111 身心障礙特考三等 水利工程 水資源工程學 考古題詳解

核心觀念

水力發電（Hydropower Generation）係利用水流之位能轉換為動能，再帶動水輪機（Turbine）與發電機組進行發電。水力發電之理論輸出功率公式為： $P = \gamma \cdot Q \cdot H \cdot \eta$ 式中，$P$ 為發電功率（$\text{kW}$），$\gamma$ 為水之單位重量（$9.81\text{ kN/m}^3$），$Q$ 為發電引流量（$\text{m}^3/\text{s}$），$H$ 為有效水頭（Net Head / 淨落差，$\text{m}$），$\eta$ 為水輪發電機組之總效率。

有效水頭 $H$ 定義為毛落差（Gross Head, $H_g$）扣除水流輸送過程中所產生的總落差損失（Total Head Loss, $\Sigma h_L$）： $H = H_g - \Sigma h_L$ 毛落差 $H_g$ 即為上游水位與下游尾水位之高程差。落差為決定水力發電能量潛能與水輪機選型（如貫流式、法蘭西斯式、佩爾頓式）最關鍵之物理量。

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解題方法

本題為水資源工程學中水力發電工程規劃之經典申論題。解題切入點應按題目三個核心問句劃分，依序進行邏輯嚴密之論述：

1. 獲取落差之方式：自水力發電工程之佈置型式（Hydropower Plant Layout）切入，說明如何透過水利構造物與自然地形相結合以獲取高程落差。
2. 落差損失之項目：依據水力學（Hydraulics）水頭損失原理，將水流自取水至排水過程中所產生的能量損失分為「沿程摩擦損失」與「局部水頭損失」兩大類別進行系統化列舉。
3. 落差損失占總落差之百分比：結合工程經濟學（Engineering Economics）與水力設計實務經驗，說明水頭損失之合理控制比例與最適設計範圍。

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選項分析

本題屬申論題型（無選擇題選項）。針對題意三大核心項目之實質分析說明如下：

一、 水力發電獲取落差之方式

1. 壩式發電（Dam Type / Storage Type）： 在河川上築高壩截留水流形成水庫，直接利用壩體所抬高之上游水庫水位與壩下下游河道水位之間的高程差獲取落差。適用於河谷狹窄、地質堅硬且水量豐沛之場址。
2. 引水式發電（又稱水道式發電，Run-of-River / Diversion Conduit Type）： 在河川中上游坡度較陡處建造低矮攔河堰取水，經由低坡度之引水渠道或壓力隧道將水引至下游坡度變陡上方之前池，再透過壓力鋼管（Penstock）陡降落入電廠。此方式係利用長距離河道自然地形之累積落差。
3. 壩水道混合式發電（Dam-Waterway Hybrid Type）： 結合壩式與引水道式之優點，利用上游大壩抬高水位以獲取部分落差，同時連接長引水隧道將水引至更下游處，累積獲取更高之總落差。
4. 抽蓄式發電（Pumped Storage Type）： 建造高低兩個不同高程之水池（上池與下池），利用電力離峰時段之剩餘電能將下池水抽至上池儲存位能；於電力尖峰時段將上池水放流至下池帶動水輪機發電，利用上下池之間的地勢高度差獲取發電落差。

二、 落差損失之項目 水流自上游進水口流經引水系統至尾水道過程中所消耗之水頭損失，主要包含以下兩類：

1. 沿程摩擦水頭損失（Major / Friction Loss, $h_f$）：

核心觀念

本題旨在考查都市雨水下水道排水設計之兩大關鍵核心：降雨強度—延時—重現期公式（IDF 關係式）之參數推導與合理化公式（Rational Method）結合水力學計算都市排水尖峰流量。

1. 降雨強度公式（Sherman 型降雨強度公式）： 降雨強度 $I$ 與降雨延時 $t$ 之關係表為： $I = \frac{a}{(t+b)^n}$ 本題指數 $n = 0.75$，需利用已知兩組降雨延時與對應強度，經由聯立方程式解出係數 $a$ 與 $b$。

2. 加權平均逕流係數（Composite Runoff Coefficient, $C$）： 當排水區包含多種不同土地利用類型時，整體逕流係數以面積加權平均計算： $C = \frac{\sum (C_i \cdot A_i)}{A}$

