111 身心障礙特考三等 水利工程 流體力學 考古題詳解

111 年・身心障礙特考・三等・水利工程
試題代碼 流體力學

第 一 題20 分

【試題共用附註】 νwater=1×10−6 m2/s\nu_{\text{water}} = 1\times 10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}，ρw=1,000 kg/m3\rho_{\text{w}} = 1{,}000\text{ kg/m}^3 νair=1.56×10−5 m2/s\nu_{\text{air}} = 1.56\times 10^{-5}\text{ m}^2/\text{s}，ρa=1.2 kg/m3\rho_{\text{a}} = 1.2\text{ kg/m}^3 大氣壓力 Patm=101.3 kPaP_{\text{atm}} = 101.3\text{ kPa}

一、一個負壓魚缸如下圖所示，水面下有一個開口可餵魚飼料，但水不會由開口溢出，開口處的大氣壓力為 Patm=101.3 kPaP_{\text{atm}} = 101.3\text{ kPa}，水的密度為 1,000 kg/m31{,}000\text{ kg/m}^3，試求魚缸上方的氣壓 P1P_1 和底部的水壓力 P2P_2 分別為何？（20 分）

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核心觀念

本題考查靜止流體的壓力分布與連通液體壓力原理：

  1. 同一靜止液體中，同一水平面上的壓力相等。
  2. 流體向下深度增加 hh 時，壓力增加 ΔP=ρgh\Delta P=\rho gh
  3. 魚缸側面開口與大氣相通，因此開口處水壓為 Patm=101.3 kPaP_{\text{atm}}=101.3\ \text{kPa}

由圖可知：

  • 魚缸水面比開口高 2.0 m2.0\ \text{m}
  • 魚缸底部比開口低 1.0 m1.0\ \text{m}

解題方法

1. 求魚缸上方氣壓 P1P_1

由魚缸水面向下至開口，深度為 2.0 m2.0\ \text{m}。

水面處壓力為魚缸上方氣壓 P1P_1，開口處壓力為大氣壓力，因此：

Patm=P1+ρwg(2.0)P_{\text{atm}}=P_1+\rho_w g(2.0)

整理得：

P1=Patm−ρwg(2.0)P_1=P_{\text{atm}}-\rho_w g(2.0)

代入 ρw=1000 kg/m3\rho_w=1000\ \text{kg/m}^3、g=9.81 m/s2g=9.81\ \text{m/s}^2：

P1=101.3−1000(9.81)(2.0)1000P_1=101.3-\frac{1000(9.81)(2.0)}{1000} P1=101.3−19.62=81.68 kPaP_1=101.3-19.62=81.68\ \text{kPa}

因此：

P1≈81.7 kPaP_1\approx81.7\ \text{kPa}

其表壓為：

P1,gage=81.68−101.3=−19.62 kPaP_{1,\text{gage}}=81.68-101.3=-19.62\ \text{kPa}

表示魚缸內部為負壓。

2. 求魚缸底部水壓力 P2P_2

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第 二 題20 分

【試題共用附註】 νwater=1×10−6 m2/s\nu_{\text{water}} = 1\times 10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}，ρw=1,000 kg/m3\rho_{\text{w}} = 1{,}000\text{ kg/m}^3 νair=1.56×10−5 m2/s\nu_{\text{air}} = 1.56\times 10^{-5}\text{ m}^2/\text{s}，ρa=1.2 kg/m3\rho_{\text{a}} = 1.2\text{ kg/m}^3 大氣壓力 Patm=101.3 kPaP_{\text{atm}} = 101.3\text{ kPa}

二、一平板（1 m×1 m1\text{ m}\times 1\text{ m}，重 13 N13\text{ N}）自一斜坡等速滑下，平板與斜坡之間有 0.5 mm0.5\text{ mm} 厚之潤滑油（動力黏滯係數 0.1 N⋅s/m20.1\text{ N}\cdot\text{s/m}^2），求平板下滑速度？（20 分）

