111 一般警察特考三等 消防警察人員 微積分 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 對數函數的拆解公式 $\ln\frac{A}{B}=\ln A-\ln B$

2. 冪次公式 $\ln(A^k)=k\ln A$

3. 基本微分公式

$$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},\qquad \frac{d}{dx}\ln u(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$$

原函數為

$$f(x)=\ln\frac{x(x^2+1)^2}{\sqrt{2x^3+1}}.$$

因為對數真數必須為正，且分母根號有意義，所以本題定義域為 $x>0$。

解題方法

先將根號改寫成冪次形式：

$$\sqrt{2x^3+1}=(2x^3+1)^{1/2}.$$

因此

$$f(x) =\ln\left[x(x^2+1)^2(2x^3+1)^{-1/2}\right].$$

利用對數的乘法與冪次公式拆解：

$$f(x)=\ln x+2\ln(x^2+1)-\frac12\ln(2x^3+1).$$

逐項微分：

$$\frac{d}{dx}\ln x=\frac1x,$$ $$\frac{d}{dx}\left[2\ln(x^2+1)\right] =2\cdot\frac{2x}{x^2+1} =\frac{4x}{x^2+1},$$

核心觀念

1. 切線斜率的幾何意義： 平面上曲線 $y = f(x)$ 在任一點 $(x, y)$ 處的切線斜率，即為該函數的一階導數，表示為： $\frac{dy}{dx} = f'(x)$
2. 不定積分（求反導函數）： 已知斜率函數 $f'(x)$ 時，可透過不定積分求得包含積分常數 $C$ 的原函數族（通解）： $f(x) = \int f'(x) \, dx + C$
3. 初值問題（求特解）： 利用曲線所通過的已知點 $(x_0, y_0)$，代入原函數族中即可解出特定的積分常數 $C$，進而確定唯一的曲線方程式。

---

解題方法

步驟一：建立微分方程式並求不定積分

由題意已知曲線在點 $(x, y)$ 處的斜率為 $3x^2-1$，建立一階微分方程式： $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$

對等號兩邊進行不定積分以求原函數 $y(x)$： $y = \int (3x^2 - 1) \, dx$

利用多項式積分公式 $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$（其中 $n \neq -1$），逐項積分： $y = 3 \cdot \left( \frac{x^3}{3} \right) - x + C$ $y = x^3 - x + C \quad (C \text{ 為任意實數常數})$

步驟二：代入已知點求解積分常數 $C$

核心觀念

本題考驗反三角函數微分、複合函數微分連鎖律（Chain Rule）以及代數/三角化簡技巧。

1. 反三角函數微分公式： $\frac{d}{dx} \tan^{-1}(u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$
2. 根式微分公式： $\frac{d}{dx} \sqrt{x^2+1} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
3. 正切函數半角恆等式： $\tan\theta - \sec\theta = \frac{\sin\theta - 1}{\cos\theta} = \tan\left(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$

---

解題方法

【方法一：標準微分連鎖律】

設內部複合函數為 $u = x - \sqrt{x^2+1}$，則原函數為 $y = \tan^{-1}(u)$。

第一步：計算 $u^2$ 與 $1+u^2$ $u^2 = \left(x - \sqrt{x^2+1}\right)^2 = x^2 - 2x\sqrt{x^2+1} + (x^2+1) = 2x^2 + 1 - 2x\sqrt{x^2+1}$ $1 + u^2 = 2x^2 + 2 - 2x\sqrt{x^2+1} = 2\left(x^2 + 1 - x\sqrt{x^2+1}\right)$

提出公因式 $\sqrt{x^2+1}$： $1 + u^2 = 2\sqrt{x^2+1}\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

第二步：計算 $u$ 對 $x$ 的導函數 $\frac{du}{dx}$ $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(x - \sqrt{x^2+1}\right) = 1 - \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{\sqrt{x^2+1} - x}{\sqrt{x^2+1}}$

第三步：代入連鎖律公式並約分化簡 $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}\tan^{-1}(u) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1} - x}{\sqrt{x^2+1}}$

分子與分母皆含有公因項 $\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$，將其消去： $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1} \cdot \sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{2(x^2+1)}$

---

【方法二：三角代換速解法】

當式子含有 $\sqrt{x^2+1}$ 結構時，可利用三角代換先將函數化簡後再求導。

第一步：變數代換 令 $x = \tan\theta$，其中 $\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，則 $\sqrt{x^2+1} = \sec\theta$。 內部函數變為：

