109 身心障礙特考三等 水利工程 土壤力學（包括基礎工程） 考古題詳解

核心觀念

本題屬於土壤力學基礎題型，主要測驗考生對土壤三相圖（Soil Phase Diagram）基本物理性質定義及其相互關係的掌握程度。解題核心在於下列定義與基本公式：

1. 總單位重（濕單位重 $\gamma$）與乾單位重（$\gamma_d$）之關係： $\gamma_d = \frac{\gamma}{1 + w}$ 其中 $w$ 為含水量（Water Content）。

2. 乾單位重與孔隙比（$e$）、土粒比重（$G_s$）之關係： $\gamma_d = \frac{G_s \gamma_w}{1 + e}$ 其中 $\gamma_w$ 為水之單位重（Unit Weight of Water）。

3. 土壤三相之基本恆等式： $S \cdot e = w \cdot G_s$ 其中 $S$ 為飽和度（Degree of Saturation）。

解題方法

已知條件

• 土壤總單位重：$\gamma = 22\ \mathrm{kN/m^3}$
• 含水量：$w = 12\% = 0.12$
• 土粒比重：$G_s = 2.68$
• 水之單位重：依台灣國家考試工程慣例，未特別指定時取標準值 $\gamma_w = 9.81\ \mathrm{kN/m^3}$（若採簡化值 $\gamma_w = 10\ \mathrm{kN/m^3}$ 亦於後續一併附註）。

步驟一：計算乾單位重（$\gamma_d$）

由乾單位重與總單位重之定義式： $\gamma_d = \frac{\gamma}{1 + w} = \frac{22}{1 + 0.12} = \frac{22}{1.12} \approx 19.64\ \mathrm{kN/m^3}$

步驟二：計算孔隙比（$e$）

由乾單位重與孔隙比之理論關係式： $\gamma_d = \frac{G_s \gamma_w}{1 + e}$

移項得孔隙比計算式： $1 + e = \frac{G_s \gamma_w}{\gamma_d}$ $e = \frac{G_s \gamma_w}{\gamma_d} - 1$

代入數值（取 $\gamma_w = 9.81\ \mathrm{kN/m^3}$）： $e = \frac{2.68 \times 9.81}{19.6429} - 1 = \frac{26.2908}{19.6429} - 1 = 1.3384 - 1 \approx 0.338$

核心觀念

本題考查有效應力莫耳－庫倫破壞準則。壓應力取正、拉應力取負；「側向拉伸」試驗的側向應力為 $-450\ \mathrm{kPa}$。每組試驗先依應力大小判定最大、最小主應力，再套用破壞時的主應力關係：

因此，將各試驗的 $\sigma_3$ 當作橫軸、$\sigma_1$ 當作縱軸，三組破壞資料應近似落在同一直線上；斜率為 $N_\phi$，截距為 $2c'\sqrt{N_\phi}$。

解題方法

依三個應力狀態整理主應力：

題目數值經取整後略有差異，以三組資料擬合共同的主應力直線：

三點的平均值為 $\bar{\sigma}_3=3.33\ \mathrm{kPa}$、$\bar{\sigma}_1=1226.67\ \mathrm{kPa}$。以線性擬合求得：

核心觀念

本題主要測驗基礎工程中「單樁軸向容許承載力」之靜力分析法（Static Analysis of Single Pile Capacity）。

1. 極限承載力（Ultimate Bearing Capacity, $Q_u$）組成： 樁基礎受軸向載重時，其總極限承載力由樁底之「極限端承力（Point/Tip Resistance, $Q_p$）」與樁身之「極限側表面摩擦力（Skin/Shaft Friction Resistance, $Q_s$）」共同提供： $Q_u = Q_p + Q_s = q'_t A_p + f_s A_s$

• $q'_t$：樁之淨底承載（淨單位端阻力，$\mathrm{kPa} = \mathrm{kN/m^2}$）
• $A_p$：樁底端承載面積（$\mathrm{m^2}$）
• $f_s$：樁壁與土壤間之單位側摩擦力（$\mathrm{kPa} = \mathrm{kN/m^2}$）
• $A_s$：樁身表面摩擦面積（$\mathrm{m^2}$）

