108 年初等考試五等統計考古題與詳解

Question 1

人類的懷孕天數近似於具有平均數 266 天與標準差 16 天的常態分配。下列何者符合所有懷孕天數最短的 2.5%之描述？ (A) 懷孕天數少於 250 天 (B) 懷孕天數少於 242 天 (C) 懷孕天數少於 238 天 (D) 懷孕天數少於 234 天

Accepted Answer

核心觀念

本題考常態分配的百分位數。若懷孕天數 $X$ 近似服從平均數 $\mu=266$ 天、標準差 $\sigma=16$ 天的常態分配，最短的 $2.5\%$ 指的是分配左尾累積機率為 $0.025$ 的範圍，其上界為第 $2.5$ 百分位數。

將 $X$ 標準化為標準常態變數 $Z$ ：

Z=\frac{X-\mu}{\sigma}

標準常態分配的左尾機率 $0.025$ 對應的標準分數約為 $z=-1.96$ 。

解題方法

以百分位數公式求出左尾 $2.5\%$ 的臨界天數：

x=\mu+z\sigma =266+(-1.96)(16) =266-31.36 =234.64

因此，懷孕天數最短的 $2.5\%$ 約為少於 $234.64$ 天。選項中與此臨界值相符的是「少於 $234$ 天」，故選 (D)。

選項分析

(A) 懷孕天數少於 250 天：錯誤。 $250$ 天的標準分數為

z=\frac{250-266}{16}=-1

Answer

答案：D

Question 2

某所高中的 12 年級生的數學成績近似於具有平均數 300 分與標準差 35 分的常態分配。藉由簡單隨機抽樣，選取 4 位 12 年級生，他們的平均成績高於 335 分的機率大約：

Accepted Answer

核心觀念 母體成績近似常態分配，個別學生的成績可視為 $X\sim N(300,35^2)$。抽取 $4$ 位學生後，樣本平均數 $\bar X$ 仍為常態分配，其平均數與標準差（標準誤）為 $$ E(\bar X)=\mu=300,\qquad \sigma{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{35}{\sqrt4}=17.5. $$ 題目要計算的是樣本平均數高於 $335$ 分的右尾機率。 解題方法 將樣本平均數標準化為標準常態變數 $Z$： $$ P(\bar X335) =P\left(\frac{\bar X-300}{17.5} \frac{335-300}{17.5}\right) =P(Z2). $$ 標準常態分配中，$P(Z2)\approx 0.0228$，約為 $0.025$，因此選項中以 (B) 0.025 最接近。 選項分析

Answer

答案：B

Question 3

唱片公司調查大學生對鄉村音樂及福音音樂的喜好程度。調查結果發現 40%的大學生喜愛鄉村音樂，30%的大學生喜愛福音音樂，以及 10%的大學生喜愛兩種音樂。在不喜愛鄉村音樂的大學生中，喜愛福音音樂的機率為：

Accepted Answer

核心觀念 本題考條件機率。在「不喜愛鄉村音樂」的大學生中，計算喜愛福音音樂的比例，使用公式： $$ P(G\mid C^c)=\frac{P(G\cap C^c)}{P(C^c)} $$ 其中 $C$ 表示喜愛鄉村音樂，$G$ 表示喜愛福音音樂，$C^c$ 表示不喜愛鄉村音樂。 解題方法 已知 $P(C)=0.40$、$P(G)=0.30$，且 $P(C\cap G)=0.10$。 先求喜愛福音音樂、但不喜愛鄉村音樂的比例： $$ P(G\cap C^c)=P(G)-P(G\cap C)=0.30-0.10=0.20 $$ 再求不喜愛鄉村音樂的比例： $$ P(C^c)=1-P(C)=1-0.40=0.60 $$ 代入條件機率公式： $$ P(G\mid C^c)=\frac{0.20}{0.60}=\frac{1}{3}\approx 0.333 $$

Answer

答案：C

Question 4

某家公司政策規定每一年度 40%的新進經理來自公司內部人員（$A1$），而 60%的新進經理來自公司外部招募（$A2$）；亦即 $P(A1)=0.4$、$P(A2)=0.6$。某一年度人事部門調查新進經理的績效表現，發現經由內部晉升的經理有 90%被評為合格，但經由外部招募的經理僅有 75%被評為合格。請利用貝氏定理回答：隨機選取一位績效表現合格的新進經理，此經理來自內部晉升的機率為何？ (A) 0.444 (B) 0.256 (C) 0.35 (D) 0.525

Accepted Answer

核心觀念 本題考貝氏定理：已知新進經理績效合格，求其來自公司內部晉升的條件機率。這與「內部晉升者合格的機率」不同，必須把合格這項新資訊納入計算。 令 $B$ 表示「績效合格」，則題目給定： $$ P(A1)=0.4,\quad P(A2)=0.6,\quad P(B\mid A1)=0.9,\quad P(B\mid A2)=0.75 $$ 解題方法 先用全機率公式計算新進經理績效合格的機率： $$ P(B)=P(B\mid A1)P(A1)+P(B\mid A2)P(A2) $$ $$ P(B)=0.9(0.4)+0.75(0.6)=0.36+0.45=0.81 $$ 再套用貝氏定理： $$ P(A1\mid B) =\frac{P(B\mid A1)P(A1)}{P(B)} =\frac{0.9(0.4)}{0.81} =\frac{0.36}{0.81} \approx 0.444 $$ 因此，隨機選取一位績效合格的新進經理，其來自內部晉升的機率約為 0.444。 選項分析

Answer

答案：A

Question 5

針對中小企業的調查得知，經理人的交通津貼之平均值是每哩 0.25 美元，標準差是 0.02 美元。利用柴比雪夫定理，求至少有多少比例的數據會落在 0.2 至 0.3 美元之間？

Accepted Answer

核心觀念 柴比雪夫定理適用於任何具有有限平均數與變異數的資料分布。若資料落在平均數兩側 $k$ 個標準差內，比例至少為 $$ 1-\frac{1}{k^2}, \qquad k1. $$ 本題的平均交通津貼為每哩 $0.25$ 美元，標準差為每哩 $0.02$ 美元。 解題方法 區間 $0.2$ 至 $0.3$ 美元以平均數 $0.25$ 為中心，兩端距離平均數皆為 $$ 0.25-0.20=0.30-0.25=0.05. $$ 換算成標準差倍數： $$ k=\frac{0.05}{0.02}=2.5. $$ 套用柴比雪夫定理，區間內資料比例至少為 $$ 1-\frac{1}{(2.5)^2} =1-\frac{1}{6.25} =0.84=84\%. $$ 因此，至少有 $84\%$ 的資料會落在每哩 $0.2$ 至 $0.3$ 美元之間。 選項分析

Answer

答案：D

Question 6

研究生管理入學考試（GMAT）詢問考生在大學的主修科目以及要以全職或兼職身分攻讀 MBA，考生的回覆整理如下表。令 $A$ 代表考生計劃以全職身分攻讀 MBA 的事件，令 $B$ 代表考生主修商業的事件。下列何者錯誤？

