）： 將每年年末發生之等額年成本 $A$ 折算為基準年之現值 $P$： $(P/A, i, n) = \frac{(1 + i)^n - 1}{i(1 + i)^n}$

3. 總成本現值公式： 以第 0 年為基準時點，計入初期投資成本（$C$）、年營運抽水成本（$A$）及使用年限終了之殘值（$S$）： $PWC = C + A \times (P/A, i, n) - S \times (P/F, i, n)$ 其中，殘值 $S$ 屬於資產回收（現金流入），故在累計成本現值時應予扣除。

解題方法

步驟一：計算折現因子

已知年利率 $i = 4\% = 0.04$，分析年期 $n = 5$ 年。

1. 一次支付現值因子 $(P/F, 4\%, 5)$： $(1 + 0.04)^5 = (1.04)^5 \approx 1.216653$ $(P/F, 4\%, 5) = \frac{1}{1.216653} \approx 0.821927$

2. 等額年金現值因子 $(P/A, 4\%, 5)$： $(P/A, 4\%, 5) = \frac{1.216653 - 1}{0.04 \times 1.216653} = \frac{0.216653}{0.048666} \approx 4.451822$

步驟二：計算各方案之總成本現值（$PWC$）

各方案 5 年後之殘值均為原初期成本之 20%，即 $S = 0.20 \times C$。 因此，各方案之初期成本淨現值為： $C - S \times (P/F, 4\%, 5) = C \times [1 - 0.20 \times 0.821927] = C \times 0.835615$

1. A 方案（管徑 30 公分）：

• 初期成本 $C_A = 650,000$ 元
• 殘值 $S_A = 650,000 \times 20\% = 130,000$ 元
• 年抽水成本 $A_A = 250,000$ 元

$PWC_A = 650,000 + 250,000 \times 4.451822 - 130,000 \times 0.821927$ $PWC_A = 650,000 + 1,112,956 - 106,851 = 1,656,105 \text{ 元}$

2. B 方案（管徑 40 公分）：

• 初期成本 $C_B = 700,000$ 元
• 殘值 $S_B = 700,000 \times 20\% = 140,000$ 元
• 年抽水成本 $A_B = 220,000$ 元

核心觀念

本題評量水文學與水資源工程學中「水文頻率分析」與「水文統計風險」兩大核心主題：

1. 極端值第一類分布（Extreme Value Type I Distribution，又稱耿貝爾分布 Gumbel Distribution） 累積機率分布函數（CDF）定義為： $F(x) = P(X \le x) = \exp\left[-\exp\left(-\frac{x - u}{\alpha}\right)\right] = \exp(-\exp(-y))$ 式中：

• $u$ 為位置參數（Location parameter）
• $\alpha$ 為尺度參數（Scale parameter）
• $y = \frac{x - u}{\alpha}$ 為耿貝爾簡化變數（Reduced variate）

2. 重現期距（Return Period, $T$）與簡化變數（$y_T$）之關係 依重現期距定義，$T = \frac{1}{1 - F(x)}$，即 $F(x) = 1 - \frac{1}{T}$。代入分布函數解出 $y_T$： $y_T = -\ln\left[-\ln\left(1 - \frac{1}{T}\right)\right]$ 洪水量與簡化變數呈線性關係： $x_T = u + \alpha y_T$

3. 母體統計參數與分布參數之關係 極值第一類分布之平均值 $\mu$（即年洪水量平均值 $\bar{x}$）與標準差 $\sigma$ 滿足： $\bar{x} = u + \gamma \alpha$ $\sigma = \frac{\pi}{\sqrt{6}} \alpha \approx 1.28255 \alpha$ 式中 $\gamma \approx 0.5772$ 為歐拉常數（Euler-Mascheroni Constant）。

4. 水文風險率（Hydrologic Risk, $R$） 重現期距為 $T$ 年之洪水，在任一年發生（超越）之機率為 $p = \frac{1}{T}$，不發生之機率為 $q = 1 - p$。 在連續 $n$ 年之使用年限內，「至少發生一次」之機率即為水文風險率 $R$： $R = 1 - (1 - p)^n = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^n$

解題方法

（一）求解年洪水量平均值 $\bar{x}$

1. 計算各重現期之簡化變數 $y_T$

• 當 $T = 100$ 年時： $y_{100} = -\ln\left[-\ln\left(1 - \frac{1}{100}\right)\right] = -\ln[-\ln(0.99)] \approx -\ln(0.01005) \approx 4.6001$
• 當 $T = 10$ 年時： $y_{10} = -\ln\left[-\ln\left(1 - \frac{1}{10}\right)\right] = -\ln[-\ln(0.90)] \approx -\ln(0.10536) \approx 2.2504$

2. 聯立求解分布參數 $\alpha$ 與 $u$ 已知 $x_{100} = 9000\ \mathrm{cms}$，$x_{10} = 5500\ \mathrm{cms}$，代入線性關係式 $x_T = u + \alpha y_T$： $\begin{cases} 9000 = u + 4.6001 \alpha & \text{--- (式 1)} \\ 5500 = u + 2.2504 \alpha & \text{--- (式 2)} \end{cases}$

兩式相減消除 $u$： $9000 - 5500 = \alpha (4.6001 - 2.2504)$ $3500 = 2.3497 \alpha \implies \alpha = \frac{3500}{2.3497} \approx 1489.55\ \mathrm{cms}$

核心觀念

本題考查明渠水力學與管流之等勻流（Uniform Flow）能量坡降概念及蔡司公式（Chezy Formula）應用：

1. 滿管水力半徑（Hydraulic Radius, $R$）： 圓形斷面管線在滿管流動時，斷面積 $A = \frac{\pi}{4} D^2$，潤周 $P = \pi D$，水力半徑定義為： $R = \frac{A}{P} = \frac{D}{4}$
2. 蔡司公式（Chezy Formula）： 流速 $V$ 與能量坡降（摩擦坡降）$S_f$、水力半徑 $R$ 之關係式為： $V = C \sqrt{R S_f}$ 其中 $C$ 為蔡司阻抗係數。
3. 等勻流條件下的水頭損失（Head Loss, $h_L$）： 管線若未受外加壓力強迫驅動，在固定縱坡 $S_0$ 下重力流動達等勻流（常態流）狀態時，能量坡降線（EGL）、水力坡降線（HGL）與管底坡度平行，即： $S_f = S_0$ 摩擦水頭損失 $h_L$ 依能量坡降之定義為每單位長度之水頭損失（$S_f = \frac{h_L}{L}$），因此： $h_L = S_f \cdot L$

解題方法

本題已知條件如下：

• 蔡司係數 $C = 100$
• 管線縱坡 $S_0 = 0.0009$
• 管長 $L = 500\text{ m}$
• 管徑 $D = 1\text{ m}$

方法一：能量坡降定義法（最簡捷）

管線在給定坡度 $S_0$ 下形成等勻重力流，流體沿程所消耗之摩擦水頭損失，完全由管底縱坡下降所釋放之位能所補償，因此能量坡降等於管底縱坡： $S_f = S_0 = 0.0009$

依水頭損失與能量坡降之定義關係： $h_L = S_f \times L = S_0 \times L$ 代入數值： $h_L = 0.0009 \times 500 = 0.45\text{ m}$

方法二：蔡司流速推導法（正規驗證）

為完整展現題幹給定 $C=100$ 與 $D=1\text{ m}$ 之水力條件，亦可依水力學標準步驟推導：

1. 計算滿管水力半徑 $R$： $R = \frac{D}{4} = \frac{1}{4} = 0.25\text{ m}$