3. 集水時間（Time of Concentration, $t_c$）： 集水時間為地表逕流流入時間（Inlet Time, $t_0$）與下水道管內流動時間（Flow Time, $t_f$）之和： $t_c = t_0 + t_f = t_0 + \frac{L}{V}$ 其中下水道平均流速 $V$ 依據**曼寧公式（Manning's Formula）**求得： $V = \frac{1}{n} R^{2/3} S^{1/2}$ 水力半徑 $R = \frac{A_{\text{水}}}{P}$（$A_{\text{水}}$ 為通水斷面積，$P$ 為濕周）。

4. 合理化公式（Rational Formula）： 當降雨延時等於集水時間（$t = t_c$）時，產生尖峰排水量 $Q_p$： $Q_p = \frac{1}{360} C \cdot I \cdot A$ 式中，$Q_p$ 單位為 $\text{m}^3/\text{s}$，$C$ 為無因次逕流係數，$I$ 為降雨強度（$\text{mm/hr}$），$A$ 為排水面積（$\text{ha}$）。

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解題方法

(一) 求 $a$、$b$ 值

1. 建立聯立方程式： 將已知條件代入降雨強度公式 $I = \frac{a}{(t+b)^{0.75}}$：

• 當 $t_1 = 30\text{ min}$ 時，$I_1 = 63\text{ mm/hr}$： $63 = \frac{a}{(30+b)^{0.75}} \implies a = 63 \cdot (30+b)^{0.75} \quad \text{--- (式 1)}$
• 當 $t_2 = 60\text{ min}$ 時，$I_2 = 42\text{ mm/hr}$： $42 = \frac{a}{(60+b)^{0.75}} \implies a = 42 \cdot (60+b)^{0.75} \quad \text{--- (式 2)}$

2. 求解參數 $b$： 將 (式 1) 除以 (式 2)： $\frac{63}{42} = \left(\frac{60+b}{30+b}\right)^{0.75}$ $1.5 = \left(\frac{60+b}{30+b}\right)^{3/4}$ 兩邊同時取 $\frac{4}{3}$ 次方： $\frac{60+b}{30+b} = (1.5)^{4/3} \approx 1.71707$ 交叉相乘求解 $b$： $60 + b = 1.71707 \cdot (30 + b)$ $60 + b = 51.5121 + 1.71707 b$ $0.71707 b = 8.4879 \implies b \approx 11.84$ 依題目要求取至整數： $b = 12$

3. 求解參數 $a$： 將 $b = 12$ 代回 (式 1) 與 (式 2) 計算 $a$：

• 由 (式 1)：$a = 63 \cdot (30+12)^{0.75} = 63 \cdot (42)^{0.75} \approx 63 \cdot 16.495 = 1039.18$
• 由 (式 2)：$a = 42 \cdot (60+12)^{0.75} = 42 \cdot (72)^{0.75} \approx 42 \cdot 24.716 = 1038.07$ 取其平均值並依題目要求四捨五入至整數： $a = 1039$