入學身分	商業	工程	其他	合計
全職	352	197	251	800
兼職	150	161	194	505
合計	502	358	445	1305

Accepted Answer

核心觀念 本題考查列聯表中的邊際機率、聯集機率，以及事件獨立的判斷。令 $A$ 為全職考生，$B$ 為主修商業的考生，總人數為 $1305$。由表中人數計算機率： $$ P(A)=\frac{n(A)}{1305},\qquad P(B)=\frac{n(B)}{1305} $$ 聯集機率使用加法公式： $$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) $$ 事件 $A$ 與 $B$ 獨立的條件為 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。 解題方法 由表中列、欄合計可得： $$ P(A)=\frac{800}{1305}\approx 0.613 $$ $$ P(B)=\frac{502}{1305}\approx 0.385 $$ 兩事件同時發生的人數是「全職且主修商業」的 $352$ 人，因此： $$ P(A\cap B)=\frac{352}{1305} $$ 計算聯集： $$ \begin{aligned} P(A\cup B) &=\frac{800}{1305}+\frac{502}{1305}-\frac{352}{1305}\ &=\frac{950}{1305}\ &\approx 0.728 \end{aligned} $$

Answer

答案：B

Question 7

假設 $X$ 代表一戶美國家庭所擁有的寵物數目，以下是 $X$ 的機率分配： | $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---:|---:|---:|---:| | 機率 | 0.56 | 0.23 | 0.12 | 0.09 | 假如你隨機抽取兩戶家庭，求這兩戶家庭各自擁有一隻寵物的機率： (A) 0.0529 (B) 0.23 (C) 0.4071 (D) 0.46

Accepted Answer

核心觀念 本題考離散型隨機變數的機率分配，以及兩次獨立抽樣中「兩戶都符合指定條件」的機率。隨機抽取的兩戶家庭視為獨立，因此兩戶都各有一隻寵物的機率，等於單戶有一隻寵物的機率乘以自身。 解題方法 由表可知，一戶家庭有一隻寵物的機率為 $P(X=1)=0.23$。設兩戶家庭的寵物數目分別為 $X1$、$X2$，則： $$ P(X1=1,\ X2=1) =P(X1=1)P(X2=1) =0.23	imes0.23 =0.0529 $$ 因此選項 (A) 正確。 選項分析

Answer

答案：A

Question 8

某家藥廠想調查醫師們多久會開出某種藥物的處方。由 M.D.（Medical Doctors，醫生）與 D.O.（Osteopaths，整骨醫生）這兩群體分別抽出一個簡單隨機樣本，如此抽樣稱為：

Accepted Answer

核心觀念 本題考查分層隨機抽樣。若母體可依某項特徵分成數個互不重疊的子群體，先從各子群體分別抽取樣本，再合併觀察結果，即為分層隨機抽樣。各子群體稱為「層」。 解題方法 題目先將醫師分為 M.D. 與 D.O. 兩個群體，再從每一群體各自抽出一個簡單隨機樣本。這正是「先分層，再於各層內隨機抽樣」的程序，因此屬於分層隨機抽樣。 選項分析 - (A) 簡單隨機抽樣：錯誤。 簡單隨機抽樣是直接從整個母體抽樣，並未先分成 M.D. 與 D.O. 兩層再分別抽樣。 - (B) 分層隨機抽樣：正確。

Answer

答案：B

Question 9

甲想建立一個包括 A 與 B 兩種股票之投資組合。令 $X$ = 投資 A 股票的報酬率， $Y$ = 投資 B 股票的報酬率。假設投資 A 股票的報酬率之期望值與變異數分別是 $E(X)=8.45\%$ 及 $\operatorname{Var}(X)=25$ ；投資 B 股票的報酬率之期望值與變異數分別是 $E(Y)=3.2\%$ 及 $\operatorname{Var}(Y)=1$ 。兩種報酬率之間的共變異數是 $-3$ 。

甲考慮兩種投資組合策略，第一種投資組合策略是以各 50%資金投資兩種股票，第二種投資組合策略是以 70%資金投資 A 股票、30%資金投資 B 股票。以標準差作為投資風險的衡量，下列何者錯誤？

Accepted Answer

核心觀念 投資組合的期望報酬率是各資產報酬率的加權平均；投資組合的變異數則須同時計入各資產的變異數與兩者的共變異數。設投資 A、B 的權重分別為 $wA$、$wB$，且 $wA+wB=1$，則 $$ E(Rp)=wAE(X)+wBE(Y) $$ $$ \operatorname{Var}(Rp) =wA^2\operatorname{Var}(X)+wB^2\operatorname{Var}(Y) +2wAwB\operatorname{Cov}(X,Y) $$ 投資風險以標準差衡量時，$\sigmap=\sqrt{\operatorname{Var}(Rp)}$。標準差愈小，代表此衡量下的風險愈低。 解題方法 第一種策略的權重為 $wA=wB=0.5$，期望報酬率為 $$ E(R1)=0.5(8.45\%)+0.5(3.2\%)=5.825\% $$ 其變異數與標準差為 $$ \begin{aligned} \operatorname{Var}(R1) &=(0.5)^2(25)+(0.5)^2(1)+2(0.5)(0.5)(-3)\ &=6.25+0.25-1.5=5 \end{aligned} $$ $$ \sigma1=\sqrt{5}\approx 2.236 $$ 第二種策略的權重為 $wA=0.7$、$wB=0.3$，期望報酬率為

Answer

答案：C

Question 10

美國大學委員會提供學業成就測驗（SAT），3 個測驗單元的考試平均分數如下：批判性閱讀，502 分；數理，515 分；寫作，494 分。假設每個測驗單元的標準差皆是 100 分，下列何者錯誤？ 已知 $P(Z<0.95)=0.8289$；$P(Z<1)=0.8413$。 (A) 隨機抽取 90 位考生作為樣本，批判性閱讀單元的樣本平均分數會落在母體平均數 502 分 $\pm 10$ 分的機率為 0.6578。 (B) 隨機抽取 90 位考生作為樣本，數理單元的樣本平均分數會落在母體平均數 515 分 $\pm 10$ 分的機率為 0.6578。 (C) 隨機抽取 100 位考生作為樣本，數理單元的樣本平均分數會落在母體平均數 515 分 $\pm 10$ 分的機率為 0.6826。 (D) 隨機抽取 100 位考生作為樣本，寫作單元的樣本平均分數會落在母體平均數 494 分 $\pm 10$ 分的機率小於 0.6578。

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是樣本平均數的抽樣分配。母體標準差為 $\sigma$、樣本數為 $n$ 時，樣本平均數 $\bar X$ 的標準誤為 $$ \sigma{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}. $$ 樣本數夠大時，依中央極限定理，$\bar X$ 可近似服從平均數為 $\mu$、標準差為 $\sigma/\sqrt n$ 的常態分配。本題 $\sigma=100$，要計算樣本平均數落在母體平均數 $\mu$ 的上下 10 分內的機率。 解題方法 標準化後， $$ P(\mu-10<\bar X<\mu+10) =P\left(-\frac{10}{100/\sqrt n}<Z<\frac{10}{100/\sqrt n}\right). $$ 由標準常態分配的對稱性，若 $a=10\sqrt n/100$，則 $$ P(-a<Z<a)=2P(Z<a)-1. $$ 因此，只要比較各選項樣本數所對應的 $a$ 值，即可判斷機率。 選項分析 - (A) 正確。 $n=90$ 時， $$ a=\frac{10\sqrt{90}}{100}\approx 0.95. $$

Answer

答案：D

Question 11

紐約市的旅館每晚平均住宿價格為 $\$273$。假定此估計值來自 45 家旅館所構成的樣本，同時知道樣本標準差為 $\$65$。已知前年紐約市的旅館每晚平均住宿價格為 $\$229$，請以 45 家旅館所構成的樣本來建構每晚平均住宿價格的 95%信賴區間，並用來判定這兩年的住宿價格的改變情況。下列何者正確？ $t{0.025}(44)=2.015$，$z{0.025}=1.96$。 (A) 每晚平均住宿價格的 95%信賴區間為（228, 280） (B) 每晚平均住宿價格的 95%信賴區間為（253, 293） (C) 每晚平均住宿價格的 95%信賴區間為（215, 305）；這兩年的住宿價格起伏很大 (D) 每晚平均住宿價格的 95%信賴區間為（195, 226）；這兩年的住宿價格減少

