112 身心障礙特考三等 水利工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查圓管流的因次分析，以及如何把圓管的摩擦係數關係延伸至非圓管。管壁剪應力 $\tau_0$ 受流體密度 $\rho$、黏滯係數 $\mu$、平均流速 $U$、管徑 $D$ 與管壁粗糙高度 $k_s$ 影響。藉由 Buckingham $\Pi$ 定理，可將這些變數整理成無因次群。

採用 Darcy–Weisbach 摩擦係數 $f$ 時，充分發展圓管流的管壁剪應力與摩擦係數關係為

因此，$f$ 與無因次管壁剪應力 $\tau_0/(\rho U^2)$ 只差一個固定係數，兩者具有相同的無因次控制參數。

（一）因次分析與摩擦係數關係式

令管壁剪應力為下列變數的函數：

各物理量的因次為

共有六個變數，基本因次為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$ 三個，因此可組成 $6-3=3$ 個獨立無因次群。選 $\rho$、$U$、$D$ 作為重複變數，可得：

其中

故因次分析得到

由 Darcy–Weisbach 定義 $\tau_0=f\rho U^2/8$，可改寫為

這表示在幾何形狀與摩擦係數定義相同的條件下，摩擦係數由雷諾數和相對粗糙高度控制。因次分析可確定函數的自變數，不能單獨決定函數的具體形式；實際關係式需由實驗或經驗公式建立。

核心觀念

本題考查飽和土體滲流中的水頭、壓力水頭、達西定律與連續方程。題目給定的 $\phi(x,z)$ 在 $z=D(x)$ 時等於 $D(x)$；因此依水頭定義，將 $\phi$ 視為總水頭（測壓水頭），則孔隙水的壓力水頭為

達西定律以總水頭梯度計算達西流速：

（一）孔隙水壓力水頭的垂向剖面

代入題給近似式：

令 $x$ 固定，$z$ 由底部 $0$ 增至滲流水面 $D(x)$。剖面有以下特徵：

• 底部 $z=0$：$\psi=h(x)$。
• 滲流水面 $z=D(x)$：$\psi=0$。
• $\psi$ 對 $z$ 為二次函數，且

當 $D(x)>h(x)$ 時，剖面向上凹。示意如下：

z
↑
D(x) ● ψ = 0（滲流水面）
 ╲
 ╲ 壓力水頭剖面 ψ(z)
 ╲
0 ●────────→ ψ
 h(x)
 底部

依給定剖面，曲線形狀由 $h(x)/D(x)$ 決定；若剖面在局部低於零，代表該處為負壓力水頭。

（二）依達西定律推求滲流速度

令 $\phi$ 為總水頭，達西流速的水平與垂直分量分別為

計算垂向導數：

因此

計算水平導數時，固定 $z$，並注意 $h$、$D$ 都是 $x$ 的函數：

核心觀念

本題考兩項明渠流觀念：

1. 矩形渠道的臨界流條件，可由單寬流量 $q$ 求臨界水深 $y_c$。
2. 水躍前後的共軛水深，可由水平動量方程（比動量守恆）求水墊區水深 $y_p$ 與下游水深 $y_1$ 的關係。

以下採用矩形渠道、各斷面壓力呈靜水分布，且忽略底床摩擦的標準假設。

解題方法

（一）跌水上緣臨界水深 $y_c$

矩形渠道的單寬流量為 $q=Vy$，弗勞德數為

臨界流時 $Fr=1$，因此

（二）水墊區水深 $y_p$

將水墊區與下游水深 $y_1$ 視為水躍前後的共軛水深，以比動量函數相等求解。矩形渠道每單位寬度的比動量函數為

故

核心觀念

水槽隨地震加速時，可在水槽的非慣性座標系中，將水體視為受到「重力」與「慣性力」共同作用。設 $a_x$ 為水槽沿 $x$ 方向的水平加速度，$a_z$ 為水槽向上的垂直加速度，則水體的等效垂直重力加速度為

在 $g_{\mathrm{eff}}>0$ 時，靜止水面的坡度為

水面朝水槽加速方向的反方向升高；加速度反向時，升高端也隨之反向。因此，向 $+x$ 或 $-x$ 外溢的臨界條件相同。

解題方法

水槽長 $L=10\ \mathrm{m}$，原水深為 $3\ \mathrm{m}$，水槽高為 $5\ \mathrm{m}$。槽內水量不變時，線性傾斜水面的平均高度仍為 $3\ \mathrm{m}$。

臨界外溢時，水面恰好在較高端到達槽頂 $z=5\ \mathrm{m}$。由於水面沿長軸呈線性變化，其較低端高度為

因此，臨界時兩端水位差為

水面坡度的絕對值為

（一）$a_z=0$ 時

此時 $g_{\mathrm{eff}}=g$。由水面坡度關係，

所以