115 身心障礙特考三等 水利工程 流體力學 考古題詳解

115 年・身心障礙特考・三等・水利工程
試題代碼 流體力學

第 一 題20 分

有一氣體流（密度 =1.26 kg/m3=1.26\ \mathrm{kg/m^3}）由貯氣筒通過直徑 D=0.03 mD=0.03\ \mathrm{m} 的管路排放至大氣中，管路前端銜接直徑 d=0.01 md=0.01\ \mathrm{m} 的噴嘴，如圖一所示。圖中點 (1)(1)、(2)(2)、(3)(3) 保持一水平線。

在貯氣筒內的錶（gage）壓力保持在 3.0 kPa3.0\ \mathrm{kPa}，而大氣狀態為常溫與常壓。試求在管路中的流量（單位採 cms）與壓力（單位採 Pa）。

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核心觀念

本題考查：

  1. 連續方程式 Q=AVQ=A V

  2. 同一水平線上的柏努力方程式

忽略沿程損失與局部損失，且以大氣壓力為基準使用錶壓：

pρ+V22+gz=常數\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=\text{常數}

  1. 貯氣筒截面積遠大於管路截面積，因此貯氣筒內點 (1)(1) 的速度可視為 V1≈0V_1\approx 0。

解題方法

設：

  • 點 (1)(1)：貯氣筒內
  • 點 (2)(2)：直徑 D=0.03 mD=0.03\ \mathrm{m} 的管路內
  • 點 (3)(3)：直徑 d=0.01 md=0.01\ \mathrm{m} 的噴嘴出口
  • 氣體密度：ρ=1.26 kg/m3\rho=1.26\ \mathrm{kg/m^3}
  • 點 (1)(1) 錶壓：p1=3.0 kPa=3000 Pap_1=3.0\ \mathrm{kPa}=3000\ \mathrm{Pa}
  • 點 (3)(3) 排入大氣，因此錶壓 p3=0p_3=0

三點位於同一水平線，故 z1=z2=z3z_1=z_2=z_3。

一、求噴嘴出口速度

由點 (1)(1) 到點 (3)(3) 使用柏努力方程式：

p1ρ+V122=p3ρ+V322\frac{p_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2} = \frac{p_3}{\rho}+\frac{V_3^2}{2}

代入 V1≈0V_1\approx 0、p3=0p_3=0：

30001.26=V322\frac{3000}{1.26} = \frac{V_3^2}{2}

因此：

V3=2(3000)1.26=68.99 m/sV_3=\sqrt{\frac{2(3000)}{1.26}} =68.99\ \mathrm{m/s}

二、求流量

噴嘴截面積為：

A3=πd24=π(0.01)24=7.854×10−5 m2A_3=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(0.01)^2}{4} =7.854\times10^{-5}\ \mathrm{m^2}

故流量：

Q=A3V3Q=A_3V_3 Q=(7.854×10−5)(68.99)=5.42×10−3 m3/sQ=(7.854\times10^{-5})(68.99) =5.42\times10^{-3}\ \mathrm{m^3/s}

因此：

Q=0.00542 cms\boxed{Q=0.00542\ \mathrm{cms}}

其中 cms\mathrm{cms} 表示 m3/s\mathrm{m^3/s}。

三、求管路內點 (2)(2) 的壓力

管路截面積：

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第 二 題20 分

兩平面相距 20 mm20\ \mathrm{mm}，其中充滿某種液體，已知該液體之黏滯度 μ=16.8×10−3 kg/(m⋅s)\mu=16.8\times10^{-3}\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}。

今欲使兩平面中間有一大小為 0.75 m20.75\ \mathrm{m^2} 之平板以 0.2 m/s0.2\ \mathrm{m/s} 的速度前進，假設該板與兩平面等距，試求需力若干牛頓（N）？

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核心觀念

平板在兩靜止平面間移動時，會帶動兩側液體產生剪切流動。依牛頓黏性定律，液體施於平板的剪力為

F=τA=μdudyAF=\tau A=\mu\frac{du}{dy}A

其中 μ\mu 為動力黏度，AA 為平板單側與液體接觸的面積，dudy\frac{du}{dy} 為速度梯度。

解題方法

兩平面間距為 20 mm=0.020 m20\ \mathrm{mm}=0.020\ \mathrm{m}，平板位於正中央，因此兩側液膜厚度相同：

h=0.0202=0.010 mh=\frac{0.020}{2}=0.010\ \mathrm{m}

假設兩平面靜止，且平板與液體間為線性速度分布，單側速度梯度大小為

dudy=0.20.010=20 s−1\frac{du}{dy}=\frac{0.2}{0.010}=20\ \mathrm{s^{-1}}
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第 三 題20 分

有一液體（比重 =0.85=0.85）流經一細腰管計（文氏計），如圖二所示。圖中點 (1)(1)、(2)(2) 保持一水平線。

若流率介於 0.001 cms0.001\ \mathrm{cms} 到 0.050 cms0.050\ \mathrm{cms} 之間，試求出此範圍間的流率可能形成之壓力差範圍值為若干 kPa\mathrm{kPa}？

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核心觀念

本題考查文氏計的連續方程式與伯努力方程式。因點 (1)(1)、(2)(2) 位於同一水平線，且未提供損失水頭，採理想流體假設：

Q=A1V1=A2V2Q=A_1V_1=A_2V_2 p1ρg+V122g=p2ρg+V222g\frac{p_1}{\rho g}+\frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\rho g}+\frac{V_2^2}{2g}