Accepted Answer

核心觀念

本題考查母體平均數的信賴區間。母體標準差未知，使用樣本標準差 $s$ 估計，且樣本數 $n=45$ ，因此採用 $t$ 信賴區間：

\bar{x}\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}

其中 $\bar{x}=273$ 、 $s=65$ 、 $n=45$ ，自由度為 $44$ 。題目提供 $t_{0.025}(44)=2.015$ ，故使用 $t$ 值。

解題方法

95% 信賴區間的臨界值為 $t_{0.025}(44)=2.015$ 。先計算標準誤：

\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{65}{\sqrt{45}}\approx 9.69

再計算誤差範圍：

2.015\times 9.69\approx 19.52

因此信賴區間為：

273\pm 19.52=(253.48,\ 292.52)

四捨五入後約為 $(253,\ 293)$ ，與選項 (B) 相符。

Answer

答案：B

Question 12

令 $X1,X2,\ldots,Xn$ 為一組隨機樣本，取自具有機率質量函數（probability mass function） $$ f(x;p)=(1-p)^{x-1}p,\qquad x=1,2,3,\ldots $$ 之幾何分配。下列何者為 $p$ 的最大概似估計量？ (A) $\dfrac{1}{n\bar X}$ (B) $1-\dfrac{1}{\bar X}$ (C) $\dfrac{n}{\sum{i=1}^{n}Xi}$ (D) $\dfrac{n}{\sum{i=1}^{n}(Xi-\bar X)^2}$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查最大概似估計法。對隨機樣本建立概似函數後，選擇使概似函數最大的參數值，作為參數的最大概似估計量。

題目採用的幾何分配機率質量函數為

f(x;p)=(1-p)^{x-1}p,\qquad x=1,2,3,\ldots

其中 $p$ 是每次試驗成功的機率，且 $0<p<1$ 。

解題方法

令觀察到的樣本為 $x_1,\ldots,x_n$ 。由於樣本獨立，其概似函數為

L(p)=\prod_{i=1}^{n}(1-p)^{x_i-1}p =p^n(1-p)^{\sum_{i=1}^{n}x_i-n}.

取對數概似函數：

\ell(p)=\log L(p) =n\log p+\left(\sum_{i=1}^{n}x_i-n\right)\log(1-p).

對 $p$ 微分並令其等於零：

\frac{d\ell(p)}{dp} =\frac{n}{p}-\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i-n}{1-p}=0.

整理得

n(1-p)=p\left(\sum_{i=1}^{n}x_i-n\right), \qquad n=p\sum_{i=1}^{n}x_i.

因此最大概似估計量為

\hat p=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}X_i} =\frac{1}{\bar X}.

Answer

答案：C

Question 13

某個機場在 2005 年抽樣調查班機準時抵達的情況，發現在由 550 個飛機班次構成的樣本中，有 455 個飛機班次準時抵達。下列何者為 2005 年該機場飛機準時抵達的比例的 95%信賴區間？

$z_{0.05}=1.645$ ； $z_{0.025}=1.96$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查母體比例 $p$ 的近似 $95\%$ 信賴區間。樣本比例為 $\hat p=x/n$；在樣本數足夠大時，使用常態近似： $$ \hat p \pm z{0.025}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} $$ $95\%$ 信賴區間的雙尾顯著水準為 $\alpha=0.05$，因此臨界值使用題目提供的 $z{0.025}=1.96$。 解題方法 樣本中準時抵達的班次為 $x=455$，總班次為 $n=550$，故樣本比例為： $$ \hat p=\frac{455}{550}\approx 0.8273 $$ 標準誤為： $$ \sqrt{\frac{0.8273(1-0.8273)}{550}} \approx 0.0169 $$ 誤差範圍為： $$ 1.96(0.0169)\approx 0.0331 $$ 因此，母體準時抵達比例的 $95\%$ 信賴區間為： $$ 0.8273\pm 0.0331 =[0.7942,\ 0.8604] $$

Answer

答案：B

Question 14

T 旅館的經理宣稱，顧客在週末的平均消費額（$\mu$）在 $\$600$（含）以下。然而旅館的會計人員發現，近幾個月來的顧客總消費額有增加的趨勢。該會計人員利用所抽出的週末旅客樣本來檢定經理的宣稱，下列何者為正確的假設來檢定經理的宣稱？ (A) $H0:\mu\geq 600$ vs. $Ha:\mu<600$ (B) $H0:\mu=600$ vs. $Ha:\mu
eq 600$ (C) $H0:\mu\leq 600$ vs. $Ha:\mu=700$ (D) $H0:\mu\leq 600$ vs. $Ha:\mu600$

Accepted Answer

核心觀念 本題考驗單一母體平均數假設檢定的設定。虛無假設 $H0$ 通常包含題目原先的主張；對立假設 $Ha$ 則表示樣本所要檢驗的方向。經理宣稱週末顧客的平均消費額 $\mu$ 在 $600$ 元（含）以下，因此主張為 $\mu\leq 600$；會計人員觀察到消費額有增加趨勢，檢定方向是平均消費額是否高於 $600$ 元。 因此設定為： $$ H0:\mu\leq 600 \qquad	ext{vs.}\qquad Ha:\mu600 $$ 這是右尾單尾檢定。當樣本提供足夠證據拒絕 $H0$ 時，才支持平均消費額高於 $600$ 元的說法。 解題方法 先把經理的宣稱轉成數學式：「$600$ 元（含）以下」即 $\mu\leq 600$，應放在虛無假設中。再依會計人員想查證的增加方向，將「高於 $600$ 元」寫成對立假設 $\mu600$。兩者合起來即選項 (D)。

Answer

答案：D

Question 15

某種特殊工業用電池平均壽命至少必須有 400 小時，在 0.02 的顯著水準下進行假設檢定。假定某一批次生產的電池平均壽命是 385 小時，生產經理希望錯誤地驗收該批電池的機率是 10%。建議該採用多大樣本？假定母體標準差的估計值是 30 小時。

$z_{0.02}=2.05$ ； $z_{0.1}=1.28$ ； $z_{0.05}=1.645$ 。

Accepted Answer

核心觀念

本題考驗單尾假設檢定的檢定力與樣本數設計。錯誤地驗收不合格批次，屬於第二類錯誤：母體平均壽命實際只有 $385$ 小時，卻未拒絕「平均壽命至少為 $400$ 小時」的虛無假設。

令 $H_0:\mu\ge 400$ 、 $H_1:\mu<400$ 。顯著水準 $\alpha=0.02$ ，而在 $\mu=385$ 時，錯誤驗收機率（第二類錯誤機率）要求為 $\beta=0.10$ 。已知母體標準差估計值 $\sigma=30$ 。

解題方法

以樣本平均數 $\bar X$ 作為檢定統計量。左尾檢定在顯著水準 $0.02$ 下，拒絕域的臨界值為

\bar X < 400-z_{0.02}\frac{30}{\sqrt n}.

要使實際平均數為 $385$ 時，錯誤驗收機率不超過 $0.10$ ，需滿足

P_{\mu=385}\left(\bar X\ge 400-z_{0.02}\frac{30}{\sqrt n}\right)=0.10.

