113 一般警察特考三等 消防警察人員 微積分 考古題詳解

核心觀念

合成函數的定義是 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$，也就是先代入內層函數，再計算外層函數。合成後的定義域，須同時符合內層函數有定義，以及內層函數的值落在外層函數的定義域內。

本題中，$f(x)=\dfrac{1}{1-x}$ 的定義域為 $x\ne 1$；$g(x)=\sqrt{x^2-1}$ 的定義域為 $x^2-1\ge 0$，即 $x\le -1$ 或 $x\ge 1$。

解題方法

先依合成順序代入，再整理式子並檢查定義域。

1. 計算 $f\circ g$

根號有意義須 $x\le -1$ 或 $x\ge 1$；此外，分母不得為零：

因此，

2. 計算 $g\circ f$

先通分整理根號內的式子：

核心觀念

本題考查連續函數的介值定理：若函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續，且 $f(a)$ 與 $f(b)$ 異號，則存在 $c\in(a,b)$ 使得 $f(c)=0$。

解題方法

將原方程改寫為

因為 $f$ 是多項式函數，所以在 $[-1,1]$ 上連續。計算端點值：

核心觀念

本題考查反函數三角函數與對數函數的連鎖律。題目中的 $\sin^{-1}u$ 表示反正弦函數 $\arcsin u$，不是 $\dfrac{1}{\sin u}$。使用公式：

解題方法

令 $u=\arcsin(x^2+1)$，則 $y=\ln u$。由對數微分公式，

再對反正弦函數使用連鎖律：

因此，

定義域與題目形式

核心觀念

二次函數 $f(x)=x^2+px+q$ 的二次項係數為正，圖形是開口向上的拋物線。其頂點為全域最小值所在處；若最小值出現在區間端點，則也須比較區間內的函數值。

解題方法

題目要求 $f(1)=2$ 是 $f$ 在 $[0,2]$ 上的極值。由於 $1$ 是區間內點，若 $f(1)$ 為極值，必須有 $f'(1)=0$。

先求導數：

代入 $x=1$：

再利用 $f(1)=2$ 求 $q$：

代入 $p=-2$：

核心觀念

本題考一階可分離微分方程。已知 $\dfrac{dx}{dy}$，表示將 $x$ 視為 $y$ 的函數；先分離變數積分，再利用初始條件 $y(3)=1$ 求積分常數。根號 $\sqrt{2x+1}$ 為實數時，須滿足 $2x+1\ge 0$。

解題方法

由

分離變數：

兩側積分：

利用 $y(3)=1$，也就是 $x=3$ 時 $y=1$，代入得

核心觀念

曲線 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上與 $x$ 軸所圍成的區域，繞 $x$ 軸旋轉時，可用圓盤法求體積。每個垂直於 $x$ 軸的截面都是半徑 $f(x)$ 的圓盤，因此體積為

解題方法

本題 $f(x)=\sqrt{x+1}$，區間為 $[1,4]$。因旋轉軸是 $x$ 軸，截面半徑就是曲線高度 $y$，代入圓盤法：

計算定積分：