115 身心障礙特考三等 水利工程 土壤力學 考古題詳解

核心觀念

本題考兩套土壤分類系統採用的粒徑界線、塑性特性與判定流程：

• AASHTO 分類法主要用於道路路基土壤分類，以通過 No. 200 篩的百分率、No. 10 與 No. 40 篩的通過率，以及液性限度、塑性指數判定組別。
• USCS 統一土壤分類法先以 No. 200 篩區分粗粒土與細粒土；粗粒土再以 No. 4 篩分辨礫石與砂，並依級配及細料塑性分類。
• 兩者都會使用粒徑分析與 Atterberg 限度試驗資料，但分界與分類目的不同。

篩號對應孔徑如下：

篩號	公稱孔徑
No. 4	4.75 mm
No. 10	2.00 mm
No. 40	0.425 mm
No. 200	0.075 mm

（一）分類所需資料與必要篩號

AASHTO

AASHTO 分類無機土壤需要：

1. 粒徑分析：至少取得通過 No. 10、No. 40、No. 200 篩的百分率。
2. 細料塑性資料：液性限度 $LL$、塑性限度 $PL$，以及塑性指數 $PI$。其中 $PI=LL-PL$

必要篩號為 No. 10、No. 40、No. 200。No. 200 篩的通過率是區分粒料組與粉土、黏土組的重要依據；No. 40 篩通過率與 $LL$、$PI$ 則用於進一步判定組別及群組指數。

USCS

USCS 分類無機土壤需要：

1. 粒徑分析：至少取得 No. 4 與 No. 200 篩的通過率，並取得足以判斷級配的完整粒徑分布。
2. 細料塑性資料：當土中含有細料時，測定 $LL$、$PL$、$PI$，並在塑性圖上判定細料屬粉土類或黏土類。
3. 有機土判定資料：懷疑有機性時，需比較自然狀態與烘乾後的液性限度，以確認有機質對塑性特性的影響。

必要篩號為 No. 4、No. 200。No. 200 用以區分粗粒土與細粒土；No. 4 用以區分粗粒土中的礫石與砂。對粗粒土還須由粒徑分布判定級配係數，例如均勻係數 $C_u$ 與曲率係數 $C_c$。

（二）AASHTO 與 USCS 對粗粒土分類的差異

比較項目	AASHTO	USCS
粒料土／粗粒土的主要界線	通過 No. 200 篩不超過 35% 時，歸入粒料組 A-1、A-2 或 A-3	留在 No. 200 篩上的土超過 50% 時，屬粗粒土
分類目的與方式	著重道路路基適用性，使用 A-1 至 A-3 等組別，並可計算群組指數	著重工程性質分類，以礫石 G、砂 S 及級配、細料性質組成符號
粗粒土的礫石／砂界線	不以 No. 4 篩作為主要組別判定界線	以粗粒部分中留在 No. 4 篩上的比例區分礫石與砂
細料與塑性資料的用途	以 No. 40、No. 200 通過率及 $LL$、$PI$ 判別組別	依細料含量及其塑性特性，判定 M（粉土）或 C（黏土）
細料量少時的處理	依道路分類組別規則判定	粗粒土細料少於 5% 通常按潔淨土分類；5% 至 12% 使用雙重符號；超過 12% 依細料性質加註 M 或 C

因此，「AASHTO 粒料組」與「USCS 粗粒土」不是同一概念：AASHTO 以 No. 200 通過率 35% 為重要界線，USCS 則以留在 No. 200 篩上的比例是否超過 50% 區分粗、細粒土。

（三）SP-SM 與 OL 的分類條件及試驗

（a）SP-SM：級配不良含粉土砂

核心觀念

三軸試驗的分類，取決於試體在剪力破壞前是否經歷壓密，以及施加剪力時是否允許排水。飽和黏土的不排水剪力強度可用總應力參數 $c_u、\phi_u$ 表示；若量測孔隙水壓並改以有效應力分析，則用有效應力參數 $c'、\phi'$。

• 壓密階段：試體在圍壓下排水，體積可改變，消散部分超額孔隙水壓。
• 不排水剪力階段：剪力過程中不排水，體積近似不變，但會產生超額孔隙水壓。
• 排水剪力階段：剪力過程中允許排水，超額孔隙水壓可消散，強度以有效應力參數表示。

解題方法與三種試驗

依序判讀「是否壓密」與「剪力階段是否排水」，再列出可取得的強度參數，並對應現地受力情況。

（a）飽和壓密排水試驗（SCD，consolidated drained）

試體先在圍壓下排水壓密，接著緩慢施加剪力，讓剪力階段產生的孔隙水壓充分消散。試驗可提供飽和黏土的有效應力強度參數 $c'$、$\phi'$。

對應現地狀況為長期、緩慢的排水剪力作用，例如黏土邊坡長期穩定分析，或地基在長時間荷重下已完成壓密後的剪力強度分析。

（b）飽和壓密不排水試驗（SCU，consolidated undrained）

試體先在圍壓下排水壓密；剪力階段封閉排水，使試體不排水破壞。若量測孔隙水壓，可由破壞時應力與孔隙水壓求得有效應力參數 $c'$、$\phi'$；以總應力表示時，也可得到該壓密狀態下的不排水強度 $c_u$、$\phi_u$。

對應現地狀況為荷重作用前已完成壓密，之後快速增加荷重而來不及排水，例如既有黏土地基再承受快速加載。若採不排水總應力分析，使用該壓密狀態下試體所得的 $c_u、\phi_u$；若採有效應力分析，則須配合孔隙水壓資料使用 $c'、\phi'$。

