107 身心障礙特考四等 經建行政 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量雙變量敘述統計（Bivariate Descriptive Statistics）的基礎計算與經濟意涵詮釋，涵蓋以下核心概念與公式：

1. 樣本平均數（Sample Mean）： $\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$
2. 樣本標準差（Sample Standard Deviation）： 衡量資料分散程度的指標，樣本分母採用自由度 $n-1$ 以維持不偏估計： $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n - 1}} = \sqrt{\frac{SS}{n - 1}}$
3. 樣本共變數（Sample Covariance）： 衡量兩變數線性關聯方向之指標（量綱為兩變數單位乘積）： $s_{XY} = \mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{n - 1} = \frac{SS_{XY}}{n - 1}$
4. 皮爾森樣本相關係數（Pearson Correlation Coefficient）： 消除量綱影響後，衡量兩變數線性相關強度與方向之無母數標準化指標（$-1 \le r \le 1$）： $r = \frac{s_{XY}}{s_X \cdot s_Y} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2}} = \frac{SS_{XY}}{\sqrt{SS_{XX} \cdot SS_{YY}}}$
5. 相關係數強度判定： 當 $r > 0$ 表示正相關；當 $|r| \ge 0.7$ 時，一般統計學上界定為高度線性相關。

解題方法

令樣本數 $n = 5$：

• 變數 $X$ 代表「平均每戶可支用所得」（單位：萬元）
• 變數 $Y$ 代表「平均每戶消費支出」（單位：萬元）

步驟一：編製計算輔助表

先求兩變數的樣本總和與樣本平均數：

• $\sum X = 101.1 + 90.7 + 83.8 + 76.2 + 67.5 = 419.3$ $\bar{X} = \frac{419.3}{5} = 83.86\text{（萬元）}$
• $\sum Y = 77.1 + 73.7 + 60.4 + 62.9 + 48.6 = 322.7$ $\bar{Y} = \frac{322.7}{5} = 64.54\text{（萬元）}$

建立離均差及其平方與交叉乘積之計算表：

各離均差平方和與交叉乘積和為：

• $SS_{XX} = \sum (X - \bar{X})^2 = 670.332$
• $SS_{YY} = \sum (Y - \bar{Y})^2 = 515.572$

核心觀念

1. 抽樣分配（Sampling Distribution）之平均數與標準誤（Standard Error）： 設母體平均數為 $\mu$，母體標準差為 $\sigma$。自該母體中獨立隨機抽取樣本數為 $n$ 的樣本，樣本平均數 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ 之抽樣分配具備以下性質：

• 抽樣分配之平均數（期望值）：$E(\bar{X}) = \mu_{\bar{X}} = \mu$
• 抽樣分配之標準差（即標準誤，Standard Error）：$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）： 無論母體原本為何種分配（即使非常態、偏態或未知），只要母體的平均數 $\mu$ 與變異數 $\sigma^2$ 為有限值，當樣本數充分大（統計學慣例為 $n \ge 30$）時，樣本平均數 $\bar{X}$ 之抽樣分配將漸近收斂於常態分配： $\bar{X} \stackrel{a}{\sim} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

3. 標準常態轉換（Standard Normal Transformation）： 利用 $Z$ 轉換公式將樣本平均數標準化： $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$ 再透過查標準常態分配累積機率表（$Z$ 表）計算對應區間的發生機率：$P(Z \le z) = \Phi(z)$。

解題方法

設隨機變數 $X$ 代表每月報名該訓練課程的人數。 由題意可知母體參數為：

• 母體平均數 $\mu = 13$
• 母體標準差 $\sigma = 17$
• 隨機抽樣月份數（樣本數）$n = 50$

(一) 計算樣本平均數抽樣分配之平均數及標準差

1. 抽樣分配之平均數（期望值）： $\mu_{\bar{X}} = E(\bar{X}) = \mu = 13 \text{（人）}$
2. 抽樣分配之標準差（標準誤）： $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{17}{\sqrt{50}} = \frac{17}{5\sqrt{2}} = \frac{17\sqrt{2}}{10} \approx \frac{17 \times 1.4142}{10} \approx 2.4042 \text{（人）}$

(二) 判斷抽樣分配是否為常態分配及說明理由

• 結論：嚴格來說不是完全的常態分配，但高度近似於常態分配（Approximately Normal）。
• 理由：

1. 母體原始分配並未給定為常態分配（事實上，報名人數非負且 $\mu = 13 < \sigma = 17$，母體極可能呈現右偏之離散分配）。
2. 依據中央極限定理（Central Limit Theorem），當隨機樣本數充分大（$n \ge 30$）時，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配會趨近於常態分配。
3. 本題抽取 $n = 50$ 個月，符合大樣本條件（$n = 50 > 30$），故 $\bar{X}$ 之抽樣分配可依中央極限定理視為近似常態分配：$\bar{X} \stackrel{a}{\sim} N(13, 2.4042^2)$。

