109 一般警察特考三等 消防警察人員 微積分 考古題詳解

核心觀念

本題考查微積分中不定型極限之求值，涉及的核心概念與定理如下：

1. 不定型判定與轉化：當 $x \to 0$ 時，$\sin(x^2) \to 0$ 且 $x^2 \to 0$，原極限為 $\infty - \infty$ 不定型。必須透過通分將其轉化為商式形態 $\frac{0}{0}$ 不定型。
2. 變數變換法（Substitution）：利用 $t = x^2$ 進行變數代換，可大幅降低多項式次數，避免因連鎖律（Chain Rule）反覆微分產生繁複項。
3. 重要極限拆項法則：利用三角基本極限 $\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t} = 1$，先將分母拆項化簡，減少直接套用乘積微分法則的計算量。
4. 羅必達法則（L'Hôpital's Rule）：若 $\lim \frac{f(t)}{g(t)}$ 屬於 $\frac{0}{0}$ 型且滿足可微條件，則極限值等於 $\lim \frac{f'(t)}{g'(t)}$。

---

解題方法

步驟一：變數代換（降次化簡） 令 $t = x^2$。當 $x \to 0$ 時，$t \to 0^+$。原式可改寫為：

$$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\sin(x^2)}-\frac{1}{x^2}\right) = \lim_{t\to 0^+}\left(\frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t}\right)$$

步驟二：通分轉化為 $\frac{0}{0}$ 型 將括號內兩項通分合併：

$$\frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t} = \frac{t - \sin t}{t\sin t}$$

當 $t \to 0^+$ 時，分子 $t - \sin t \to 0$，分母 $t\sin t \to 0$，符合 $\frac{0}{0}$ 不定型。

步驟三：利用基本極限分離分母 為避免分母在羅必達微分時使用乘積法則造成項數擴膨，將分母改寫並提取已知極限：

$$\frac{t - \sin t}{t\sin t} = \frac{t - \sin t}{t^2} \cdot \frac{t}{\sin t}$$

已知 $\lim_{t\to 0^+}\frac{t}{\sin t} = 1$，由極限定理：

核心觀念

本題主要測驗微分學中的基本運算法則，包含三大核心工具：

1. 連鎖律（Chain Rule）：處理複合函數的導數，公式為

$$\frac{d}{dx}\left[f(g(x))\right] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

2. 乘法律（Product Rule）：處理相乘函數的導數，公式為

$$\frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

3. 除法律（Quotient Rule）：處理分式函數的導數，公式為

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$$

---

解題方法

為避免式子過於繁雜而發生計算失誤，將 $h(x)$ 拆解為兩部分個別求導：

$$h(x) = h_1(x) + h_2(x)$$

其中：

• $h_1(x) = f(g(x))$
• $h_2(x) = \frac{f(x)g(x)}{f(x)+g(x)}$

由導數的線性性質可知：

$$h'(1) = h_1'(1) + h_2'(1)$$

步驟一：計算第一部分 $h_1'(1)$

由連鎖律：

$$h_1'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

將 $x=1$ 代入： 已知 $g(1) = 1$，$g'(1) = 2$，$f'(1) = 2$，得：

$$h_1'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1) = f'(1) \cdot g'(1) = 2 \cdot 2 = 4$$

步驟二：計算第二部分 $h_2'(1)$

令分子 $u(x) = f(x)g(x)$，分母 $v(x) = f(x) + g(x)$。

1. 分子及其導數在 $x=1$ 的值：

$$u(1) = f(1)g(1) = 1 \cdot 1 = 1$$

利用乘法律求 $u'(x)$：

$$u'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$u'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1) = (2)(1) + (1)(2) = 4$$