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核心觀念

本題考查：

  • 斜面上物體重力分力
  • 薄油膜中的牛頓流體黏滯剪應力
  • 等速運動時，沿斜面方向合力為零

斜坡圖示為高 55、水平 1212，故斜坡長度為 1313，因此

sin⁡θ=513\sin\theta=\frac{5}{13}

潤滑油的黏滯剪應力為

τ=μVh\tau=\mu\frac{V}{h}

其中：

  • μ=0.1 N⋅s/m2\mu=0.1\ \text{N}\cdot\text{s/m}^2
  • h=0.5 mm=0.5×10−3 mh=0.5\ \text{mm}=0.5\times10^{-3}\ \text{m}
  • VV 為平板下滑速度

解題方法

平板沿斜面方向向下等速滑動，重力沿斜面分力為

W∥=Wsin⁡θW_{\parallel}=W\sin\theta

代入 W=13 NW=13\ \text{N}：

W∥=13(513)=5 NW_{\parallel}=13\left(\frac{5}{13}\right)=5\ \text{N}

油膜對平板產生反向黏滯阻力：

Fμ=τA=μVhAF_{\mu}=\tau A =\mu\frac{V}{h}A

平板面積為

A=1×1=1 m2A=1\times1=1\ \text{m}^2

因平板等速滑動，沿斜面方向受力平衡：

Wsin⁡θ=μVhAW\sin\theta=\mu\frac{V}{h}A

解得

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第 三 題30 分

【試題共用附註】 νwater=1×10−6 m2/s\nu_{\text{water}} = 1\times 10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}，ρw=1,000 kg/m3\rho_{\text{w}} = 1{,}000\text{ kg/m}^3 νair=1.56×10−5 m2/s\nu_{\text{air}} = 1.56\times 10^{-5}\text{ m}^2/\text{s}，ρa=1.2 kg/m3\rho_{\text{a}} = 1.2\text{ kg/m}^3 大氣壓力 Patm=101.3 kPaP_{\text{atm}} = 101.3\text{ kPa}

三、一個非穩態管流，流量為 Q=Q0exp⁡(−t/T)Q = Q_0 \exp(-t/T)，流經一個正方形束縮斷面，斷面積 AA 隨距離 xx 而變： A(x)=D2(2−xL)2A(x) = D^2\left(2 - \frac{x}{L}\right)^2 式中 D=0.8 mD = 0.8\text{ m}，L=1.0 mL = 1.0\text{ m}，Q0=5.0 m3/sQ_0 = 5.0\text{ m}^3/\text{s}，T=60 secT = 60\text{ sec}。試求在時間 t=20 sect = 20\text{ sec}，x=0.6 mx = 0.6\text{ m} 處的速度、時變加速度與位變加速度分別為何？（30 分）

（提示：加速度 ax=∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+w∂u∂za_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}）

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核心觀念

本題考查非穩態一維管流的速度場，以及流體質點加速度的兩個組成：

ax=∂u∂t+u∂u∂xa_x=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}

其中：

  • ∂u∂t\dfrac{\partial u}{\partial t}：時變加速度（local acceleration）
  • u∂u∂xu\dfrac{\partial u}{\partial x}：位變加速度（convective acceleration）

由於題目為一維管流，且流速方向沿 xx 軸，因此 v=w=0v=w=0。

解題方法

1. 求 t=20 st=20\ \text{s} 時的流量

流量為

Q=Q0e−t/TQ=Q_0e^{-t/T}

代入 Q0=5.0 m3/sQ_0=5.0\ \text{m}^3/\text{s}、t=20 st=20\ \text{s}、T=60 sT=60\ \text{s}：

Q=5.0e−20/60=5.0e−1/3=3.5827 m3/sQ=5.0e^{-20/60} =5.0e^{-1/3} =3.5827\ \text{m}^3/\text{s}

2. 求 x=0.6 mx=0.6\ \text{m} 處的斷面積

A(x)=D2(2−xL)2A(x)=D^2\left(2-\frac{x}{L}\right)^2

代入 D=0.8 mD=0.8\ \text{m}、L=1.0 mL=1.0\ \text{m}、x=0.6 mx=0.6\ \text{m}：

A(0.6)=(0.8)2(2−0.61.0)2A(0.6) =(0.8)^2\left(2-\frac{0.6}{1.0}\right)^2 A(0.6)=0.64(1.4)2=1.2544 m2A(0.6)=0.64(1.4)^2 =1.2544\ \text{m}^2