(三) 計算樣本每月平均報名人數少於 10 位的機率

欲求 $P(\bar{X} < 10)$，進行標準化轉換：

核心觀念

本題評量離散型機率分配中最基礎且重要的二項分配（Binomial Distribution）​之判斷、機率計算、期望值與變異數。

1. 二項實驗之要件：

• 試驗次數固定為 $n$ 次。
• 每次試驗結果僅有兩種互斥可能（成功與失敗）。
• 每次試驗互相獨立。
• 每次試驗成功的機率固定為 $p$。

2. 機率質量函數（PMF）： 若隨機變數 $X \sim B(n, p)$，其機率公式為： $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, 2, \dots, n$
3. 餘事件法則（Complement Rule）： $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)$
4. 二項分配之動差公式：

• 期望值：$E(X) = np$
• 變異數：$\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$
• 標準差：$\mathrm{SD}(X) = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{np(1-p)}$

解題方法

模型設定

令隨機變數 $X$ 代表自全體民眾中隨機抽取的 $20$ 位民眾中，認為今年經濟情況「不樂觀」的人數。 母體龐大，抽樣可視為獨立試驗，且每位受訪者認為不樂觀的機率皆固定為 $p = 40\% = 0.4$。因此 $X$ 服從參數為 $n = 20$、$p = 0.4$ 的二項分配，記作： $X \sim B(20, 0.4)$

(一) 計算剛好 12 位民眾認為經濟情況不樂觀的機率 $P(X = 12)$

將 $n = 20$、$x = 12$、$p = 0.4$ 代入二項分配機率質量函數： $P(X = 12) = \binom{20}{12} (0.4)^{12} (0.6)^{20 - 12} = \binom{20}{8} (0.4)^{12} (0.6)^8$

計算各項數值：

1. 組合數： $\binom{20}{8} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 125,970$
2. 機率乘冪： $(0.4)^{12} \approx 1.67772 \times 10^{-5}$ $(0.6)^8 \approx 0.016796$
3. 相乘求解： $P(X = 12) = 125,970 \times (0.4)^{12} \times (0.6)^8 \approx 0.035497$

四捨五入至小數點第三位為 $0.035$。

(二) 計算 5 位以上（包含 5 位）民眾認為經濟情況不樂觀的機率 $P(X \ge 5)$

直接計算 $P(X \ge 5) = \sum_{x=5}^{20} P(X = x)$ 需累加 16 項，極易計算錯誤。因此採用餘事件法則： $P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) = 1 - \sum_{x=0}^{4} P(X = x)$

分別計算 $x = 0$ 至 $4$ 的個別機率：

• $P(X = 0) = \binom{20}{0} (0.4)^0 (0.6)^{20} = (0.6)^{20} \approx 0.000037$
• $P(X = 1) = \binom{20}{1} (0.4)^1 (0.6)^{19} = 20 \times 0.4 \times (0.6)^{19} \approx 0.000487$
• $P(X = 2) = \binom{20}{2} (0.4)^2 (0.6)^{18} = 190 \times (0.16) \times (0.6)^{18} \approx 0.003087$

核心觀念

本題考察兩母體平均數差的推論（Two-sample inference for means），前提條件：

• 兩母體皆呈常態分配
• 兩母體標準差相等（$\sigma_1 = \sigma_2$，但未知）

→ 使用合併變異數 $t$ 檢定（Pooled two-sample $t$-test）

關鍵公式：

合併樣本標準差（Pooled standard deviation）： $S_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}$

檢定統計量： $t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)_0}{S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}$

自由度：$df = n_1 + n_2 - 2$

基本數據整理

自由度：$df = 7 + 9 - 2 = 14$

合併標準差計算

$S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2} = \frac{(7-1)(6.88)^2 + (9-1)(9.49)^2}{14}$

逐項計算：

• $(6.88)^2 = 47.3344$，$(7-1)\times 47.3344 = 6 \times 47.3344 = 284.006$
• $(9.49)^2 = 90.0601$，$(9-1)\times 90.0601 = 8 \times 90.0601 = 720.481$

$S_p^2 = \frac{284.006 + 720.481}{14} = \frac{1004.487}{14} \approx 71.749$

$S_p = \sqrt{71.749} \approx 8.47$

第（一）小題：單尾假設檢定（顯著水準 $\alpha=0.01$）

解題方法

題目問「女性平均滿意程度是否高於男性」，屬於右尾單尾檢定。

建立假設： $H_0: \mu_1 - \mu_2 \leq 0 \quad \text{（女性不高於男性）}$ $H_1: \mu_1 - \mu_2 > 0 \quad \text{（女性高於男性）}$

計算檢定統計量：

$t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - 0}{S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}} = \frac{(79-78)}{8.47\times\sqrt{\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}}}$