113 身心障礙特考三等 水利工程 流體力學 考古題詳解

113 年・身心障礙特考・三等・水利工程
試題代碼 流體力學

第 一 題20 分

一條矩形斷面的渠道，流速隨水深的變化可用對數剖面來描述：

U(z)=u∗κln⁡zz0U(z)=\frac{u_*}{\kappa}\ln\frac{z}{z_0}

式中馮卡門常數（von Karman constant）κ=0.4\kappa=0.4，u∗u_*為剪力速度，z0z_0為粗糙長度。若總水深為 1.0 m1.0\ \mathrm{m}，在水深 z=0.24 mz=0.24\ \mathrm{m} 和 0.80 m0.80\ \mathrm{m} 量得流速分別為 U=1.23 m/sU=1.23\ \mathrm{m/s} 和 1.50 m/s1.50\ \mathrm{m/s}，試問水深平均之流速為何？

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核心觀念

本題考查對數流速剖面與水深平均流速的關係。水深平均流速是流速沿全水深的積分平均：

Uˉ=1H∫0HU(z) dz\bar U=\frac{1}{H}\int_0^H U(z)\,dz

其中 H=1.0 mH=1.0\ \mathrm{m}。題目給定的對數剖面在 z=0z=0 處無定義，但其積分為有限值，可視為廣義積分。

解題方法

先利用兩個測點的流速差消去粗糙長度 z0z_0，求得剪力速度 u∗u_*。由

U2−U1=u∗κln⁡z2z1U_2-U_1=\frac{u_*}{\kappa}\ln\frac{z_2}{z_1}

代入 U1=1.23 m/sU_1=1.23\ \mathrm{m/s}、U2=1.50 m/sU_2=1.50\ \mathrm{m/s}、z1=0.24 mz_1=0.24\ \mathrm{m}、z2=0.80 mz_2=0.80\ \mathrm{m} 及 κ=0.4\kappa=0.4：

u∗=κ(U2−U1)ln⁡(z2/z1)=0.4(1.50−1.23)ln⁡(0.80/0.24)≈0.0934 m/su_*=\frac{\kappa(U_2-U_1)}{\ln(z_2/z_1)} =\frac{0.4(1.50-1.23)}{\ln(0.80/0.24)} \approx 0.0934\ \mathrm{m/s}

再由任一測點求 z0z_0。採用 z1=0.24 mz_1=0.24\ \mathrm{m}：

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第 二 題20 分

一個薄殼半圓球形容器浮於水面，圓球直徑 0.16 m0.16\ \mathrm{m}，質量 0.5 kg0.5\ \mathrm{kg}，水的密度為 1,000 kg/m31{,}000\ \mathrm{kg/m^3}，求此容器浸在水面下深度 hh。

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核心觀念

容器浮於靜水面時，依阿基米德原理，浮力等於排開水的重量。薄殼半圓球的最低點至水面的距離為 hh，因此水下排水體積是半徑 RR、球冠高度 hh 的球冠體積：

V=πh23(3R−h)=πh2(R−h3)V=\frac{\pi h^2}{3}(3R-h) =\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)

解題方法

圓球直徑為 0.16 m0.16\ \mathrm{m}，所以半徑

R=0.162=0.08 mR=\frac{0.16}{2}=0.08\ \mathrm{m}

浮力與容器重量平衡：

ρgV=mg\rho gV=mg

約去 gg，代入水的密度與容器質量：

1000πh2(0.08−h3)=0.51000\pi h^2\left(0.08-\frac{h}{3}\right)=0.5
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第 三 題20 分

一水工試驗室針對一條河川彎道進行模型試驗，縮尺比為 1:251:25，模型渠道寬度 0.4 m0.4\ \mathrm{m}，渠道中心線的曲率半徑為 2.0 m2.0\ \mathrm{m}，水流平均流速 0.30 m/s0.30\ \mathrm{m/s}，量測得內岸的水深 0.10 m0.10\ \mathrm{m}。求實際河川外岸的水深為何？

