109 身心障礙特考四等 經建行政 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考聯合機率表中的邊際機率與條件機率。

• 邊際機率：將符合某事件的聯合機率加總。例如「看過廣告」的機率，是把「看過廣告且購買」與「看過廣告且沒有購買」相加。
• 條件機率：已知某事件發生時，另一事件發生的機率： $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

表中的四個數字是「購買狀況」與「是否看過廣告」的聯合機率。

解題方法

先辨認列、欄所代表的事件，再依題意加總或套用條件機率公式。

（一）看過廣告的機率

看過廣告包含「購買且看過廣告」及「沒有購買且看過廣告」：

（二）沒有購買的機率

沒有購買包含「沒有購買且看過廣告」及「沒有購買且沒看過廣告」：

（三）已知看過廣告，有購買的機率

使用條件機率公式，分母是「看過廣告」的總機率，分子是「看過廣告且購買」的聯合機率：

核心觀念

本題考查母體比例 $p$ 的信賴區間，以及指定信賴水準與邊際誤差下的樣本數估計。樣本比例為 $\hat p=x/n$；在大樣本常態近似下，母體比例的 $95\%$ 信賴區間為

其中 $z_{0.025}=1.96$。邊際誤差 $E$ 則為

解題方法與計算

（一）母體比例的 $95\%$ 信賴區間

樣本數 $n=300$，其中 $x=143$ 人以電視新聞為主要來源，因此

樣本比例的標準誤為

邊際誤差為

故信賴區間為

換算為百分比，約為 $42.02\%$ 至 $53.32\%$。

（二）邊際誤差為 $0.05$ 時所需樣本數

使用樣本比例估計規劃樣本數，令 $E=0.05$，並沿用本題的 $\hat p=143/300$：

代入數值：

核心觀念

本題檢定「年齡層」與「最喜歡的電視頻道」兩個類別變數是否獨立，使用列聯表卡方獨立性檢定。

• 虛無假設 $H_0$：年齡層與最喜歡的電視頻道相互獨立，兩者無關。
• 對立假設 $H_1$：年齡層與最喜歡的電視頻道不獨立，兩者有關。
• 期望次數公式：

$E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{n}$

• 檢定統計量：

$\chi^2=\sum_i\sum_j\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$

解題方法

先計算列合計、欄合計及總樣本數：

在 $H_0$ 成立時，各格期望次數如下：

例如，頻道 A 且 25 歲以下的期望次數為：

核心觀念

本題考查集中趨勢與離散程度：

• 平均數：各觀測值總和除以觀測值個數，$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$。
• 中位數：資料由小到大排列後，位於中央的數值。本題每組有 10 筆資料，中位數是第 5 與第 6 筆的平均。
• 樣本標準差：衡量資料相對於平均數的分散程度，$s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$。題目說隨機蒐集各 10 台，以下以樣本標準差計算。

解題方法與計算

（一）平均數及中位數

品牌 A

平均數：

由小到大排列為 $15,18,18,19,22,22,23,24,27,28$，因此：

品牌 B

平均數：

由小到大排列為 $19,20,21,21,22,22,23,23,24,25$，因此：

（二）標準差

可用計算捷徑：

品牌 A