2. 分母及其導數在 $x=1$ 的值：

$$v(1) = f(1) + g(1) = 1 + 1 = 2$$

求 $v'(x)$：

$$v'(x) = f'(x) + g'(x)$$ $$v'(1) = f'(1) + g'(1) = 2 + 2 = 4$$

核心觀念

1. 極值定理（Extreme Value Theorem, EVT）： 若函數 $F(x)$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，則 $F(x)$ 在該區間內必存在絕對最大值與絕對最小值。本題多項式函數在實數線上處處連續且可微，故在閉區間 $[-2, 3]$ 上必有絕對極值。
2. 臨界點（Critical Points）求法： 在區間內部開區間 $(a, b)$ 中，滿足一階導數等於零（即 $F'(x) = 0$）或一階導數不存在的點稱為臨界點。
3. 閉區間求極值的候選點法（Closed Interval Method）： 連續函數在閉區間 $[a, b]$ 的絕對極值，僅可能發生在下列兩處：

• 落在開區間 $(a, b)$ 內部的臨界點。
• 閉區間的兩側端點 $x = a$ 與 $x = b$。 將所有候選點代入原函數 $F(x)$，所得函數值中之最大者即為最大值，最小者即為最小值。

---

解題方法

步驟一：求一階導函數並找出臨界點

對 $F(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 18$ 微分：

$$F'(x) = 6x^2 - 6x - 12$$

提公因數並進行十字交乘因式分解：

$$F'(x) = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$$

令 $F'(x) = 0$，解得：

$$x = -1 \quad \text{或} \quad x = 2$$

檢驗臨界點位置：$x = -1$ 與 $x = 2$ 皆落於開區間 $(-2, 3)$ 內部，均為有效候選點。

步驟二：計算各候選點與端點之函數值

候選點共有四個：區間端點 $x = -2, 3$ 以及區間內部的臨界點 $x = -1, 2$。

1. 左端點 $x = -2$：

$$F(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) + 18 = 2(-8) - 3(4) + 24 + 18 = -16 - 12 + 42 = 14$$

核心觀念

本題評量微積分三大核心基本功：

1. 微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）與連鎖律（Chain Rule）： 若 $G(x) = \int_a^{u(x)} f(t)\,dt$（其中 $a$ 為常數，$f$ 為連續函數，$u(x)$ 為可微函數），則由微積分第一基本定理結合連鎖律可得： $G'(x) = \frac{d}{dx}\left[\int_a^{u(x)} f(t)\,dt\right] = f(u(x))\cdot u'(x)$
2. 定積分之基本性質： 當定積分之積分上限與積分下限相等時，其積分值恆為零，即： $\int_a^a f(t)\,dt = 0$
3. 切線方程式之點斜式： 若函數 $y = G(x)$ 在 $x = x_0$ 處可導，則該點的切線斜率為 $m = G'(x_0)$，過切點 $(x_0, G(x_0))$ 之切線方程式為： $y - G(x_0) = G'(x_0)(x - x_0)$

---

解題方法

本題為標準的曲線切線求解問題，解題脈絡分為三步驟：求切點、求切線斜率、求切線方程式。

步驟一：求切點座標 $(1, G(1))$

將 $x = 1$ 代入函數 $G(x)$： $G(1) = \int_0^{1 - 1^2} \left(\sqrt{1+t}\sin t + \sqrt{1-t}\cos t\right)\,dt = \int_0^0 \left(\sqrt{1+t}\sin t + \sqrt{1-t}\cos t\right)\,dt$ 由於定積分的上限與下限皆為 $0$，故： $G(1) = 0$ 得切點座標為 $(1, 0)$。

步驟二：利用微積分基本定理求導函數 $G'(x)$ 與切線斜率 $G'(1)$

令被積函數為： $f(t) = \sqrt{1+t}\sin t + \sqrt{1-t}\cos t$ 積分上限函數為： $u(x) = 1 - x^2 \implies u'(x) = -2x$ 依據微積分基本定理與連鎖律：

核心觀念

本題評量不定積分的核心技巧，主要包含以下三大數學觀念與公式：

1. 積分的線性性質（Linearity of Integration）： 對於可積函數之線性組合，可分項積分： $\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

