108 身心障礙特考三等 水利工程 土壤力學（包括基礎工程） 考古題詳解

核心觀念

夯實試驗以不同含水量將土樣夯入固定體積的夯模，先由濕土密度換算乾密度，再繪製乾密度與含水量的關係曲線。曲線峰值為最大乾密度 $\rho_{d,\max}$，其對應含水量為最佳含水量 $w_{\mathrm{opt}}$。

乾密度與飽和度的計算式為：

$$\rho_d=\frac{\rho}{1+w} =\frac{M_{\mathrm{wet}}}{V(1+w)}$$ $$S_r=\frac{wG_s}{e}, \qquad e=\frac{G_s\rho_w}{\rho_d}-1$$

其中 $w$ 以小數代入、$G_s$ 為土粒比重、$\rho_w$ 為水密度。

相對夯實度定義為工地乾密度與室內標準夯實試驗最大乾密度之比：

$$R_c=\frac{\rho_{d,\mathrm{field}}}{\rho_{d,\max}}\times 100\%$$

解題方法

（一）各土樣乾密度、夯實曲線與最佳含水量

夯模體積 $V=943.3\ \mathrm{cm^3}$。各土樣先以濕土質量除以夯模體積求濕密度，再除以 $1+w$ 求乾密度。以土樣 1 為例：

$$\rho_{d1} =\frac{1689}{943.3(1+0.127)} =1.588\ \mathrm{g/cm^3}$$

其餘試驗結果如下：

土樣編號	含水量 $w$（%）	乾密度 $\rho_d$（g/cm³）
1	12.7	1.588
2	15.0	1.613
3	17.8	1.617
4	20.6	1.612
5	23.8	1.581

將含水量作為橫軸、乾密度作為縱軸，標出五組數據並以平滑曲線連接，即得夯實曲線。乾密度先升高、再降低，峰值約在第 3 組附近。因此依表列試驗值判定：

$$\rho_{d,\max}\approx 1.617\ \mathrm{g/cm^3}, \qquad w_{\mathrm{opt}}\approx 17.8\%$$

（二）最大乾密度下的飽和度

以 $G_s=2.70$、$\rho_w=1.00\ \mathrm{g/cm^3}$ 及最大乾密度計算孔隙比：

核心觀念

本題考查一維壓密試驗的三項圖解判讀，以及壓密度的物理意義：

• 預壓密應力 $\sigma'_p$：土壤過去曾承受的最大有效垂直應力；可由孔隙比 $e$ 與有效垂直應力 $\sigma'_v$ 的半對數曲線，以 Casagrande 法判定。
• 壓縮性指數 $C_c$：正常壓密範圍內，孔隙比隨有效應力對數增加的斜率： $C_c=-\frac{\Delta e}{\Delta\log_{10}\sigma'_v}$
• 壓密係數 $c_v$：描述壓密速率的參數；Casagrande 對數時間法以 $t_{50}$ 求得。
• 壓密度 $U$ 是某位置的局部壓密完成比例；平均壓密度 $\bar U$ 是整個壓密層的平均完成比例。

（一）Casagrande 法求預壓密應力

在 $e-\log_{10}\sigma'_v$ 圖上，先找曲線曲率最大的點，依序進行下列圖解：

1. 在最大曲率點作曲線切線。
2. 在同一點作水平線。
3. 將切線與水平線的夾角平分，得到角平分線。
4. 延長壓密曲線高應力側的直線段，即原始壓縮線（virgin compression line）。
5. 角平分線與原始壓縮線的交點，向下投影至 $\log_{10}\sigma'_v$ 軸，讀得的應力即為預壓密應力 $\sigma'_p$。