核心觀念

本題旨在考驗「未定型極限（$1^\infty$ 型）」的求值方法與自然對數底數 $e$ 的標準極限定義。

1. 自然對數底數 $e$ 的極限公式： $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x$ 特別地，當 $x = 1$ 時，$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$。
2. 連續函數極限性質： 若 $f(x)$ 為連續函數，則極限運算與指數次方運算可交換順序，即 $\lim_{n\to\infty} [g(n)]^k = \left[\lim_{n\to\infty} g(n)\right]^k$。
3. 未定型取對數法（羅必達法則）： 對於 $1^\infty$ 型極限，亦可對原式取自然對數 $\ln$，將指數未定型轉化為 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，再利用羅必達法則（L'Hôpital's Rule）求極限。

---

解題方法

本題可採用以下兩種標準定案解法推導：

解法一：利用自然對數底數 $e$ 的標準定義（推薦解法）

根據指數律 $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$，將原極限式的指數拆解： $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{3n} = \lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{3}{n}\right)^n\right]^3$

因為指數函數為連續函數，可將極限符號移入括號內： $= \left[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n\right]^3$

依據自然對數底數 $e$ 的極限公式 $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x$，其中 $x=3$，可得： $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n = e^3$

將此結果代回原式： $= (e^3)^3 = e^{3 \times 3} = e^9$

解法二：取自然對數配合羅必達法則（標準對數求極法）

設 $y = \left(1+\frac{3}{n}\right)^{3n}$，對等式兩邊取自然對數： $\ln y = \ln\left(1+\frac{3}{n}\right)^{3n} = 3n \cdot \ln\left(1+\frac{3}{n}\right)$

改寫為分式形式以符合未定型 $\frac{0}{0}$ 的型態： $\ln y = \frac{3\ln\left(1+\frac{3}{n}\right)}{\frac{1}{n}}$

當 $n \to \infty$ 時，分子 $3\ln(1+0) \to 0$，分母 $\frac{1}{n} \to 0$，此為 $\frac{0}{0}$ 未定型。

核心觀念

本題為瑕積分（Improper Integral）與部分分式拆解法（Partial Fractions Decomposition）的綜合應用，考驗以下核心概念與微積分公式：

1. 瑕積分（無窮區間型）定義： 當積分上限為無窮大 $\infty$ 時，須轉換為極限形式求解： $\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx$

2. 有理函數的部分分式拆解： 將真分式分解為簡單分式之和。分母經因式分解包含一次項與不可約二次項 $x^2+1$，設定對應待定係數分子： $\frac{x+3}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

3. 基本積分公式：

• $\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C$
• $\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$
• $\int \frac{1}{x^2+1}\,dx = \arctan(x) + C$

4. 對數律與反三角函數極限：

• 對數合併公式：$a \ln u - \ln v = \ln\left(\frac{u^a}{v}\right)$
• 極限值：$\lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$

---

解題方法

步驟一：將分母因式分解 將分母利用分組提公因式進行分解： $x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + 1(x - 1) = (x - 1)(x^2 + 1)$

步驟二：進行部分分式拆解（Partial Fractions） 設被積函數為： $\frac{x+3}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

兩邊同乘以 $(x-1)(x^2+1)$ 得： $x + 3 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 1)$

• 求解係數 $A$：代入 $x = 1$（覆蓋法）： $1 + 3 = A(1^2 + 1) \implies 4 = 2A \implies A = 2$

• 求解係數 $C$：代入 $x = 0$ 及 $A = 2$： $0 + 3 = 2(0^2 + 1) + C(0 - 1) \implies 3 = 2 - C \implies C = -1$

• 求解係數 $B$：比較兩邊 $x^2$ 項係數： $0 = A + B \implies B = -A = -2$

因此，被積函數可拆解為： $\frac{x+3}{x^3-x^2+x-1} = \frac{2}{x-1} - \frac{2x+1}{x^2+1} = \frac{2}{x-1} - \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1}$

步驟三：求不定積分 逐項進行積分： $\int \left( \frac{2}{x-1} - \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1} \right) dx = 2\ln|x-1| - \ln(x^2+1) - \arctan(x) + C$

為便於計算趨近無窮大時的極限，利用對數律將前兩項合併： $2\ln|x-1| - \ln(x^2+1) = \ln\left[ (x-1)^2 \right] - \ln(x^2+1) = \ln\left( \frac{x^2-2x+1}{x^2+1} \right)$