2. 分部積分法（Integration by Parts）： 基本公式為： $\int u\,dv = uv - \int v\,du$

• 循環型分部積分：當被積函數為「指數函數 $\times$ 三角函數」（如 $e^{ax}\cos bx$）時，連續進行兩次分部積分後會出現同型積分項，可透過代數移項求解。
• 多項式型分部積分：當被積函數為「多項式 $\times$ 指數函數」（如 $P(x)e^{ax}$）時，可利用連續分部積分（或表格法）逐次將多項式降次至常數項求得結果。

---

解題方法

依線性性質，將原不定積分拆解為兩部分個別求解： $I = \int\left(e^{3x}\cos 3x+x^2e^{2x}\right)\,dx = \underbrace{\int e^{3x}\cos 3x\,dx}_{I_1} + \underbrace{\int x^2e^{2x}\,dx}_{I_2}$

第一部分：求解 $I_1 = \int e^{3x}\cos 3x\,dx$

此為標準的循環型分部積分。

1. 第一次分部積分： 設 $u = e^{3x} \implies du = 3e^{3x}\,dx$ 設 $dv = \cos 3x\,dx \implies v = \frac{1}{3}\sin 3x$

套用分部積分公式： $I_1 = e^{3x}\left(\frac{1}{3}\sin 3x\right) - \int \left(\frac{1}{3}\sin 3x\right)(3e^{3x})\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}\sin 3x - \int e^{3x}\sin 3x\,dx$

2. 第二次分部積分（針對 $\int e^{3x}\sin 3x\,dx$）： 設 $u = e^{3x} \implies du = 3e^{3x}\,dx$ 設 $dv = \sin 3x\,dx \implies v = -\frac{1}{3}\cos 3x$

$\int e^{3x}\sin 3x\,dx = e^{3x}\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) - \int \left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right)(3e^{3x})\,dx = -\frac{1}{3}e^{3x}\cos 3x + \int e^{3x}\cos 3x\,dx$

3. 代回並移項求解： 將上述結果代回 $I_1$： $I_1 = \frac{1}{3}e^{3x}\sin 3x - \left(-\frac{1}{3}e^{3x}\cos 3x + I_1\right) = \frac{1}{3}e^{3x}\sin 3x + \frac{1}{3}e^{3x}\cos 3x - I_1$ 將等號右邊的 $-I_1$ 移至左邊： $2I_1 = \frac{1}{3}e^{3x}(\sin 3x + \cos 3x)$ $I_1 = \frac{1}{6}e^{3x}(\cos 3x + \sin 3x) + C_1$

---

第二部分：求解 $I_2 = \int x^2e^{2x}\,dx$

此題被積函數為「二次多項式 $\times$ 指數函數」，採用連續分部積分降次：

1. 第一次分部積分： 設 $u = x^2 \implies du = 2x\,dx$ 設 $dv = e^{2x}\,dx \implies v = \frac{1}{2}e^{2x}$

$I_2 = x^2\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right) - \int \left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)(2x)\,dx = \frac{1}{2}x^2e^{2x} - \int xe^{2x}\,dx$

2. 第二次分部積分（針對 $\int xe^{2x}\,dx$）： 設 $u = x \implies du = dx$ 設 $dv = e^{2x}\,dx \implies v = \frac{1}{2}e^{2x}$

核心觀念

本題評量**定積分在幾何上的應用——平面曲線弧長（Arc Length）**之求法，主要運用以下定義與公式：

1. 曲線弧長公式： 設函數 $y = f(x)$ 在閉區間 $[a, b]$ 上具有連續導函數 $f'(x)$，則該曲線從 $x = a$ 到 $x = b$ 的弧長 $L$ 定義為：

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left[ f'(x) \right]^2} \, dx$$