2. 容許承載力（Allowable Bearing Capacity, $Q_{all}$）： 依據傳統整體安全係數法（Total Factor of Safety Method），容許承載力為極限承載力除以安全係數 $FS$： $Q_{all} = \frac{Q_u}{FS}$

解題方法

步驟一：幾何尺寸換算與面積計算

• 樁徑 $D = 350\ \mathrm{mm} = 0.35\ \mathrm{m}$
• 貫入土層深度 $L = 20\ \mathrm{m}$
• 鋼管樁未提供管壁厚度，依工程常規視為閉端（Closed-ended）或已形成完全土塞（Fully plugged），樁端面積按全斷面積計算： $A_p = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} \times (0.35)^2 \approx 0.09621\ \mathrm{m^2} \quad \left(\text{精確值為 } \frac{49\pi}{1600}\ \mathrm{m^2}\right)$
• 樁身外圓周長 $p$ 與側表面積 $A_s$： $p = \pi D = \pi \times 0.35 = 0.35\pi\ \mathrm{m}$ $A_s = p \times L = 0.35\pi \times 20 = 7\pi \approx 21.991\ \mathrm{m^2}$

步驟二：計算極限側摩擦力 $Q_s$

已知單位摩擦力 $f_s = 50\ \mathrm{kPa} = 50\ \mathrm{kN/m^2}$：

核心觀念

本題考查淺基礎之泰勒（Terzaghi）極限承載力理論與容許承載力之計算應用：

1. 連續基腳（條形基腳，Strip Footing）極限承載力公式： $q_u = c'N_c + qN_q + \frac{1}{2}\gamma B N_\gamma$ 其中，$c'$ 為土壤有效凝聚力；$q = \gamma D_f$ 為基礎底面處之有效超載（Overburden Pressure）；$B$ 為基腳寬度；$\gamma$ 為土壤單位重；$N_c$、$N_q$、$N_\gamma$ 為承載力係數。
2. 容許線承載（Allowable Line Load, $Q_{all}$）： 連續基腳每單位長度所能承受之容許垂直載重，其與總容許承載力 $q_{all}$ 之關係為： $q_{all} = \frac{q_u}{FS}$ $Q_{all} = q_{all} \times B = \frac{q_u}{FS} \times B$ 其中 $FS$ 為安全係數（Factor of Safety）。

解題方法

步驟一：彙整題目條件與參數

• 土壤參數：砂土 $c' = 0\ \mathrm{kPa}$、$\phi' = 37^\circ$、$\gamma = 19.2\ \mathrm{kN/m^3}$。
• 地下水位：位於極深處，土壤單位重全深度均無須考慮浮力折減，皆取 $\gamma = 19.2\ \mathrm{kN/m^3}$。
• 基腳埋深：$D_f = 0.5\ \mathrm{m}$。
• 基底超載應力： $q = \gamma D_f = 19.2 \times 0.5 = 9.6\ \mathrm{kPa}$
• 承載力係數：$N_c = 70.1$、$N_q = 53.8$、$N_\gamma = 68.1$。
• 設計要求：容許線承載 $Q_{all} = 650\ \mathrm{kN/m}$，安全係數 $FS = 2$。

步驟二：建立極限承載力 $q_u$ 與基腳寬度 $B$ 之關係式

將已知參數代入 Terzaghi 連續基腳公式： $q_u = c'N_c + qN_q + \frac{1}{2}\gamma B N_\gamma$ 因砂土 $c' = 0$，第一項為零： $q_u = 0 + (9.6 \times 53.8) + \left(\frac{1}{2} \times 19.2 \times B \times 68.1\right)$ $q_u = 516.48 + 653.76 B\quad (\mathrm{kPa})$

步驟三：由容許線承載求解基腳寬度 $B$

容許承載力： $q_{all} = \frac{q_u}{FS} = \frac{516.48 + 653.76 B}{2} = 258.24 + 326.88 B\quad (\mathrm{kPa})$