108 身心障礙特考三等 水利工程 流體力學 考古題詳解

108 年・身心障礙特考・三等・水利工程
試題代碼 流體力學

第 一 題25 分

如圖所示，一個三角楔型（wedge）物體受到一個 20 kN20\ \mathrm{kN} 向下的力作用，而部分沉浸在水中，試計算該物體沉浸在水中的深度 dd。假設該物體比重（specific gravity）為 0.70.7，其寬度為 10 m10\ \mathrm{m}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：楔型物體頂部寬度為 4 m4\ \mathrm{m}，頂角為 60∘60^\circ，沉浸深度為 dd，並受向下 20 kN20\ \mathrm{kN} 之力作用。（25 分）

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核心觀念

本題考查浮力與靜力平衡。物體靜止時，水對楔體的浮力須平衡楔體本身的重量，以及額外施加的 20 kN20\ \mathrm{kN} 向下作用力：

FB=W+20 kNF_B=W+20\ \mathrm{kN}

依阿基米德原理，浮力等於排開水的重量：

FB=ρwgV浸F_B=\rho_w gV_{\text{浸}}

題目給定楔體比重為 0.70.7，所以楔體重量為 0.7ρwgV全0.7\rho_wgV_{\text{全}}。原卷另給水的密度 ρw=998 kg/m3\rho_w=998\ \mathrm{kg/m^3}。

解題方法

依圖形，楔體截面為頂角 60∘60^\circ 的等腰三角形，頂部寬 4 m4\ \mathrm{m}，楔體寬度為 10 m10\ \mathrm{m}。其截面高度為

H=4/2tan⁡30∘=23 mH=\frac{4/2}{\tan 30^\circ}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}

因此楔體總體積為

V全=12(4)(23)(10)=403≈69.282 m3V_{\text{全}} =\frac{1}{2}(4)(2\sqrt{3})(10) =40\sqrt{3} \approx 69.282\ \mathrm{m^3}

水面至楔體尖端的垂直距離為 dd。由相似三角形，水面處的楔體寬度為

b=2dtan⁡30∘b=2d\tan 30^\circ

水面以下的截面是底寬 bb、高 dd 的三角形，故浸水體積為

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第 二 題25 分

一個 1/4001/400 的模型（model）被設計來模擬海岸原型（prototype）的波浪阻力。

如果我們想知道該海域在 20 m/s20\ \mathrm{m/s} 流速時所產生的阻力，試問模型的設計速度應該為何？此時原型與模型的阻力（drag forces）比為何？

假設模型使用淡水，其密度為 1000 kg/m31000\ \mathrm{kg/m^3}；原型使用海水，其密度為 1030 kg/m31030\ \mathrm{kg/m^3}，忽略表面張力。（25 分）

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核心觀念

本題評量流體動力相似性（Dynamic Similarity）​與模型試驗比例律（Similitude and Model Testing）。

  1. 支配無因次參數（Froude 數）： 當流場涉及「自由液面」（Free Surface）與「重力波浪效應」（如船舶興波阻力、海岸工程波浪阻力）時，主導流場運動特性的無因次參數為佛勞德數（Froude number, FrFr）： Fr=VgLFr = \frac{V}{\sqrt{gL}} 其中 VV 為流速、gg 為重力加速度、LL 為特徵長度。若要達成動力相似，原型（Prototype, 下標 pp）與模型（Model, 下標 mm）的佛勞德數必須相等，即 Frm=FrpFr_m = Fr_p。

  2. 流體阻力比例律（Force Scale Ratio）： 流體所受阻力 FF 與慣性力同尺度，其通用關係式為： F∼ρV2L2F \sim \rho V^2 L^2 或以阻力係數定義 F=CD⋅12ρV2AF = C_D \cdot \frac{1}{2}\rho V^2 A（其中受力面積 A∝L2A \propto L^2）。當動力相似滿足時，阻力係數相等（CD,p=CD,mC_{D,p} = C_{D,m}），因此原型與模型之阻力比為密度比、速度比平方與長度比平方的乘積。

解題方法

步驟一：計算模型設計速度 VmV_m

波浪阻力由重力場支配，忽略表面張力時，兩者需滿足佛勞德數相似： Frm=Frp  ⟹  VmgmLm=VpgpLpFr_m = Fr_p \implies \frac{V_m}{\sqrt{g_m L_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{g_p L_p}}

因模型與原型皆置於地表重力場，gm=gp=gg_m = g_p = g，故速度比滿足： VmVp=LmLp\frac{V_m}{V_p} = \sqrt{\frac{L_m}{L_p}}

已知幾何比例尺 LmLp=1400\frac{L_m}{L_p} = \frac{1}{400}，原型流速 Vp=20 m/sV_p = 20\ \mathrm{m/s}： Vm=VpLmLp=20×1400=20×120=1.0 m/sV_m = V_p \sqrt{\frac{L_m}{L_p}} = 20 \times \sqrt{\frac{1}{400}} = 20 \times \frac{1}{20} = 1.0\ \mathrm{m/s}

步驟二：推導原型與模型之阻力比公式 FpFm\frac{F_p}{F_m}

流體阻力比可表示為： FpFm=ρpVp2Lp2ρmVm2Lm2=(ρpρm)(VpVm)2(LpLm)2\frac{F_p}{F_m} = \frac{\rho_p V_p^2 L_p^2}{\rho_m V_m^2 L_m^2} = \left(\frac{\rho_p}{\rho_m}\right) \left(\frac{V_p}{V_m}\right)^2 \left(\frac{L_p}{L_m}\right)^2