（c）飽和不壓密不排水試驗（SUU，unconsolidated undrained）

核心觀念

本題考查淺基礎承載力分析的三個基本觀念：地下水位會改變基礎底面以下土體的有效單位重；Meyerhof 通用承載力公式以修正因子納入基礎形狀、埋置深度與荷載傾斜的影響；偏心荷載則以有效面積法處理，使承載力計算反映基礎底面上的非均勻壓力分布。

解題方法

（一）地下水位位於基礎底面以下 $B$ 範圍內

Terzaghi 條型基礎的一般極限承載力公式為

$$q_u=cN_c+qN_q+\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma$$

其中 $q=\gamma D_f$ 為基礎底面上覆土壓力。若地下水位在基礎底面以下，基礎底面上覆土壓力項 $qN_q$ 不因該地下水位而修正；須修正的是基礎底面以下土體所貢獻的 $\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma$ 項。

令地下水位高於基礎底面的距離為

$$d=D_w-D_f,\qquad 0<d<B$$

則寬度 $B$ 範圍內，厚度 $d$ 的土層位於水位以上，厚度 $B-d$ 位於水位以下。採用浮力單位重 $\gamma'=\gamma_{\rm sat}-\gamma_w$ 計算水位以下土層，平均有效單位重為

$$\bar{\gamma} =\frac{d\gamma+(B-d)\gamma'}{B} =\gamma'+\frac{d}{B}(\gamma-\gamma')$$

故地下水位修正後的公式為

$$q_u=cN_c+qN_q+\frac{1}{2}B\bar{\gamma}N_\gamma$$

也可將 $\gamma$ 換成修正係數乘積：

$$q_u=cN_c+qN_q+\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma R_w$$ $$R_w=\frac{1}{2}\left(1+\frac{d}{B}\right) +\frac{\gamma'}{2\gamma}\left(1-\frac{d}{B}\right)$$

此處 $R_w=\bar{\gamma}/\gamma$。當水位在基礎底面，即 $d=0$，基礎底面以下全以浮力單位重計算；當水位在基礎底面下 $B$，即 $d=B$，該範圍全在水位以上，不需修正。

（二）Meyerhof（1963）通用承載力公式的新增因子

Terzaghi 原式以承載力因子 $N_c、N_q、N_\gamma$ 表示土壤強度與破壞機制的影響。Meyerhof（1963）通用承載力公式另加入三類修正因子：

1. 形狀因子 $s_c、s_q、s_\gamma$：反映基礎平面形狀，例如條型、方形或矩形基礎。
2. 深度因子 $d_c、d_q、d_\gamma$：反映基礎埋置深度對承載力的影響。
3. 荷載傾斜因子 $i_c、i_q、i_\gamma$：反映荷載偏離垂直方向時，承載力的折減。

常見寫法為

核心觀念

本題考查三個觀念：支撐開挖的表觀側向土壓力、Rankine 主動土壓力，以及流網分析中的抗管湧安全係數。

Rankine 主動土壓力係數為

$$K_a=\tan^2\left(45^\circ-\frac{\phi'}{2}\right)$$

支撐開挖常採 Peck（1969）的砂土設計壓力包絡線，其均布表觀壓力為

$$\sigma_{h,\mathrm{Peck}}=0.65K_a\gamma H$$

流網分析中，出口水力坡降與抗管湧安全係數分別為

$$i_{\mathrm{exit}}=\frac{\Delta h/N_d}{\Delta s} \qquad FS=\frac{i_{\mathrm{cr}}}{i_{\mathrm{exit}}}$$

其中臨界水力坡降為

$$i_{\mathrm{cr}}=\frac{G_s-1}{1+e}$$

（一）為何支撐開挖側向壓力不採 Rankine 主動土壓力分佈

Rankine 主動土壓力的三角形分佈，建立在擋土壁能充分向外移動、土體達到主動破壞狀態等假設上。支撐開挖通常不完全符合這些條件：

1. 支撐限制擋土壁位移：壁體受支撐拘束，未必能產生足夠位移，使土體全深度達到 Rankine 主動狀態。
2. 開挖與支撐分階段施工：每一階段的開挖與支撐安裝都會改變壁體受力，側向壓力不是單一、同時形成的主動土壓力狀態。
3. 土拱與荷重重分配：壁體、支撐及土體會共同作用，使土壓力沿深度重新分配。
4. 設計需求是支撐構件荷重：Peck 包絡線依支撐開挖的實測荷重提出，提供支撐系統設計所用的表觀壓力分佈；不等同於土體中實際側向應力的三角形分佈。

（二）Rankine 主動破壞與 Peck 設計壓力包絡線

1. Rankine 主動土壓力

已知 $\phi'=30^\circ$，故

$$K_a=\tan^2(45^\circ-15^\circ)=\tan^2 30^\circ=\frac{1}{3}$$

開挖深度 $H=6\ \mathrm{m}$，總體單位重 $\gamma=16\ \mathrm{kN/m^3}$。Rankine 主動側向壓力隨深度 $z$ 線性增加：

$$\sigma_{h,a}(z)=K_a\gamma z =\frac{1}{3}(16)z$$

開挖底部最大壓力為

$$\sigma_{h,a,\max}=K_a\gamma H =\frac{1}{3}(16)(6)=32\ \mathrm{kPa}$$

其合力為三角形面積：

$$P_a=\frac{1}{2}(32)(6)=96\ \mathrm{kN/m}$$

合力作用於三角形底邊以上 $H/3$，即距開挖底部 $2\ \mathrm{m}$；亦即距地表 $4\ \mathrm{m}$。

2. Peck（1969）砂土設計壓力包絡線

砂土採均布表觀壓力：

$$\sigma_{h,\mathrm{Peck}} =0.65K_a\gamma H =0.65\left(\frac{1}{3}\right)(16)(6) =20.8\ \mathrm{kPa}$$

包絡線合力為矩形面積：