在 $\mu=385$ 下，標準化後的上尾機率為 $0.10$ ，故相應標準常態值為 $z_{0.1}=1.28$ ：

\frac{400-z_{0.02}\frac{30}{\sqrt n}-385}{30/\sqrt n}=1.28.

整理得

Answer

答案：D

Question 16

某生產線將 16 盎司的東西裝填入一容器內，多填或少填都會造成嚴重的問題，導致停產。根據過去的資料，已知充填量的標準差為 0.8 盎司。品管檢驗員每 2 小時抽出 30 個樣本，以便決定是否停產來調整生產線。在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，若樣本平均數為 16.32 盎司，假設檢定的 $p$ 值為何？你會如何處置？下列何者正確？

$z_{0.02}=2.05$ ； $z_{0.0158}=2.15$ ； $z_{0.0143}=2.19$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查母體標準差已知時，對母體平均數進行雙尾 $Z$ 檢定，並以 $p$ 值判斷是否停產調整。題目指出多填或少填都會造成問題，因此要檢驗充填平均量是否偏離標準的 $16$ 盎司： $$ H0:\mu=16,\qquad H1:\mu
e16 $$ 已知母體標準差 $\sigma=0.8$、樣本數 $n=30$。樣本平均數的標準誤為 $\sigma/\sqrt{n}$，檢定統計量為： $$ Z=\frac{\bar X-\mu0}{\sigma/\sqrt n} $$ 解題方法 代入 $\bar X=16.32$、$\mu0=16$： $$ z=\frac{16.32-16}{0.8/\sqrt{30}} =\frac{0.32}{0.1461} \approx 2.19 $$ 因為是雙尾檢定，$p$ 值為： $$ p=2P(Z2.19) $$

Answer

答案：B

Question 17

冬季觀光客對某城市的經濟十分重要，旅館住房率是衡量觀光客數量與觀光客活動常用的指標。以下為去年與今年的旅館住房資料： - 去年：總房間數 1800，住房數 1458 - 今年：總房間數 1750，住房數 1470 在這一年期間中，住房率變動（今年住房率－去年住房率）的 95%信賴區間為何？你認為地區官員對此結果會感到高興？下列何者正確？ (A) $(0.005,0.055)$；官員對此結果會感到高興 (B) $(0.035,0.075)$；官員對此結果會感到高興 (C) $(-0.015,0.043)$；官員對此結果會有些擔心明年住房率是否能夠提升 (D) $(-0.025,0.035)$；官員對此結果會有些擔心明年住房率是否能夠提升

Accepted Answer

核心觀念 本題比較兩個年度的旅館住房率，並求「今年住房率減去年住房率」的 $95\%$ 信賴區間。住房率是住房數除以總房間數，可視為二項比例；兩個年度的樣本比例差，其標準誤以兩比例差的常用近似公式計算。 解題方法 去年與今年的住房率分別為 $$ \hat p1=\frac{1458}{1800}=0.81,\qquad \hat p2=\frac{1470}{1750}=0.84. $$ 因此估計的變動量為 $$ \hat p2-\hat p1=0.84-0.81=0.03. $$ 兩比例差的標準誤為 $$ SE=\sqrt{\frac{\hat p1(1-\hat p1)}{1800} +\frac{\hat p2(1-\hat p2)}{1750}} \approx 0.0130. $$ $95\%$ 信賴區間使用標準常態臨界值 $z{0.975}=1.96$：

Answer

答案：A

Question 18

交通部進行一項調查，想了解過去 3 年內汽車事故比例是否與駕駛者的年齡有關。依據以下表格，在顯著水準 0.05 下，以適合度檢定來確認汽車事故的比例是否與駕駛者的年齡有關。下列何者正確？ $\chi^2{0.05}(5)=11.0705$；$\chi^2{0.025}(5)=12.8325$；$\chi^2{0.05}(3)=7.8147$；$\chi^2{0.05}(4)=9.4877$。 | 年齡層 | 18–24 | 25–34 | 35–44 | 45–54 | 55–64 | 65 或以上 | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | 事故百分比 | 11 | 17 | 19 | 20 | 14 | 19 | (A) 卡方檢定統計量 $=2.14$，沒有足夠證據支持不同年齡層的駕駛者有不同汽車事故比例 (B) 卡方檢定統計量 $=13.27$，有足夠證據支持不同年齡層的駕駛者有不同汽車事故比例 (C) 卡方檢定統計量 $=3.68$，沒有足夠證據支持不同年齡層的駕駛者有不同汽車事故比例 (D) 卡方檢定統計量 $=10.68$，有足夠證據支持不同年齡層的駕駛者有不同汽車事故比例

Accepted Answer

核心觀念 本題使用卡方適合度檢定，檢驗六個年齡層的事故比例是否符合「各年齡層比例相同」的假設。 虛無假設與對立假設為： - $H0$：六個年齡層的汽車事故比例相同。 - $H1$：至少有一個年齡層的汽車事故比例不同。 適合度檢定統計量為： $$ \chi^2=\sum{i=1}^{k}\frac{(Oi-Ei)^2}{Ei} $$ 其中 $Oi$ 為觀察值，$Ei$ 為虛無假設下的期望值。題目給的是事故百分比，總和為 $100$，因此在「各年齡層比例相同」的假設下，每一層的期望百分比為 $100/6$。 解題方法 觀察百分比分別為 $11、17、19、20、14、19$，各組期望值為： $$ Ei=\frac{100}{6}\approx16.667 $$ 代入卡方統計量：

Answer

答案：C

Question 19

下列何者不是執行一維變異數分析（one-way ANOVA）所需的假設？ (A) 每個母體的反應變數均呈常態分配 (B) 所有母體的反應變數的變異數皆相等 (C) 由每個母體抽取之樣本必須互為獨立 (D) 由每個母體抽取之樣本大小皆相等

Accepted Answer

核心觀念 一維變異數分析（one-way ANOVA）用來比較兩個以上母體的平均數。其典型假設為： - 各母體的反應變數均呈常態分配。 - 各母體的反應變數具有相同變異數。 - 各組觀測值彼此獨立。 各組樣本數不必相等；樣本數相等是方便設計或計算的條件，並非 ANOVA 必要假設。 解題方法 逐一比對選項與 ANOVA 的基本假設。若某條件不是模型成立所必需，就選該選項。題目詢問「不是」必要假設，因此要找出不屬於常態性、變異數同質性及觀測值獨立性三項基本假設的條件。 選項分析

Answer

答案：D

Question 20

就以下二因子的因子實驗（factorial experiment）的變異數分析表，選擇何者錯誤？（顯著水準 $\alpha=0.05$） | 變異來源 | 平方和 | 自由度 | MS | $F$ | $F$關鍵值 | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | 因子 A | 184.333 | 2 | 92.167 | | 3.555 | | 因子 B | 28.167 | | 10.278 | | 4.414 | | 交互項 AB | 8.333 | | | | 3.555 | | 誤差 | 185.000 | | | | | | 全部 | 405.833 | 23 | | | | MS: mean square；$F$：檢定統計量。 (A) 交互項 AB 的效應不存在 (B) 因為交互項 AB 的效應不存在，所以適合檢定個別因子效應（主效應） (C) A 因子效應存在 (D) B 因子效應存在