不定積分的反導函數表示為： $F(x) = \ln\left( \frac{x^2-2x+1}{x^2+1} \right) - \arctan(x)$

步驟四：代入上下限求瑕積分 依瑕積分定義計算極限：

核心觀念 本題考查第一類廣義積分（瑕積分，Improper Integral）與部分分式拆解法（Partial Fraction Decomposition）。

1. 廣義積分定義：當積分區間包含 $-\infty$ 時，須寫成極限形式： $\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx$
2. 有理函數積分：當被積函數為真分式且分母可分解為一次式乘積時，運用部分分式拆解法化簡後進行積分： $\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C$
3. 對數極限運算：利用對數律 $\ln a - \ln b = \ln \left( \frac{a}{b} \right)$ 將不定型 $\infty - \infty$ 轉換為商的形式，再求極限。

---

解題方法

步驟一：確認積分區間與無連續性不中斷（無內部瑕點） 被積函數分母 $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$ 的零點為 $x=1$ 與 $x=2$。 本題積分區間為 $(-\infty, 0]$，完全落在 $x < 1$ 的範圍內，因此被積函數在積分區間內為連續函數，本題僅屬於下限無界的「第一類廣義積分」。

步驟二：部分分式拆解 將被積函數分解為兩個一次分式的差： $\frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$ 通分後比較分子： $1 = A(x-2) + B(x-1)$

• 代入 $x = 1 \Rightarrow 1 = A(1-2) \Rightarrow A = -1$
• 代入 $x = 2 \Rightarrow 1 = B(2-1) \Rightarrow B = 1$

故被積函數可寫成： $\frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$

步驟三：求不定積分與合併對數

核心觀念

本題考查極座標中以積分求面積的公式。若區域由外側曲線 $r=R(\theta)$ 與內側曲線 $r=\rho(\theta)$ 夾成，則面積為

$$A=\frac12\int_{\alpha}^{\beta}\left[R(\theta)^2-\rho(\theta)^2\right]\,d\theta.$$

題目中的兩條曲線為：

• 圓：$r=2$，表示以原點為圓心、半徑 $2$ 的圓。
• 心臟線：$r=2(1+\cos\theta)$。

所求區域是「在圓外部」且「在心臟線內部」，因此半徑範圍為

$$2\le r\le 2(1+\cos\theta).$$

解題方法

先求兩曲線的交點。令

$$2=2(1+\cos\theta),$$

可得

$$\cos\theta=0.$$

因此

$$\theta=\frac{\pi}{2},\quad \frac{3\pi}{2}.$$

要使心臟線位於圓的外側，必須滿足

$$2(1+\cos\theta)\ge 2,$$

也就是

$$\cos\theta\ge 0.$$

在一個完整週期內，對應的角度範圍為

$$-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}.$$

因此所求面積為

核心觀念

本題考查平面薄片的質心。對密度為常數 $k$ 的均勻薄片，質心座標為

$$\bar{x}=\frac{M_y}{M},\qquad \bar{y}=\frac{M_x}{M},$$

其中：

• $M$ 為薄片總質量；
• $M_y$ 為關於 $y$ 軸的力矩；
• $M_x$ 為關於 $x$ 軸的力矩。

題目所給區域為

$$0\le x\le \frac{\pi}{4},\qquad \sin x\le y\le \cos x.$$

因為在此區間內 $\sin x\le \cos x$，所以可用垂直小長條積分。

解題方法

一、計算薄片面積與總質量

區域面積為

$$A=\int_0^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx.$$

因此

$$\begin{aligned} A &=\left[\sin x+\cos x\right]_0^{\pi/4}\\ &=\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)-(0+1)\\ &=\sqrt2-1. \end{aligned}$$

密度為常數 $k$，所以總質量為

$$M=kA=k(\sqrt2-1).$$

---

二、計算關於 $y$ 軸的力矩，求 $\bar{x}$

垂直小長條位於 $x$ 處，其質量為

$$k(\cos x-\sin x)\,dx.$$

該小長條到 $y$ 軸的距離為 $x$，因此

$$M_y=k\int_0^{\pi/4}x(\cos x-\sin x)\,dx.$$

分別計算：

$$\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x,$$ $$\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x.$$

所以

$$\begin{aligned} \int x(\cos x-\sin x)\,dx &=x\sin x+\cos x+x\cos x-\sin x\\ &=x(\sin x+\cos x)+\cos x-\sin x. \end{aligned}$$

代入上下限：

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/4}x(\cos x-\sin x)\,dx &=\left[x(\sin x+\cos x)+\cos x-\sin x\right]_0^{\pi/4}\\ &=\frac{\pi}{4}\sqrt2-1. \end{aligned}$$

因此

$$M_y=k\left(\frac{\pi\sqrt2}{4}-1\right).$$

故