此法利用曲線由再壓縮段轉入原始壓縮段時的曲率變化，估計應力轉折點。應力軸為對數刻度，讀取交點時須在 $\log\sigma'_v$ 軸上讀值，再換算為應力。

（二）Schmertmann（1955）程序修正擾動並求現地 $C_c$

取現地不擾動土樣的初始孔隙比 $e_0$ 與現地有效垂直應力 $\sigma'_{v0}$，並由試驗曲線判定預壓密應力 $\sigma'_p$。試驗曲線在應力軸以對數尺度繪製。

1. 由原始壓縮線向低應力方向延伸，直至與 $e=e_0$ 的水平線相交；該交點對應的應力記作 $\sigma'_L$。
2. 在試驗曲線的再壓縮段取一控制點，常用其斜率代表再壓縮指數 $C_r$。
3. 以試驗曲線的預壓密應力點作為轉折控制點，並利用由 $e_0$、$\sigma'_{v0}$ 及 $\sigma'_L$ 所定的控制位置，重建現地壓縮曲線；連接正常壓密範圍的控制點與原始壓縮線控制點，所得斜率為修正後的現地壓縮指數 $C_c$。

若以兩控制點 $(\sigma'_1,e_1)$、$(\sigma'_2,e_2)$ 表示重建後的正常壓密直線，則： $C_c=\frac{e_1-e_2}{\log_{10}(\sigma'_2/\sigma'_1)}$

此程序的重點是以現地初始狀態作控制，修正取樣與試驗擾動造成的曲線形狀改變；不可直接把擾動試體試驗曲線上量得的原始斜率當作現地 $C_c$。

（三）Casagrande 對數時間法求 $c_v$

對一個固定荷重增量的壓密試驗，繪製壓縮量（或試體高度）對 $\log_{10}t$ 曲線。時間 $t=0$ 無法直接放在對數時間軸上，因此先以早期讀值作圖解修正。

1. 求零時間讀值 $d_0$：在初期曲線中，選取兩個時間相差約四倍的早期讀值，例如 $t_1$ 與 $4t_1$。兩讀值的壓縮量差記為 $\Delta d$。在 $t_1$ 處，以 $\Delta d$ 向早期位移方向取值，得到修正後的零時間讀值 $d_0$。

核心觀念

以有效應力莫耳圓表示土壤元素的應力狀態。橫軸為有效正應力 $\sigma'$，縱軸為剪應力 $\tau$。莫耳－庫倫破壞準則為

$$\tau=c'+\sigma'\tan\phi'$$

破壞時，莫耳圓與破壞包絡線相切。$K_0$ 狀態則代表側向應變受限制、尚未達 Rankine 主動或被動極限的靜止土壓狀態。

本題給定相同的垂直有效應力 $\sigma'_v$，依 Rankine 假設，垂直與水平應力為主應力，且不考慮牆土摩擦。令垂直方向為 $y$、水平方向為 $x$，則：

• 主動狀態：$\sigma'_1=\sigma'_v$、$\sigma'_3=\sigma'_a$。
• 被動狀態：$\sigma'_1=\sigma'_p$、$\sigma'_3=\sigma'_v$。
• $K_0$ 狀態：$\sigma'_h=K_0\sigma'_v$，通常垂直應力大於水平應力。

作圖與公式

莫耳圓圓心及半徑為

$$C=\frac{\sigma'_1+\sigma'_3}{2}, \qquad R=\frac{\sigma'_1-\sigma'_3}{2}$$

因此，三個狀態分別為：

$K_0$ 狀態

$$C_0=\frac{1+K_0}{2}\sigma'_v, \qquad R_0=\frac{1-K_0}{2}\sigma'_v$$

其圓通過 $\sigma'_h=K_0\sigma'_v$ 與 $\sigma'_v$ 兩個主應力點，且位於破壞包絡線之內。

Rankine 主動破壞狀態

由莫耳圓與破壞包絡線相切，可得

$$\sigma'_a =K_a\sigma'_v-2c'\sqrt{K_a}, \qquad K_a=\tan^2\left(45^\circ-\frac{\phi'}{2}\right) =\frac{1-\sin\phi'}{1+\sin\phi'}$$