由佛勞德數相似條件 VpVm=LpLm\frac{V_p}{V_m} = \sqrt{\frac{L_p}{L_m}}，代入上式得： (VpVm)2=LpLm\left(\frac{V_p}{V_m}\right)^2 = \frac{L_p}{L_m}

將速度平方比代換為長度比：

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第 三 題25 分

如圖所示，水流以 40 L/s40\ \mathrm{L/s} 流量從斷面 AA 進入一個噴射泵，而在斷面 AA 的壓力為 200 kN200\ \mathrm{kN}。

在 CC 點有一油體以 5 L/s5\ \mathrm{L/s} 流量被吸入噴射泵，其比重（specific gravity）為 0.70.7。

油與水均質混合（homogeneous mixture）從斷面 BB 流出，且在斷面 BB 的壓力為 100 kN100\ \mathrm{kN}。

斷面 AA 和斷面 BB 的直徑各為 0.2 m0.2\ \mathrm{m} 和 0.25 m0.25\ \mathrm{m}。試推算油與水作用在噴射泵的水平推力。

假設為一維穩態（steady）、不可壓縮（incompressible）流。

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（25 分）

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核心觀念

本題使用穩態線動量方程式，求混合流體對噴射泵的水平作用力。取噴射泵內部的水與油為控制體，令水平向右為正：

∑Fx=∑出口m˙Vx−∑入口m˙Vx\sum F_x = \sum_{\text{出口}}\dot m V_x - \sum_{\text{入口}}\dot m V_x

圖中水由 A 向右流入、混合液由 B 向右流出；油由 C 向上吸入，因此油在 C 的水平速度分量為零。

題目將壓力標為 200 kN200\ \mathrm{kN} 與 100 kN100\ \mathrm{kN}，壓力需有「力／面積」單位；以下依流體力學題目的慣例，採用 200 kN/m2200\ \mathrm{kN/m^2} 與 100 kN/m2100\ \mathrm{kN/m^2}，並視為表壓。

解題方法

先由流量與比重求各流體的質量流率，再算 A、B 兩斷面的速度及壓力合力。最後以動量方程式求泵壁對流體的力，取反號即為流體對噴射泵的力。

1. 質量流率與混合液密度

水的密度取 ρw=1000 kg/m3\rho_w=1000\ \mathrm{kg/m^3}；油的比重為 0.70.7，故 ρo=700 kg/m3\rho_o=700\ \mathrm{kg/m^3}。

Qw=0.040 m3/s,Qo=0.005 m3/sQ_w=0.040\ \mathrm{m^3/s},\qquad Q_o=0.005\ \mathrm{m^3/s} m˙w=ρwQw=1000(0.040)=40 kg/s\dot m_w=\rho_wQ_w=1000(0.040)=40\ \mathrm{kg/s} m˙o=ρoQo=700(0.005)=3.5 kg/s\dot m_o=\rho_oQ_o=700(0.005)=3.5\ \mathrm{kg/s}

依不可壓縮流量連續，出口流量為

QB=Qw+Qo=0.045 m3/sQ_B=Q_w+Q_o=0.045\ \mathrm{m^3/s}

出口總質量流率為 m˙B=43.5 kg/s\dot m_B=43.5\ \mathrm{kg/s}，均質混合液密度為

ρB=m˙BQB=43.50.045=966.7 kg/m3\rho_B=\frac{\dot m_B}{Q_B} =\frac{43.5}{0.045} =966.7\ \mathrm{kg/m^3}

2. A、B 斷面速度

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第 四 題25 分

如圖所示，水流以 100 L/s100\ \mathrm{L/s} 的流量從裝置 AA 透過管路（pipe）流入裝置 BB，其裝置 BB 內壓力為 50 kPa50\ \mathrm{kPa}。

在位置①、位置②、位置③、位置④的損失係數（loss coefficient）各為 0.40.4、0.90.9、0.90.9 及 1.01.0，試計算裝置 AA 空氣的壓力為何？

假設管路摩擦因子（friction factor）為 0.020.02，管路直徑為 0.2 m0.2\ \mathrm{m}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：裝置 AA 與裝置 BB 之間，管路下方水平長度為 350 m350\ \mathrm{m}，上方水平長度為 250 m250\ \mathrm{m}；裝置 AA 水面至管路下方之高程差為 30 m30\ \mathrm{m}，管路下方至裝置 BB 之高程差為 200 m200\ \mathrm{m}。（25 分）

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核心觀念

本題使用穩態伯努力方程式，並將管路沿程損失與局部損失一併計入。取裝置 A 的水面與管路進入裝置 B 的位置為能量方程兩端；兩端皆為大型裝置，流速可視為零。

沿程損失與局部損失分別為

hf=fLDV22g,hm=(∑K)V22g.h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}, \qquad h_m=\left(\sum K\right)\frac{V^2}{2g}.

解題方法

先由流量與管徑求管內平均流速：

Q=100 L/s=0.100 m3/s,Ap=πD24=π(0.2)24=0.03142 m2,Q=100\ \mathrm{L/s}=0.100\ \mathrm{m^3/s}, \qquad A_p=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.2)^2}{4} =0.03142\ \mathrm{m^2}, V=QAp=0.1000.03142=3.183 m/s,V22g=0.516 m.V=\frac{Q}{A_p} =\frac{0.100}{0.03142} =3.183\ \mathrm{m/s}, \qquad \frac{V^2}{2g}=0.516\ \mathrm{m}.

由圖中尺寸，管路總長度包含下方水平段、垂直段與上方水平段：

L=350+200+250=800 m.L=350+200+250=800\ \mathrm{m}.

四處局部損失係數總和為

∑K=0.4+0.9+0.9+1.0=3.2.\sum K=0.4+0.9+0.9+1.0=3.2.

因此總損失水頭為

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