Accepted Answer

核心觀念 二因子變異數分析（two-way ANOVA）分別檢定因子 A、因子 B 及交互作用 AB 的效果。檢定統計量為 $$ F=\frac{	ext{該來源的均方（MS）}}{	ext{誤差均方（MSE）}}. $$ 在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，若計算出的 $F$ 大於表列的 $F$ 關鍵值，則拒絕「該效果不存在」的虛無假設；否則不拒絕。 解題方法 先由因子 B 的平方和與均方求其自由度： $$ dfB=\frac{SSB}{MSB} =\frac{28.167}{10.278}\approx 2.74. $$ 但自由度必須是整數；依表中數值推算，應為 $3$（$28.167/3\approx9.389$，而非表列的 $10.278$）。更進一步，因子 A 自由度為 $2$，全部自由度為 $23$，因此誤差自由度應滿足 $$ dfE=23-dfA-dfB-df{AB}. $$ 表內資料可由二因子實驗常見的自由度配置推得 $dfB=2$、$df{AB}=4$、$dfE=15$，但此時 $MSB=28.167/2=14.084$，同樣與表列數值不符。

Answer

答案：D

Question 21

這幾年來，食品輻照（food irradiation）常常被用來減少細菌數並且延長食物保存期限。提供此服務的某公司開發 4 種新的輻照方法。為了決定哪一種方法減少細菌的效果較好，針對 5 種食物進行 4 種不同方式的輻照（稱為輻照 I–IV），同時記錄輻照後食物上的細菌數目。接受輻照的食物包括牛肉、雞肉、火雞肉、蛋與牛奶。資料如下： | 食物 | 輻照 I | 輻照 II | 輻照 III | 輻照 IV | |---|---:|---:|---:|---:| | 牛肉 | 47 | 53 | 36 | 68 | | 雞肉 | 53 | 61 | 48 | 75 | | 火雞肉 | 68 | 85 | 55 | 45 | | 蛋 | 25 | 24 | 20 | 27 | | 牛奶 | 44 | 48 | 38 | 46 | 下列實驗設計何者適合以上內容？ (A) 單因子設計（one factor design） (B) 雙因子設計（two-factor design） (C) 隨機區集設計（randomized block design） (D) 完全隨機設計（complete randomized design）

Accepted Answer

核心觀念

本題考實驗設計中如何控制干擾差異。研究目的是比較四種輻照方法對細菌數的影響；五種食物本身的特性也會影響輻照後的細菌數，因此應將食物種類視為區集因素，控制其影響。

隨機區集設計（randomized block design）會先依可能造成差異的因素分組，再讓每個區集接受所有處理。本題以五種食物作為區集，每種食物都接受輻照 I、II、III、IV 四種方法，藉此在相同食物種類內比較不同輻照方法。

解題方法

觀察表格的列與欄：

列是五種食物，代表五個區集。
欄是四種輻照方法，代表四種處理。
每種食物都接受四種方法，形成完整區集設計的配置。

因此，可控制食物種類造成的背景差異，並比較輻照方法的效果。若以模型表示，可寫為：

Y_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij},

其中 $\tau_i$ 表示第 $i$ 種輻照方法的效果， $\beta_j$ 表示第 $j$ 種食物區集的效果， $\varepsilon_{ij}$ 為隨機誤差。

選項分析

Answer

答案：C

Question 22

針對以下資料： $$ \begin{array}{c|ccccc} x & 3 & 2 & 5 & 4 & 5\ y & 8 & 6 & 12 & 10 & 14 \end{array} $$ 考慮 3 種迴歸模式： - 模式 I：$\hat y=1.2+2.5x$ - 模式 II：$\hat y=3x$ - 模式 III：$\hat y=5+x$ 利用誤差平方和決定哪個模式配適效果最好？ (A) 模式 I (B) 模式 II (C) 模式 III (D) 模式 I 與 II

Accepted Answer

核心觀念 以誤差平方和（SSE）比較迴歸模式的配適效果。對每筆資料，殘差為實際值減去預測值： $$ ei=yi-\hat yi $$ 各筆殘差平方後加總： $$ \mathrm{SSE}=\sum{i=1}^{n}(yi-\hat yi)^2 $$ 在相同資料下，SSE 越小，表示模型預測值與觀察值整體越接近，配適效果越好。 解題方法 依序將每筆 $x$ 代入各模式，計算預測值，再求殘差平方和。資料點依序為 $(3,8),(2,6),(5,12),(4,10),(5,14)$。 模式 I：$\hat y=1.2+2.5x$ 預測值依序為 $8.7,6.2,13.7,11.2,13.7$，因此 $$ \mathrm{SSE}{I} =(8-8.7)^2+(6-6.2)^2+(12-13.7)^2 +(10-11.2)^2+(14-13.7)^2 =0.49+0.04+2.89+1.44+0.09 =4.95 $$ 模式 II：$\hat y=3x$ 預測值依序為 $9,6,15,12,15$，因此

Answer

答案：A

Question 23

以銷售（$Y$，以 $\$1,000$ 為單位）及廣告費用（$X$，以 $\$100$ 為單位）進行迴歸分析，而有以下訊息： $$ \hat y=12+1.8X,\qquad n=17,\qquad SSR=225,\qquad SSE=75,\qquad S{b1}=0.2683。 $$ 下列何者錯誤？ $F{0.05}(1,16)=4.49$；$F{0.05}(1,15)=4.54$；$F{0.05}(2,15)=3.68$；$t{0.025}(15)=2.131$；$t{0.025}(16)=2.12$；$t{0.05}(15)=1.753$。 (A) 假如廣告是 $\$3,000$，則銷售之點估計（以元計）是 $\$66,000$ (B) 參考以上資料計算出的 $F$ 統計值是 45 (C) 檢定其斜率顯著性的 $t$ 統計值是 6.7089 (D) 無法拒絕 $H0:\beta1=0$（$\alpha=0.05$）

Accepted Answer

核心觀念

本題考簡單線性迴歸的預測、迴歸整體顯著性檢定，以及斜率的 $t$ 檢定。

迴歸式為 $\hat y=b_0+b_1X$ 。題目中 $Y$ 以千元為單位、 $X$ 以百元為單位；因此代入預測值後，要注意換算回元。

簡單線性迴歸的整體 $F$ 統計量為

F=\frac{MSR}{MSE} =\frac{SSR/1}{SSE/(n-2)}.

斜率顯著性檢定 $H_0:\beta_1=0$ 的統計量為

t=\frac{b_1-0}{S_{b_1}},

自由度為 $n-2$ 。簡單線性迴歸中，兩種檢定亦滿足 $F=t^2$ 。

解題方法

(A) 先依單位代入迴歸式。 廣告費 $3{,}000$ 元，以百元為單位表示為 $X=30$ 。因此

\hat y=12+1.8(30)=66.

$Y$ 的單位是千元，所以預測銷售額為 $66$ 千元，即 $66{,}000$ 元。

(B) 計算整體迴歸的 $F$ 值。 簡單線性迴歸只有一個解釋變數，因此迴歸自由度為 $1$ ；殘差自由度為 $n-2=15$ ：

F=\frac{SSR/1}{SSE/15} =\frac{225}{75/15} =\frac{225}{5} =45.

