110 一般警察特考三等 消防警察人員 微積分 考古題詳解

核心觀念

反函數把函數的輸入與輸出互換。若 $y=f(x)$，先解出 $x$ 為 $y$ 的函數，再將變數名稱互換，即得 $f^{-1}(x)$。反函數存在的條件是原函數在其定義域上為一對一。

解題方法

令

交換 $x$ 與 $y$，並解出 $y$：

因此

核心觀念

分段函數在 $x=0$ 附近的極限，須分別考察左極限與右極限。雙側極限存在的充要條件是兩側極限都存在且相等：

解題方法

當 $x\to 0^-$ 時，$x<0$，使用分段式 $f(x)=\dfrac{1}{x}$。令 $x$ 從負側趨近 $0$，分母為負且絕對值愈來愈小，因此：

核心觀念

本題考查反三角函數的微分公式與鏈鎖律。若 $y=\cos^{-1}u=\arccos u$，則

當 $u$ 是 $x$ 的函數時，還須乘上內函數的導數 $du/dx$。

解題方法

令 $u=x^3$，則 $du/dx=3x^2$。套用鏈鎖律：

核心觀念

本題考查鏈鎖律：複合函數 $y=[u(x)]^n$ 的微分為

解題方法

令內層函數 $u=x^3+99$，則 $y=u^{100}$。先對外層函數微分，再乘上內層函數的導數：

核心觀念

絕對最小值是函數在定義域內所有函數值中的最小者。此題的函數為

立方根對所有實數都有定義，且平方值不小於 $0$。

解題方法

由平方非負可得

當 $x=3$ 時，

核心觀念

水平漸近線由函數在 $x\to\infty$ 或 $x\to-\infty$ 時的極限決定。若

則直線 $y=L$ 是水平漸近線。

本題是分子、分母同次的有理函數，當 $x\to\pm\infty$ 時，極限等於分子與分母最高次項係數的比值。

解題方法

將分子、分母同除以 $x^2$：

核心觀念

本題考「微積分基本定理」與「積分上下限皆為 $x$ 的函數時的微分法則」（Leibniz 法則）：

上限端的變化量取正號，下限端的變化量取負號。

解題方法

令 $f(t)=t^3$、下限 $a(x)=x^2$、上限 $b(x)=x$。代入公式：

核心觀念

本題考查定積分的 $u$ 代換法。當被積分函數含有複合函數，且其內層函數的導數（或差一個常數倍）也出現在被積分函數中時，可令內層函數為新變數，將積分化簡。

解題方法

令

因此 $x\,dx=\frac14\,du$。當 $x=0$ 時，$u=3$；當 $x=2$ 時，$u=11$。代換後：

核心觀念

本題考查反正切函數的不定積分，適合使用分部積分。公式為

並用到反正切函數的導數：

解題方法

令

則

套用分部積分公式：

對剩下的積分令 $t=1+4x^2$，則 $dt=8x\,dx$，因此

核心觀念

平面曲線 $y=f(x)$ 從 $x=a$ 到 $x=b$ 的弧長為

本題需先對 $y=x^{3/2}$ 求導，再將導數代入弧長公式，並計算 $x=0$ 至 $x=1$ 的定積分。

解題方法

由

可得

因此弧長為

令 $u=1+\frac94x$，則 $dx=\frac49\,du$；當 $x=0$ 時 $u=1$，當 $x=1$ 時 $u=\frac{13}{4}$。故