圓心與半徑為

$$C_a=\frac{\sigma'_v+\sigma'_a}{2}, \qquad R_a=\frac{\sigma'_v-\sigma'_a}{2}$$

主動圓以 $\sigma'_v$ 為大主應力、$\sigma'_a$ 為小主應力，並與上、下兩支破壞包絡線相切。

Rankine 被動破壞狀態

$$\sigma'_p =K_p\sigma'_v+2c'\sqrt{K_p}, \qquad K_p=\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi'}{2}\right) =\frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}$$

圓心與半徑為

$$C_p=\frac{\sigma'_p+\sigma'_v}{2}, \qquad R_p=\frac{\sigma'_p-\sigma'_v}{2}$$

被動圓以 $\sigma'_p$ 為大主應力、$\sigma'_v$ 為小主應力，也與破壞包絡線相切。

圖形標示要點

在同一組 $\sigma'$－$\tau$ 座標中，畫出兩條截距為 $c'$、斜率為 $\tan\phi'$ 的破壞包絡線；再畫出主動圓、被動圓，使兩圓分別與包絡線相切。$K_0$ 圓則畫在兩個極限狀態之間，且不與破壞包絡線相切。應在橫軸上標示各圓的主應力端點：主動圓為 $\sigma'_a,\sigma'_v$，被動圓為 $\sigma'_v,\sigma'_p$，$K_0$ 圓為 $K_0\sigma'_v,\sigma'_v$。

核心觀念

本題考查標準貫入試驗（SPT）測得的原始敲擊數如何修正與應用，以及跨孔法震測如何利用波速推估土層性質。SPT 的原始 $N$ 值會受設備、操作與土層覆土壓力影響；跨孔法則藉由量測波在不同鑽孔間的傳遞時間，求得土層波速。

解題方法

（一）SPT 敲擊數應考慮的修正因子

SPT 原始 $N$ 值為標準取樣器貫入最後 $30\text{ cm}$ 所需的總敲擊數。實務上，至少應考慮下列修正：

1. 能量修正 $C_E$：修正不同落錘、鑽桿及操作系統造成的錘擊能量差異，通常換算至標準能量比 $60\%$。
2. 鑽孔直徑修正 $C_B$：鑽孔直徑偏大會影響測值。
3. 鑽桿長度修正 $C_R$：鑽桿長度不同會改變傳遞至取樣器的能量。
4. 取樣器修正 $C_S$：取樣器配置（例如是否裝有內襯管）會影響貫入阻抗。
5. 上覆有效應力修正 $C_N$：修正不同深度、不同有效覆土壓力下砂土密實度與 $N$ 值的關係。

常用的標準化表示為：

$$(N_1)_{60}=N\,C_E C_B C_R C_S C_N$$

其中，$N_{60}=N\,C_E C_B C_R C_S$ 為能量及設備修正後的 $N$ 值；再乘 $C_N$，即得上覆應力正規化的 $(N_1)_{60}$。

（二）$(N_1)_{60}$ 的意義

$(N_1)_{60}$ 是將現地量得的 SPT-$N$ 值先修正至標準錘擊能量比 $60\%$，再正規化至參考上覆有效應力 $1\text{ atm}$（約 $100\text{ kPa}$）後的數值。它降低了設備與深度差異對 $N$ 值的影響，使不同場址、不同深度的砂土抗液化能力可較一致地比較。

（三）SPT-$N$ 值的三項大地工程應用

1. 估算土壤相對密度或稠度：例如砂土相對密度、黏土稠度與硬度的初步判別。
2. 推估工程參數：以經驗關係估算砂土摩擦角、土壤變形模數或承載力等。
3. 作為液化評估指標：經能量與上覆應力修正後，與地震需求參數比較，以判定砂土液化潛勢。

（四）跨孔法震測試驗原理及可求得的土層特性