Answer

答案：D

Question 24

某家食品公司專門生產漢堡給一些知名的速食店使用。公司經理想利用 1997 年至 2014 年公司的收入資料（單位：百萬）來建構線性趨勢的迴歸模式，用來預測未來兩年的收入，以做為決定是否再開一家分公司。他利用 18 年的資料，建構最小平方線： $$ Ft=5.0175+3.3014t。 $$ 因線性趨勢的迴歸模式的適用性取決於正自相關的存在與否，所以他想先檢定正自相關存在的假設，即 $H0:\rho=0$ and $HA:\rho0$。經由計算得到 Durbin–Watson 統計量 $d=0.6612$。查表給定 $dL=1.16$ and $dU=1.39$。下列何者為正確的結論？ (A) 正自相關不存在，適合用此最小平方線去預測未來兩年的收入 (B) 沒有明顯的證據說明正自相關的存在，所以誤差間不相關的假設成立 (C) 正自相關明顯的存在，不適合用此最小平方線去預測未來兩年的收入 (D) 檢定結果無法下結論

Accepted Answer

核心觀念 本題考驗迴歸模型誤差項是否有一階正自相關。Durbin–Watson（DW）統計量為 $$ d=\frac{\displaystyle\sum{t=2}^{n}(et-e{t-1})^2} {\displaystyle\sum{t=1}^{n}et^2}, $$ 其中 $et$ 為第 $t$ 期的殘差。其近似關係為 $d\approx 2(1-r1)$，$r1$ 是殘差的一階樣本自相關係數。因此，$d$ 越接近 $0$，越支持正自相關；越接近 $2$，越支持無一階自相關；越接近 $4$，則越支持負自相關。 本題檢定為單尾正自相關檢定： $$ H0:\rho=0,\qquad HA:\rho0. $$ 解題方法 DW 檢定的左尾判斷規則是： - 若 $d<dL$，拒絕 $H0$，認為有正自相關。 - 若 $ddU$，不拒絕 $H0$。 - 若 $dL\le d\le dU$，檢定結果落在不確定區，無法判定。 題目給定 $d=0.6612$、$dL=1.16$、$dU=1.39$。比較可得

Answer

答案：C

Question 25

【題組共用題幹】

中華職業籃球聯盟（CBA）為了分析某一年勝負雙方（贏的那一隊通稱「勝隊」、輸的那一隊通稱「輸家」）的戰績，特別請統計學家到場指導與實作。也為了瞭解助理們的統計實力，CBA 研發出一套關於基礎統計分析的連鎖考題。

假如全部戰績在平方（如 2 的平方是 $2\times2$ ）之後加起來等於 288464，至於加總全部勝隊戰績的平方得知是 167766，請問輸家戰績變異數的不偏估計（unbiased estimate）是多少？（答案請四捨五入到三位小數）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查平均數的定義，以及如何由總和與已知部分求出另一部分的平均數。平均數等於該組資料的總和除以資料筆數：

\text{平均數}=\frac{\text{總和}}{\text{筆數}}

解題方法

全年共有 $32$ 場賽事，全部戰績總和為 $4248$ ，勝隊戰績總和為 $2302$ 。因此，輸家戰績總和為：

4248-2302=1946

每場賽事各有一支輸家，所以輸家戰績共有 $32$ 筆。輸家的平均戰績為：

\frac{1946}{32}=60.8125

四捨五入至小數點後兩位，得到 $60.81$ 。

選項分析

Answer

答案：B

Question 26

【題組共用題幹】

中華職業籃球聯盟（CBA）為了分析某一年勝負雙方（贏的那一隊通稱「勝隊」、輸的那一隊通稱「輸家」）的戰績，特別請統計學家到場指導與實作。也為了瞭解助理們的統計實力，CBA 研發出一套關於基礎統計分析的連鎖考題。

假如全部戰績在平方（如 2 的平方是 $2\times2$ ）之後加起來等於 288464，至於加總全部勝隊戰績的平方得知是 167766，請問輸家戰績變異數的不偏估計（unbiased estimate）是多少？（答案請四捨五入到三位小數）

Accepted Answer

核心觀念 本題考「樣本變異數的不偏估計」。若共有 $n$ 筆觀測值 $x1,\ldots,xn$，其不偏樣本變異數為 $$ s^2=\frac{\sum{i=1}^{n}xi^2-\dfrac{(\sum{i=1}^{n}xi)^2}{n}}{n-1}. $$ 題目給的是勝隊與輸家兩組戰績的平方和；要先由全部戰績平方和扣除勝隊平方和，取得輸家平方和，再用輸家組的樣本數及總和計算變異數。 解題方法 每場比賽有一隊勝隊、一隊輸家。依題組資料共 $82$ 場比賽，因此輸家戰績有 $n=82$ 筆。全部戰績平方和為 $288464$，勝隊戰績平方和為 $167766$，所以輸家戰績平方和為 $$ \sum xi^2=288464-167766=120698. $$ 題組所給勝負戰績總和相同，且勝隊戰績總和為 $3856$，故輸家戰績總和亦為 $$ \sum xi=3856. $$ 代入不偏樣本變異數公式： $$ \begin{aligned} s^2 &=\frac{120698-\dfrac{3856^2}{82}}{82-1}\ &=\frac{120698-181345.9512}{81}. \end{aligned} $$ 此處將平方和與總和代入後，分子應為「平方和減去總和平方除以樣本數」。依題目數值，正確計算如下：

Answer

答案：C

Question 27

【題組共用題幹】

中華職業籃球聯盟（CBA）為了分析某一年勝負雙方（贏的那一隊通稱「勝隊」、輸的那一隊通稱「輸家」）的戰績，特別請統計學家到場指導與實作。也為了瞭解助理們的統計實力，CBA 研發出一套關於基礎統計分析的連鎖考題。

假如全部戰績在平方（如 2 的平方是 $2\times2$ ）之後加起來等於 288464，至於加總全部勝隊戰績的平方得知是 167766，請問輸家戰績變異數的不偏估計（unbiased estimate）是多少？（答案請四捨五入到三位小數）

Accepted Answer

核心觀念

本題考「經驗法則（常態法則）」：若資料近似常態分配，約有 $68\%$ 的觀測值落在平均數上下 $1$ 個標準差的範圍內。

題目給出的區間為 52 至 70 分，其中心為

\frac{52+70}{2}=61

半寬為 $70-61=9$ 分，因此這個區間可視為平均數上下 $1$ 個標準差的範圍。題組資料共有 32 筆輸家戰績。

解題方法

依經驗法則，區間內約有 $68\%$ 的資料，因此至少筆數按題目要求計算為

32\times 68\%=21.76

筆數須為整數，且題目指定無條件進位到個位數，所以

\lceil 21.76\rceil=22

約至少有 22 筆輸家戰績介於 52 至 70 分。

選項分析

Answer

答案：A

Question 28

一組數字 65、64、54、59、49、70、59、63、66、64、60 的中位數等於多少？ (A) 70 (B) 63 (C) 59.5 (D) 64.5

Accepted Answer

核心觀念 中位數是將一組資料由小到大排列後，位於中央位置的數值。本題共有 $11$ 個觀測值，屬於奇數筆資料，中位數的位置為第 $$ \frac{11+1}{2}=6 $$ 個數值。 解題方法 將資料由小到大排列： $$ 49,\ 54,\ 59,\ 59,\ 60,\ \boxed{63},\ 64,\ 64,\ 65,\ 66,\ 70 $$ 共有 $11$ 個數值，因此取第 $6$ 個數值，得到中位數為 $63$。 選項分析

Answer

答案：B

Question 29

現在有兩個常態隨機變數，第一個變數的平均數是 3，第二個變數的平均數是 8。第一個變數的 2 倍加上第二個變數的 3 倍的平均數是多少？

Accepted Answer

核心觀念 期望值具有線性：若隨機變數 $X$、$Y$ 的期望值存在，且 $a,b$ 為常數，則 $$ E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y). $$ 此性質不要求 $X$ 與 $Y$ 相互獨立；題目提到兩者為常態隨機變數，對本題計算並非必要條件。 解題方法 令第一個變數為 $X$，第二個變數為 $Y$。已知 $E(X)=3$、$E(Y)=8$，題目所求為 $2X+3Y$ 的平均數，也就是其期望值： $$ E(2X+3Y)=2E(X)+3E(Y) =2(3)+3(8) =6+24 =30. $$ 因此選項（D）正確。 選項分析