2. 冪函數之微分與積分：

• 微分：$\frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n x^{n-1}$
• 積分：$\int (ax+b)^n \, dx = \frac{1}{a(n+1)} (ax+b)^{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

---

解題方法

本題給定曲線 $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$，範圍為 $0 \leq x \leq 3$。依循弧長標準解題三步驟：先微分、再平方向下化簡根號、最後計算定積分。

步驟一：求導函數 $\frac{dy}{dx}$

對 $x$ 微分：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$$

步驟二：代入弧長被積函數並化簡

將導函數代入 $\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$：

$$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 = x$$

因此被積式為：

$$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{1 + x} = (1 + x)^{\frac{1}{2}}$$

步驟三：計算定積分

積分上下限為 $a = 0$ 至 $b = 3$，弧長 $L$ 為：

$$L = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + x} \, dx = \int_{0}^{3} (1 + x)^{\frac{1}{2}} \, dx$$

求反導函數並代入上下限：

核心觀念

本題評量定積分於幾何學之應用——旋轉體體積之「殼形法」（又稱圓柱殼法，Cylindrical Shell Method）。

1. 旋轉體之殼形法公式： 若平面區域由連續函數之曲線 $y = f(x)$（上界）與 $y = g(x)$（下界）在區間 $[a, b]$（其中 $0 \le a \le b$）所圍成，將此區域繞 $y$ 軸旋轉一周，旋轉體之體積 $V$ 為：

$$V = 2\pi \int_{a}^{b} (\text{旋轉半徑}) \cdot (\text{柱殼高度}) \, dx = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot [f(x) - g(x)] \, dx$$

2. 幾何幾何要素之確定：

• 積分區間 $[a, b]$：由兩曲線之交點坐標決定。
• 旋轉半徑 $r(x)$：繞 $y$ 軸旋轉時，微元柱殼至旋轉軸的距離為 $r(x) = x$。
• 柱殼高度 $h(x)$：在該 $x$ 處之上曲線與下曲線之差，即 $h(x) = f(x) - g(x)$。

---

解題方法

題目明確指定使用殼形法（Shell Method），解題切入點為先求兩圖形交點，確認區域之上下界，再建立以 $x$ 為變數的單變數定積分。

步驟一：求兩曲線之交點坐標

聯立兩曲線方程式：

$$1 - \left(\frac{x}{3}\right)^2 = 1 - \frac{x}{3}$$

兩側消去 $1$ 並同乘以 $9$：

$$-x^2 = -3x \implies x^2 - 3x = 0 \implies x(x - 3) = 0$$

解得：

$$x = 0 \quad \text{或} \quad x = 3$$

• 當 $x = 0$ 時，$y = 1$，交點為 $(0, 1)$。
• 當 $x = 3$ 時，$y = 0$，交點為 $(3, 0)$。

因此，積分區間為 $x \in [0, 3]$。

步驟二：判斷區間內的上下邊界

在開區間 $(0, 3)$ 內任取一點測試，例如取 $x = 1$：

• 拋物線高度：$y_1 = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{8}{9}$
• 直線高度：$y_2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} = \frac{6}{9}$

因 $\frac{8}{9} > \frac{6}{9}$，故在此區間內拋物線位於直線之上方：

• 上曲線：$f(x) = 1 - \frac{x^2}{9}$
• 下曲線：$g(x) = 1 - \frac{x}{3}$

步驟三：建立柱殼微元之要素

在區間 $[0, 3]$ 內任取一點 $x$，作垂直於 $x$ 軸、寬度為 $dx$ 的微元垂直長條：

1. 旋轉半徑：繞 $y$ 軸旋轉，半徑 $r(x) = x$。
2. 柱殼高度：

$$h(x) = f(x) - g(x) = \left(1 - \frac{x^2}{9}\right) - \left(1 - \frac{x}{3}\right) = \frac{x}{3} - \frac{x^2}{9}$$

步驟四：列出定積分並計算體積

由殼形法公式，實體 $V$ 的體積為：