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核心觀念

水流通過彎道時，流體需要向彎道中心產生向心加速度；相應的離心效應使自由液面向外岸升高。彎道橫向水面高差可由徑向力平衡求得。

對渠道較寬度相對曲率半徑小的情形，常用近似式為

Δh=ho−hi≈V2BgR\Delta h=h_o-h_i\approx\frac{V^2B}{gR}

其中 hoh_o、hih_i 分別為外岸與內岸水深，VV 為平均流速，BB 為渠道寬度，RR 為渠道中心線曲率半徑，g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}。

模型與實際河川採弗勞德相似。幾何縮尺為 1:251:25，因此原型長度為模型長度的 2525 倍；弗勞德相似下，水深依幾何比尺換算。

解題方法

先用模型的流速、渠道寬度與中心線曲率半徑，算出模型外岸相對內岸的水深增量：

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第 四 題20 分

一個架高的空貨櫃（寬度 2.4 m2.4\ \mathrm{m}、高度 2.6 m2.6\ \mathrm{m}、長度 10 m10\ \mathrm{m}、重 2,500 kg2{,}500\ \mathrm{kg}）被側風吹襲而翻倒。架高高度為 1.5 m1.5\ \mathrm{m}。矩形物體的風阻係數為 1.451.45，空氣密度為 1.20 kg/m31.20\ \mathrm{kg/m^3}，試問當時風速為何？

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核心觀念

此題以貨櫃即將翻倒時的力矩平衡求風速。翻倒支點取下風側底部邊緣；風力造成的翻倒力矩，恰等於貨櫃重量造成的穩定力矩。

風阻力公式為

FD=12ρCDAV2F_D=\frac{1}{2}\rho C_D A V^2

其中迎風面積為貨櫃長度乘以高度，風力作用點取迎風面形心。

解題方法

風向垂直吹向貨櫃側面，因此迎風面積為

A=(10)(2.6)=26 m2A=(10)(2.6)=26\ \mathrm{m^2}

風力作用點距地面高度為架高加上貨櫃高度的一半：

hD=1.5+2.62=2.8 mh_D=1.5+\frac{2.6}{2}=2.8\ \mathrm{m}

貨櫃重量作用於底面中心，至翻倒支點的水平力臂為

b=2.42=1.2 mb=\frac{2.4}{2}=1.2\ \mathrm{m}

在剛要翻倒的臨界狀態，兩側力矩相等：

FDhD=(mg)bF_Dh_D=(mg)b
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第 五 題20 分

一個圓形水桶（直徑 0.50 m0.50\ \mathrm{m}）在靜止狀態下的水深 h=0.20 mh=0.20\ \mathrm{m}，水桶繞其中心軸旋轉。試問轉速需大於多少，水桶底部中心會沒有水？

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核心觀念

水桶穩定繞垂直中心軸旋轉時，水體形成強制渦流，自由液面呈拋物面。以桶底中心為 r=0r=0，自由液面高度為

z(r)=z0+ω2r22g,z(r)=z_0+\frac{\omega^2r^2}{2g},

其中 ω\omega 為角速度、gg 為重力加速度。水量守恆，因此旋轉前後水的體積相同。

解題方法

圓桶半徑為

R=0.502=0.25 m.R=\frac{0.50}{2}=0.25\ \mathrm{m}.

桶底中心剛好開始露出水面時，中心液面高度 z0=0z_0=0，故自由液面為

z(r)=ω2r22g.z(r)=\frac{\omega^2r^2}{2g}.

初始水深為 h=0.20 mh=0.20\ \mathrm{m}，初始水量為 πR2h\pi R^2h。旋轉後的水量為

∫0Rz(r) 2πr dr=∫0Rω2r22g 2πr dr=πω2R44g.\int_0^R z(r)\,2\pi r\,dr =\int_0^R\frac{\omega^2r^2}{2g}\,2\pi r\,dr =\frac{\pi\omega^2R^4}{4g}.

令兩者相等：

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