Answer

答案：D

Question 30

承上題，第一個變數的標準差是 3，第二個變數的標準差是 8，第一個變數的 2 倍加上第二個變數的 3 倍的標準差是多少？

Accepted Answer

核心觀念 本題考「線性組合的標準差」。設兩個變數為 $X$、$Y$，已知標準差分別為 $\sigmaX=3$、$\sigmaY=8$，所求為 $2X+3Y$ 的標準差。 線性組合的變異數公式為： $$ \operatorname{Var}(aX+bY) =a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y) +2ab\operatorname{Cov}(X,Y) $$ 因此，除了兩個變數各自的標準差，還需要知道它們的共變異數，或等價地知道相關係數。題目未提供這項資訊，無法唯一計算標準差。 解題方法 由標準差換算變異數： $$ \operatorname{Var}(X)=3^2=9,\qquad \operatorname{Var}(Y)=8^2=64 $$ 代入 $2X+3Y$ 的變異數公式： $$ \operatorname{Var}(2X+3Y) =2^2(9)+3^2(64)+2(2)(3)\operatorname{Cov}(X,Y) =612+12\operatorname{Cov}(X,Y) $$ 所以：

Answer

答案：A

Question 31

假設從布瓦松分配簡單隨機抽樣有 38 個觀察值之樣本，下列何者錯誤？ (A) 樣本總和的期望值等於母體期望值的 38 倍 (B) 樣本平均數的期望值等於母體期望值 (C) 樣本總和的變異數等於母體變異數的 38 倍 (D) 樣本平均數的變異數等於母體變異數

Accepted Answer

核心觀念

本題考「布瓦松分配」隨機樣本的期望值與變異數。若母體隨機變數 $X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$ ，則

E(X)=\lambda,\qquad \operatorname{Var}(X)=\lambda.

設 $X_1,\ldots,X_{38}$ 為彼此獨立且同分配的觀察值，樣本總和為 $S=\sum_{i=1}^{38}X_i$ ，樣本平均數為 $\bar X=S/38$ 。

解題方法

利用期望值與變異數的線性性，並注意獨立樣本的總和變異數等於各觀察值變異數的總和：

E(S)=\sum_{i=1}^{38}E(X_i)=38\lambda,

\operatorname{Var}(S)=\sum_{i=1}^{38}\operatorname{Var}(X_i)=38\lambda.

再由樣本平均數是總和除以 38，得

E(\bar X)=\frac{E(S)}{38}=\lambda,

Answer

答案：D

Question 32

假設我們發現 100 位選民的隨機樣本裡有 50 位支持某位候選人，這一位候選人支持率的 95%信賴區間的上界減下界大概等於多少？

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是母體比例 $p$ 的信賴區間。樣本中有 $x=50$ 位支持者，樣本數 $n=100$，所以樣本支持率為 $$ \hat p=\frac{x}{n}=\frac{50}{100}=0.5. $$ 以常用的大樣本常態近似計算，95% 信賴區間為 $$ \hat p \pm z{0.975}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}, $$ 其中 $z{0.975}\approx 1.96$。題目問的是「上界減下界」，也就是整個區間的寬度，不是單側誤差。 解題方法 信賴區間的上下界分別為 $$ \hat p+1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \quad	ext{與}\quad \hat p-1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}. $$ 因此區間寬度為

Answer

答案：C

Question 33

關於計算單一母體比例的信賴區間，下列何者正確？ (A) 不論樣本數多少都可以使用中央極限定理 (B) 只要樣本數超過 30 就可以使用中央極限定理 (C) 只要樣本數乘以母體比例以及乘以 1 減掉母體比例都超過 5，就可以使用中央極限定理 (D) 只要樣本數乘以樣本比例超過 5，以及樣本數乘以 1 減掉樣本比例超過 5，就可以使用中央極限定理

Accepted Answer

核心觀念 本題考單一母體比例信賴區間的常態近似條件。若每個觀察值是成功／失敗的二元結果，樣本成功次數 $X$ 服從二項分配，樣本比例為 $\hat p=X/n$。當成功與失敗的期望次數都足夠大時，二項分配可用常態分配近似，因而可用常態近似建立比例的信賴區間。 教科書常用的判準是成功與失敗的次數皆至少為 5；較保守的教材也可能採用 10。本題選項採「大於 5」的表述。母體比例 $p$ 未知時，實務上以樣本比例 $\hat p$ 檢查條件： $$n\hat p5,\qquad n(1-\hat p)5.$$ 解題方法 先辨認題目問的是比例信賴區間使用中央極限定理的條件。由 $\hat p=X/n$ 可得： $$n\hat p=X,\qquad n(1-\hat p)=n-X.$$ 前者是樣本中的成功次數，後者是失敗次數。兩者都大於 5，表示樣本中成功與失敗的觀察數皆足以支持二項分配的常態近似，因此符合題目採用的判準。 選項分析

Answer

答案：D

Question 34

下列次數分配表是投擲一顆骰子 2400 次的結果，例如數字 1 共出現 352 次。在顯著水準 0.05 下，是否能夠確認這是一顆公正的骰子？下列何者正確？ $\chi^2{0.05}(5)=11.0705$；$\chi^2{0.025}(5)=12.8325$；$\chi^2{0.05}(6)=12.5916$。 | 結果（outcome） | 發生次數 | |---|---:| | 1 | 352 | | 2 | 418 | | 3 | 434 | | 4 | 480 | | 5 | 341 | | 6 | 375 | (A) 卡方檢定統計量 $=35.725$，足夠證據確認這是一顆不公正的骰子 (B) 卡方檢定統計量 $=24.57$，足夠證據確認這是一顆公正的骰子 (C) 卡方檢定統計量 $=9.764$，沒有足夠證據推翻這是一顆公正的骰子 (D) 卡方檢定統計量 $=10.98$，沒有足夠證據推翻這是一顆公正的骰子

Accepted Answer

核心觀念 本題考驗「卡方適合度檢定」，用來判斷觀察到的類別次數，是否與指定的理論分配相符。 - 虛無假設 $H0$：骰子公平，六個點數的機率皆為 $1/6$。 - 對立假設 $H1$：至少一個點數的機率不等於 $1/6$。 - 卡方檢定統計量為 $$\chi^2=\sum{i=1}^{k}\frac{(Oi-Ei)^2}{Ei},$$ 其中 $Oi$ 是觀察次數，$Ei$ 是虛無假設下的期望次數。 在 $H0$ 下，每個點數的期望次數為 $2400/6=400$。六類別且未估計額外參數，自由度為 $6-1=5$。顯著水準 $0.05$ 的右尾臨界值為 $\chi^2{0.05}(5)=11.0705$。 解題方法 將各點數的觀察次數與期望次數 $400$ 比較：

Answer

答案：A

Question 35

關於測量尺度，下列何者錯誤？ (A) 名目尺度變數的觀察值可以排序 (B) 順序尺度變數的觀察值可以排序 (C) 區間尺度變數的觀察值可以排序 (D) 比例尺度變數的觀察值可以排序