因此壓力差為

p1−p2=12ρ(V22−V12)p_1-p_2=\frac{1}{2}\rho\left(V_2^2-V_1^2\right)

因為喉部直徑較小，V2>V1V_2>V_1，故 p1>p2p_1>p_2。

解題方法

液體比重為 0.850.85，故密度為

ρ=0.85(1000)=850 kg/m3\rho=0.85(1000)=850\ \mathrm{kg/m^3}

管徑：

D1=0.10 m,D2=0.06 mD_1=0.10\ \mathrm{m},\qquad D_2=0.06\ \mathrm{m}

截面積：

A1=πD124=π(0.10)24=0.007854 m2A_1=\frac{\pi D_1^2}{4} =\frac{\pi(0.10)^2}{4} =0.007854\ \mathrm{m^2} A2=πD224=π(0.06)24=0.002827 m2A_2=\frac{\pi D_2^2}{4} =\frac{\pi(0.06)^2}{4} =0.002827\ \mathrm{m^2}

由連續方程式：

V1=QA1,V2=QA2V_1=\frac{Q}{A_1},\qquad V_2=\frac{Q}{A_2}

代入伯努力方程式：

Δp=p1−p2=12ρQ2(1A22−1A12)\Delta p=p_1-p_2 =\frac{1}{2}\rho Q^2 \left( \frac{1}{A_2^2}-\frac{1}{A_1^2} \right)

整理得：

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第 四 題20 分

已知某二維流場（V⃗=ui⃗+vj⃗\vec{V}=u\vec{i}+v\vec{j}）之速度分布如下，求其速度勢能函數 ϕ\phi 及流函數 ψ\psi。

u=1x+y,v=1x+yu=\frac{1}{x+y},\qquad v=\frac{1}{x+y}

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核心觀念

二維速度場若存在速度勢函數 ϕ\phi，其速度分量滿足

u=∂ϕ∂x,v=∂ϕ∂y.u=\frac{\partial\phi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial\phi}{\partial y}.

流函數 ψ\psi 的定義採用

u=∂ψ∂y,v=−∂ψ∂x.u=\frac{\partial\psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}.

速度勢函數存在的條件是流場無旋，即 ∂v/∂x−∂u/∂y=0\partial v/\partial x-\partial u/\partial y=0；流函數存在的條件是流場不可壓縮，即 ∂u/∂x+∂v/∂y=0\partial u/\partial x+\partial v/\partial y=0。本題速度場在 x+y≠0x+y\ne 0 的區域內同時滿足兩項條件，因此兩函數皆存在。

解題方法

給定

u=v=1x+y.u=v=\frac{1}{x+y}.

先求速度勢函數。由 u=∂ϕ/∂xu=\partial\phi/\partial x，對 xx 積分：

ϕ=∫1x+y dx=ln⁡∣x+y∣+f(y),\phi=\int\frac{1}{x+y}\,dx =\ln|x+y|+f(y),

其中 f(y)f(y) 是待定函數。再對 yy 微分並配合 v=∂ϕ/∂yv=\partial\phi/\partial y：

∂ϕ∂y=1x+y+f′(y)=v=1x+y.\frac{\partial\phi}{\partial y} =\frac{1}{x+y}+f'(y) =v=\frac{1}{x+y}.

因此 f′(y)=0f'(y)=0，故 f(y)f(y) 為常數，得到

ϕ=ln⁡∣x+y∣+Cϕ.\phi=\ln|x+y|+C_\phi.
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第 五 題20 分

有一定量流之速度分布為 u=3axu=3ax、v=4ayv=4ay、w=−7azw=-7az，試求通過點 (1,1,1)(1,1,1) 之流線方程式。

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核心觀念

流線是在某一瞬間處處與流體速度方向相切的曲線。若流線以參數 ss 表示，其微小位移 (dx,dy,dz)(dx,dy,dz) 必須與速度分量 (u,v,w)(u,v,w) 平行，因此：

dxu=dyv=dzw\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}

本題給定速度場 u=3axu=3ax、v=4ayv=4ay、w=−7azw=-7az，要求通過 (1,1,1)(1,1,1) 的流線。

解題方法

代入速度分布，建立流線微分方程：

dx3ax=dy4ay=dz−7az\frac{dx}{3ax}=\frac{dy}{4ay}=\frac{dz}{-7az}

假設 a≠0a\ne 0，約去共同因子 aa。先比較 xx 與 yy：

dx3x=dy4y⟹4dxx=3dyy\frac{dx}{3x}=\frac{dy}{4y} \quad\Longrightarrow\quad 4\frac{dx}{x}=3\frac{dy}{y}

兩側積分得：

4ln⁡∣x∣−3ln⁡∣y∣=C1⟹x4y3=C24\ln|x|-3\ln|y|=C_1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^4}{y^3}=C_2

流線通過 (1,1,1)(1,1,1)，故 C2=1C_2=1，因此：

y3=x4y^3=x^4

再比較 xx 與 zz：

dx3x=dz−7z⟹7dxx=−3dzz\frac{dx}{3x}=\frac{dz}{-7z} \quad\Longrightarrow\quad 7\frac{dx}{x}=-3\frac{dz}{z}

積分得：

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