3. 求速度 uu

一維管流的平均速度為

u=QAu=\frac{Q}{A}

因此

u=3.58271.2544=2.8561 m/su=\frac{3.5827}{1.2544} =2.8561\ \text{m/s}

故該位置的速度為

u=2.856 m/s\boxed{u=2.856\ \text{m/s}}

方向沿管流正 xx 方向。

4. 求時變加速度

速度場可寫成

u(x,t)=Q0e−t/TD2(2−xL)2u(x,t)=\frac{Q_0e^{-t/T}} {D^2\left(2-\dfrac{x}{L}\right)^2}

在固定位置 xx 下，

∂u∂t=−1Tu\frac{\partial u}{\partial t} =-\frac{1}{T}u

因此

∂u∂t=−2.856160=−0.0476 m/s2\frac{\partial u}{\partial t} =-\frac{2.8561}{60} =-0.0476\ \text{m/s}^2

所以時變加速度為

∂u∂t=−0.0476 m/s2\boxed{\frac{\partial u}{\partial t} =-0.0476\ \text{m/s}^2}

負號表示流量隨時間衰減，速度隨時間降低。

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第 四 題30 分

【試題共用附註】 νwater=1×10−6 m2/s\nu_{\text{water}} = 1\times 10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}，ρw=1,000 kg/m3\rho_{\text{w}} = 1{,}000\text{ kg/m}^3 νair=1.56×10−5 m2/s\nu_{\text{air}} = 1.56\times 10^{-5}\text{ m}^2/\text{s}，ρa=1.2 kg/m3\rho_{\text{a}} = 1.2\text{ kg/m}^3 大氣壓力 Patm=101.3 kPaP_{\text{atm}} = 101.3\text{ kPa}

四、一輛大型巴士以行車速率 90 km/hr90\text{ km/hr} 在高速公路上行駛，巴士迎風面積為 8.0 m28.0\text{ m}^2，阻力係數為 CD=0.75C_D = 0.75，車輛克服風阻所需的功率為何？若巴士受側向風，阻力係數為 CD=1.45C_D = 1.45，受風面積為 36.0 m236.0\text{ m}^2，巴士重量 10,000 kg10{,}000\text{ kg}，會將車輛吹翻的風速為何？（30 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 流體阻力公式 FD=12ρairV2CDAF_D=\frac{1}{2}\rho_{\text{air}}V^2C_DA

  2. 阻力所需功率 P=FDVP=F_DV

  3. 剛體翻覆的力矩平衡 側風使巴士繞下風側車輪接觸點翻覆，臨界翻覆條件為：

風阻翻覆力矩=車重抗翻覆力矩\text{風阻翻覆力矩}=\text{車重抗翻覆力矩}

圖中巴士高度為 3.5 m3.5\ \text{m}，風阻作用點位於高度 1.75 m1.75\ \text{m}；車寬為 2.0 m2.0\ \text{m}，車重作用線至下風側支點的水平距離為 1.0 m1.0\ \text{m}。

第一問：巴士克服風阻所需功率

1. 單位換算

巴士速率：

V=90 km/hr=90(10003600)=25 m/sV=90\ \text{km/hr} =90\left(\frac{1000}{3600}\right) =25\ \text{m/s}

2. 計算迎風阻力

已知：

ρair=1.2 kg/m3,CD=0.75,A=8.0 m2\rho_{\text{air}}=1.2\ \text{kg/m}^3,\quad C_D=0.75,\quad A=8.0\ \text{m}^2

代入阻力公式：

FD=12(1.2)(25)2(0.75)(8.0)F_D=\frac{1}{2}(1.2)(25)^2(0.75)(8.0) FD=2250 NF_D=2250\ \text{N}

3. 計算功率

P=FDV=(2250)(25)P=F_DV=(2250)(25) P=56 250 W=56.25 kWP=56\,250\ \text{W} =56.25\ \text{kW}

因此，巴士克服風阻所需功率為：

P=56.25 kW\boxed{P=56.25\ \text{kW}}

第二問：將巴士吹翻的臨界風速

1. 計算車重

題目所稱重量 10,000 kg10{,}000\ \text{kg}，依物理意義視為質量：

m=10,000 kgm=10{,}000\ \text{kg}

車重為：

W=mg=(10,000)(9.81)=98 100 NW=mg=(10{,}000)(9.81) =98\,100\ \text{N}

2. 建立翻覆力矩平衡

以下風側車輪為翻覆支點。

車重的抗翻覆力矩：

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