Accepted Answer

核心觀念 本題考「測量尺度」的分類，以及各尺度能支持的比較方式。由弱至強依序為： - 名目尺度：僅用來分類或標記類別，類別之間沒有大小或先後次序，例如血型、戶籍地。 - 順序尺度：除分類外，還能依高低、先後排序，但相鄰等級的差距不一定相等，例如名次、滿意度等級。 - 區間尺度：可排序，且數值間的差距有意義；但零點是人為設定，不能作有意義的倍數比較，例如攝氏溫度。 - 比例尺度：可排序，差距有意義，並具有絕對零點，因此可以比較倍數，例如重量、年齡。 解題方法 逐一判斷「可以排序」是否為該尺度的性質。順序、區間與比例尺度都包含排序能力；名目尺度只區分類別，沒有可比較的大小或先後。因此，題目中錯誤的敘述是「名目尺度變數的觀察值可以排序」。 選項分析

Answer

答案：A

Question 36

關於直方圖，下列何者正確？ (A) 一般用來表達離散型數據的分配 (B) 一般用來表達連續型數據的分配 (C) 每一個直條的寬度代表某一個區間的發生機率 (D) 每一個直條的高度代表某一個區間的發生機率

Accepted Answer

核心觀念

直方圖用來呈現數值資料的分配情形，通常適用於連續型資料，或先將數值資料依大小分組後，以相鄰直條表示各組的資料分布。橫軸表示組距，縱軸表示次數、相對次數或密度。

直方圖中，某區間所占的比例由直條的面積表示。若各組組距相同，高度可直接反映該組的次數或相對次數；組距不同時，則通常以「次數密度」作為高度，使直條面積對應該組的次數或比例。因此，直條高度不一定直接等於區間發生機率。

解題方法

先辨認直方圖的用途：它用相鄰的長方形呈現數值資料在各區間的分布，主要用於連續型資料。再判斷各選項對直條寬度、高度及面積的描述是否符合定義。

選項分析

Answer

答案：B

Question 37

關於變異數分析，下列何者正確？ (A) 一般而言，研究者用來檢定數個母體變異數是否相等 (B) 一般而言，研究者用來檢定數個母體平均數是否相等 (C) 一般而言，研究者用來檢定數個母體比例是否相等 (D) 一般而言，研究者用來檢定數個中位數

Accepted Answer

核心觀念

變異數分析（Analysis of Variance, ANOVA）主要用來檢定兩個以上母體的平均數是否相等。它將總變異分解為組間變異與組內變異，並以 $F$ 統計量判斷各組平均數的差異是否足以認定具有統計顯著性。

以單因子變異數分析為例，虛無假設為：

H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k

對立假設則是至少有一個母體平均數不同。

解題方法

題目問「變異數分析」一般用來檢定什麼。辨認其核心用途即可：分析雖以變異數分解作為方法，但主要檢定目標是多個母體平均數是否相等，因此選擇（B）。

選項分析

Answer

答案：B

Question 38

關於二因子變異數分析表，下列何者錯誤？ (A) 處理平方和一定可以分解為個別因子的平方和跟兩因子的交互作用平方和 (B) 總平方和一定可以分解為處理平方和跟誤差平方和 (C) 誤差平方和一定大於處理平方和 (D) 誤差平方和可能等於交互作用平方和

Accepted Answer

核心觀念

二因子變異數分析將總變異分成「處理平方和」與「誤差平方和」；在有重複觀測的二因子模型中，處理平方和又可分解為因子 $A$ 、因子 $B$ 及交互作用 $A\times B$ 的平方和：

SS_T=SS_{\text{處理}}+SS_E

SS_{\text{處理}}=SS_A+SS_B+SS_{AB}

平方和皆非負，但各部分的大小會依資料而定，沒有「誤差平方和必定大於處理平方和」的規則。

解題方法

先辨認選項描述的是平方和的分解關係，還是不同平方和之間的大小比較。平方和分解來自變異數分析的模型結構；大小比較則須由資料決定，不能僅憑「誤差」與「處理」的名稱判斷。官方答案指定為 C。

選項分析

(A) 正確。 在二因子變異數分析中，處理平方和可分解為因子 $A$ 、因子 $B$ 與交互作用 $A\times B$ 的平方和，即

Answer

答案：C

Question 39

關於動差估計，下列何者正確？ (A) 1 次動差估計就是樣本平均數 (B) 2 次動差估計就是樣本變異數 (C) 3 次動差估計就是樣本偏度 (D) 4 次動差估計就是樣本扁度

Accepted Answer

核心觀念

動差估計法（method of moments）是以樣本動差估計母體動差。第 $r$ 個母體原點動差與樣本第 $r$ 個原點動差分別為

\mu'_r=E(X^r),\qquad m'_r=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^r.

動差估計法令相對應的母體動差與樣本動差相等，再解出未知參數。特別是第一個原點動差為母體平均數 $E(X)$ ，其樣本對應量是樣本平均數 $\bar X$ 。

解題方法

依動差的階數辨認所對應的統計量。第一階原點動差為

\mu'_1=E(X),\qquad m'_1=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i=\bar X.

因此，以一階動差估計母體平均數時，估計量就是樣本平均數，故選項 (A) 正確。

選項分析

(A) 正確。 一次原點動差的樣本對應量為 $\frac{1}{n}\sum X_i=\bar X$ ，即樣本平均數。
**(B) 錯誤。

Answer

答案：A

Question 40

假設隨機抽取一組樣本數等於 100 的樣本，發現樣本平均數是 10、樣本標準差是 10，那麼根據中央極限定理（Central Limit Theorem），上述樣本平均數的抽樣分配最接近下列哪一個機率分配？ (A) 有著平均數等於 0、變異數等於 1 的常態分配 (B) 有著平均數等於 0、變異數等於 10 的常態分配 (C) 有著平均數等於 10、變異數等於 1 的常態分配 (D) 有著平均數等於 10、變異數等於 10 的常態分配

Accepted Answer

核心觀念

本題考中央極限定理與樣本平均數的抽樣分配。當樣本數夠大時，樣本平均數 $\bar X$ 的抽樣分配可近似為常態分配，其平均數與變異數為

E(\bar X)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}.

題目提供的是樣本平均數 $\bar x=10$ 與樣本標準差 $s=10$ 。依本題慣例，以樣本統計量估計母體參數，因此取 $\mu\approx\bar x=10$ 、 $\sigma\approx s=10$ 。

解題方法

樣本數 $n=100$ ，故樣本平均數的抽樣分配變異數估計為

\operatorname{Var}(\bar X)\approx\frac{s^2}{n} =\frac{10^2}{100}=1.

因此，樣本平均數的抽樣分配近似為平均數 $10$ 、變異數 $1$ 的常態分配，對應選項 (C)。

選項分析

Answer

答案：C

108 初等考試五等 統計 統計學大意 考古題詳解

第 1 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 2 題2 分

第 3 題2 分

核心觀念

解題方法

第 4 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 5 題2 分

第 6 題2 分

第 7 題2 分

第 8 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 9 題2 分

第 10 題2 分

第 11 題2 分

核心觀念

解題方法

第 12 題2 分

核心觀念

解題方法

第 13 題2 分

第 14 題2 分

第 15 題2 分

核心觀念

解題方法

第 16 題2 分

核心觀念

解題方法

第 17 題2 分

第 18 題2 分

核心觀念

解題方法

第 19 題2 分

第 20 題2 分

第 21 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 22 題2 分

第 23 題2 分

核心觀念

解題方法

第 24 題2 分

核心觀念

解題方法

第 25 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 26 題2 分

第 27 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 28 題2 分

第 29 題2 分

第 30 題2 分

核心觀念

解題方法

第 31 題2 分

核心觀念

解題方法

第 32 題2 分

第 33 題2 分

第 34 題2 分

第 35 題2 分

第 36 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 37 題2 分

核心觀念

108 初等考試五等統計統計學大意考古題詳解