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(二) 求此雨水下水道之尖峰排水量 $Q_p$

核心觀念

本題考查土壤有效水分、作物根系儲水量、淨灌溉水量、灌溉效率及深層滲漏率。

• 有效水量：

$$\text{有效水量}=\text{有效水分含量}\times\text{土層厚度}$$

• 灌溉效率：

$$E=\frac{\text{淨灌溉水量}}{\text{田間引入之總灌溉水量}}$$

• 深層滲漏率採本題事件性定義，即實際引入水量中，超過計畫田間總灌溉水量而未被根區利用的水量比例。

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解題方法與計算

灌區面積為

$$150\text{ ha}=150\times 10^4=1.5\times10^6\text{ m}^2$$

砂質壤土有效水分含量為 $15\%$，即體積比 $0.15$。

（一）淨灌溉水量

作物有效根系深度為 $0.6\text{ m}$，根區可儲存的有效水深為

$$0.15\times0.6=0.09\text{ m}=90\text{ mm}$$

有效雨量僅供給上層 $10\text{ cm}=0.1\text{ m}$ 土層，因此有效降雨補充量為

$$0.15\times0.1=0.015\text{ m}=15\text{ mm}$$

故仍須由灌溉補充的淨灌溉水量為

$$90-15=75\text{ mm}$$

（二）所需灌溉時間

淨灌溉水量換算為水體積：

$$V_{\text{net}} =1.5\times10^6\times0.075 =112,500\text{ m}^3$$

田間灌溉效率為 $80\%$，所以渠道引入的總灌溉水量為

$$V_{\text{gross}} =\frac{112,500}{0.8} =140,625\text{ m}^3$$

引灌流量為 $0.4\text{ m}^3/\text{s}$，所需時間為

$$t=\frac{V_{\text{gross}}}{Q} =\frac{140,625}{0.4} =351,562.5\text{ s}$$

換算為小時：

核心觀念

重現期 $T=20$ 年，表示任一年洪水量超越設計標準的年超越機率為

$$p=\frac{1}{T}=\frac{1}{20}=0.05$$

任一年未超越設計標準的機率為

$$q=1-p=\frac{19}{20}=0.95$$

假設各年洪水事件彼此獨立，則未來 $10$ 年超越次數 $X$ 服從二項分配：

$$X\sim \operatorname{Binomial}(n=10,p=0.05)$$

其機率公式為

$$P(X=k)=\binom{10}{k}(0.05)^k(0.95)^{10-k}$$

須注意：重現期 $20$ 年並不表示每隔 $20$ 年必定發生一次洪水，而是表示每一年的超越機率為 $1/20$。

解題方法

以「未來 $10$ 年內超越設計標準的次數」作為隨機變數 $X$，依各小題所問的事件計算二項分配機率。

（一）未來 $10$ 年中，洪水量皆未超越設計標準

「皆未超越」表示 $10$ 年中超越次數為 $0$，即 $X=0$。

$$P(X=0)=\binom{10}{0}(0.05)^0(0.95)^{10}$$

因此

$$P(X=0)=\left(\frac{19}{20}\right)^{10} =0.5987$$

故機率約為

$$\boxed{59.87\%}$$

（二）未來 $10$ 年中，洪水量剛好超越設計標準一次

「剛好一次」表示 $X=1$。超越發生在哪一年共有 $\binom{10}{1}=10$ 種安排方式。

$$P(X=1)=\binom{10}{1}(0.05)^1(0.95)^9$$ $$P(X=1)=10(0.05)(0.95)^9 =0.3151$$

故機率約為

$$\boxed{31.51\%}$$

（三）未來 $10$ 年中，洪水量最多只超越設計標準一次

「最多一次」包含兩種情況：

• 完全沒有超越：$X=0$
• 剛好超越一次：$X=1$

因此

$$P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)$$

核心觀念

本題考查堤防防洪工程的經濟最佳化，核心是比較各堤防高度下的：

1. 洪水氾濫之期望年損失；
2. 堤防增高工程費的年均成本；
3. 兩者合計的期望年總成本。

以單位長度堤防為計算基準。既有 $2\text{ m}$ 堤防的工程費屬於既有成本，各方案均共同具有，對最佳高度的比較沒有影響，因此只計算由 $2\text{ m}$ 起增加高度所需的工程費。

洪水氾濫期望年損失為：

$$E(L)=P_f \times L_f$$

其中：

• $P_f$：洪水氾濫機率；
• $L_f$：洪水氾濫一次之損失。

工程費年均成本以資金回收因子轉換：

$$A_C=C\times \text{CRF}$$

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解題方法

一、計算資金回收因子

已知：

$$i=6\%=0.06,\qquad n=50$$ $$\text{CRF} =\frac{0.06(1.06)^{50}}{(1.06)^{50}-1} \approx 0.06343$$

因此，每增加 $0.5\text{ m}$ 堤高，工程費為 $200,000$ 元，其年均工程成本為：

$$200,000\times 0.06343 \approx 12,686\text{ 元/年}$$

二、計算各堤防高度之年均工程成本

相對於原有 $2\text{ m}$ 堤防：

• $2.5\text{ m}$：增加 $1$ 個 $0.5\text{ m}$ 單位；
• $3.0\text{ m}$：增加 $2$ 個單位；
• $3.5\text{ m}$：增加 $3$ 個單位；
• $4.0\text{ m}$：增加 $4$ 個單位；
• $4.5\text{ m}$：增加 $5$ 個單位。

故：

$$A_C=12,686\times k$$

其中 $k$ 為增加的 $0.5\text{ m}$ 單位數。

三、計算洪水氾濫期望年損失

洪水氾濫一次損失為：

$$L_f=12,000,000\text{ 元}$$

各高度之期望年損失如下：

$$E(L)=P_f\times 12,000,000$$

四、比較各方案之年均總成本

年均總成本為：

$$A_T=E(L)+A_C$$