112 一般警察特考三等 消防警察人員 微積分 考古題詳解

核心觀念

本題考查指數函數在 $x=0$ 附近的極限，以及基本極限

解題方法

題目為

將分子改寫為

因此當 $x\ne 0$ 時，

核心觀念

本題考查隱函數微分與切線方程式。原卷方程式為

指定點為 $\left(\frac{4}{3},\frac{8}{3}\right)$。

當 $x$、$y$ 由方程式隱含關聯時，對等式兩側同時對 $x$ 微分，並將 $y$ 視為 $x$ 的函數，因此微分 $y^3$ 時須使用鏈鎖律：

若切點為 $(x_0,y_0)$，且切線斜率為 $m$，切線方程式為

解題方法

（一）求切線斜率

對方程式兩側同時對 $x$ 微分：

套用冪次法則、鏈鎖律與乘積法則：

整理含 $\frac{dy}{dx}$ 的項：

因此，曲線上一般點 $(x,y)$ 的切線斜率為

其中分母不為 $0$。

（二）求通過指定點的切線方程式

先將指定點 $\left(\frac{4}{3},\frac{8}{3}\right)$ 代入斜率公式：

核心觀念

反曲點是函數圖形凹向上與凹向下改變的點。求反曲點時，先找 $f''(x)=0$ 或 $f''(x)$ 不存在的位置，再檢查這些位置左右兩側的凹性是否改變。僅有 $f''(x)=0$ 並不足以判定為反曲點。

本題依原卷，函數為 $f(x)=x(x-4)^3$。凹性由二階導數的正負判定：$f''(x)>0$ 時凹向上，$f''(x)<0$ 時凹向下。

解題方法

先對函數連續微分兩次：

令 $f''(x)=0$，得

這兩個位置將實數軸分成三個區間。在各區間檢查 $f''(x)=4(x-4)(4x-7)$ 的符號：

• 若 $x<\frac{7}{4}$，兩個一次因式皆為負，故 $f''(x)>0$，函數凹向上。

核心觀念

題目為

其中 $r>0$。被積函數滿足 $y=\sqrt{r^2-x^2}\ge 0$，平方後得 $x^2+y^2=r^2$，是圓心在原點、半徑為 $r$ 的圓之上半圓。

定積分表示曲線與 $x$ 軸在指定區間間所圍成的面積。此題的區域就是上半圓，因此可用半圓面積公式，也可用定積分計算。

解題方法

（一）面積區域

圖形由圓弧 $x^2+y^2=r^2$ 的上半部與 $x$ 軸圍成，端點為 $(-r,0)$、$(r,0)$，最高點為 $(0,r)$。

 y
 ↑
 (0,r)
 ●
 .-'''''''-.
 .´ `.
(-r,0) ●-----------------● (r,0) → x

因此區域可表示為

（二）計算定積分面積

由圓的方程式 $x^2+y^2=r^2$ 可知半徑為 $r$，整個圓的面積為 $\pi r^2$。積分範圍 $[-r,r]$ 對稱，而被積函數是上半圓的函數，所以定積分等於半圓面積：

題目補全

原卷中的兩條曲線為 $y=x^2$ 與 $y=4x-x^2$。兩曲線交點由

得 $x=0,2$，因此所圍區域的 $x$ 範圍為 $[0,2]$。在此區間內，$4x-x^2$ 位於上方，$x^2$ 位於下方。

核心觀念

繞水平直線旋轉，可用圓環法計算體積：

其中 $R(x)$ 是外半徑，$r(x)$ 是內半徑。半徑是區域邊界到旋轉軸的垂直距離。

解題方法

（一）繞 $x$ 軸旋轉

區域位於 $x$ 軸上方，繞 $x$ 軸旋轉後形成圓環。外半徑為 $4x-x^2$，內半徑為 $x^2$：

核心觀念

本題考分部積分法：

題目中的被積函數是 $\dfrac{2x+1}{\sqrt{x+4}}$。將分子改寫成 $2x+1=2(x+4)-7$，可化為容易積分的冪次函數。

解題方法

令 $t=x+4$，則 $x=t-4$、$dx=dt$，且

因此

利用冪次積分公式 $\int t^n\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C$（$n\ne-1$），得

依題意使用分部積分法，也可令

核心觀念

本題要求從導數的極限定義證明 $\sin x$ 的導數為 $\cos x$：

關鍵是使用正弦的和角公式，以及基本三角極限

解題方法

令 $h=\Delta x$。由正弦和角公式，

代入導數定義，並整理分子：