108 高普考普通考試 工業工程 工程統計學與品質管制概要 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗機率論與數理統計學中最基礎但也最核心的本質分類觀念。考生必須清楚釐清以下四類數學物件的定義、型態與運算範疇：

1. 隨機變數（Random Variable）： 定義在樣本空間 $\Omega$ 上的實值函數 $X: \Omega \to \mathbb{R}$。在抽樣完成前，觀測值未確定，資料點 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 均為隨機變數；由隨機變數構成的函數（如統計量 $\bar{X}, S_X$ 以及其代數轉換）本質上仍為隨機變數。
2. 實數（Real Number）： 數線上的確定常數值。包含：

• 母體參數（如 $\mu_X, \sigma_X^2$）。
• 隨機變數的數值特徵數（如期望值 $E(X)$、變異數 $\operatorname{var}(X)$、標準差等純量）。
• 抽樣完成後的實現值（Realization），即小寫樣本統計量（如 $\bar{x}, s_x$）。
• 機率值 $P(A) \in [0, 1]$。

3. 事件（Event）： 樣本空間 $\Omega$ 的子集（Subset），即「試驗結果所滿足的條件或命題」。當隨機變數結合比較運算子（如 $<, \le, >, \ge, =$）與常數或其他隨機變數構成命題時，代表一個可被賦予機率的集合（例如 $\{\omega \in \Omega \mid \sigma_X^2 < S_X^2(\omega)\}$）。
4. 無特殊意義（Meaningless / Ill-defined）： 符號或運算子的引數型態（Argument Type）與其數學定義不符。例如機率測度 $P(\cdot)$ 的輸入必須是「事件」，若輸入「隨機變數」或「數值」即為語法錯誤。

解題方法與各小題詳解

(一) $E(S_X)$

• 物件拆解：

• $S_X = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n-1}}$ 為抽樣前的樣本標準差，由隨機變數 $X_1, \ldots, X_n$ 組成，為一「隨機變數」。
• $E(\cdot)$ 為期望值運算子（Expectation Operator），其定義為：

• 判定分析： 期望值運算將一個隨機變數映射至一個固定的中心位置指標（純量常數）。即使若母體非常態時 $E(S_X)$ 的閉合解析解可能極為繁複，它在數學本質上仍是一個固定的數值常數。
• 判定結果：實數。

(二) $\sigma_X^2 < S_X^2$

• 物件拆解：

• $\sigma_X^2$ 為母體變異數，為一「未知或已知的固定實數（母體參數）」。
• $S_X^2$ 為樣本變異數，為一「隨機變數」。

• 判定分析： 不等式 $\sigma_X^2 < S_X^2$ 描述了一種試驗結果的狀態。在集合論觀點下，它代表樣本空間中所有滿足「該次抽樣所得之樣本變異數大於母體變異數」的樣本點集合：

該集合具備機率結構（即可以計算 $P(\sigma_X^2 < S_X^2)$），故為一事件。

• 判定結果：事件。

(三) $4\bar{X}^3$

• 物件拆解：

• $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 為樣本平均數，是由隨機變數 $X_1, \ldots, X_n$ 的線性組合而成，為一「隨機變數」。

• 判定分析： 設函數 $g(t) = 4t^3$，則 $4\bar{X}^3 = g(\bar{X})$ 為隨機變數 $\bar{X}$ 的波萊爾可測函數（Borel Measurable Function）。

核心觀念

本題評量工程統計學的兩大基礎根基：

1. 母體（母群體，Population）與樣本（Sample）的相對性：一組資料究竟屬於母體還是樣本，並非由資料筆數多寡決定，而是取決於研究者的「研究目的」與「關心的對象範圍」。
2. 機率（Probability）與統計（Statistics / 統計推論）的對偶關係：

• 機率問題：採演繹法（Deduction），在「已知母體特性與分佈參數」的前提下，探討「隨機抽取之樣本產生特定結果的可能性（機率）」。
• 統計問題：採歸納法（Induction），在「母體參數未知」的現實下，藉由「已蒐集到的樣本資料與計算出的統計量」，回推、估計或檢定「未知母體的真實特徵」。

解題方法

(一) 機台生產與完工資料是樣本還是母群體？

判斷資料屬於「母群體」或「樣本」，關鍵在於分析該資料的目的與欲推論的界限：

1. 實務與工程統計觀點（主要解答：視為「樣本」）

• 製程本質：在工業工程與品質管制中，機台的生產是一個持續運行的動態製程（Continuous Process）。
• 分析目的：資訊部門收集這些資料，絕大多數是為了監控機台穩定度、評估製程能力（Process Capability）、設定生產排程標準工時，或是預測未來的完工時間。
• 推論對象：母群體是由該機台「過去、現在以及未來所有可能產出」所構成的概念性母體（Conceptual / Infinite Population）。資料庫中記錄的歷史生產數據，僅為該製程在特定時間區間內所實現的有限觀測值，因此是樣本（Sample）。

2. 特定描述性統計觀點（次要情況：視為「有限母群體」）

• 若管理者的研究目的僅嚴格限定於該筆歷史記錄本身（例如：純粹結算去年某特定月份該機台的總電耗或歷史績效考核），完全不涉及對未來生產的預測、也不外推至其他未記錄的機台或工件，則此時該資料庫收錄的資料即為研究範圍的全部，在描述性統計（Descriptive Statistics）​的範疇下可被視為母群體（Finite Population）。

小結：在工程統計與品管的決策情境下，資料多用於推論製程特性與預防未來不良，故標準定位為「樣本」。

(二) 母群體、樣本、機率問題與統計問題之關聯圖

1. 關係架構圖

 ┌──────────────────────────────────────────────┐
 │ 母群體 (Population) │
 │ 特性：未知或假設之真實參數 (如 μ, σ², p) │
 └──────────────────────────────────────────────┘
 │ ▲
 │ │
 [機率問題] (Probability) [統計問題] (Statistics)
 由已知母體推導樣本行為 由已知樣本反推未知母體
 • 演繹法 (Deduction) • 歸納法 (Induction)
 • 理論計算、分佈模型 • 參數估計、假設檢定
 │ │
 ▼ │
 ┌──────────────────────────────────────────────┐
 │ 樣本 (Sample) │
 │ 特性：具體觀測到的資料與統計量 (如 X̄, S², p̂)│
 └──────────────────────────────────────────────┘

2. 四大要素深入說明

• 母群體（Population）： 研究者所欲探討的全部對象（人、機台、產品、時間）之數值集合。其數值特徵稱為參數（Parameters），通常以希臘字母表示（如母體平均數 $\mu$、母體變異數 $\sigma^2$、母體不良率 $p$），在實務上多為

核心觀念

在敘述統計學與工程統計中，描述單變量資料分佈特徵的指標主要可劃分為兩大基本範疇：

1. 集中趨勢量數（Measures of Central Tendency）：又稱「位置量數（Measures of Location）」，旨在指出資料分佈的中心位置、代表值或多數數據聚集的核心水準。
2. 分散趨勢量數（Measures of Dispersion / Variability）：又稱「變異量數」或「離散量數」，旨在衡量數據彼此之間、或數據相對於中心點的分散程度、波動幅度與變異性。

解題方法

判定一項統計屬性屬於「集中」或「分散」，切入點在於檢視其物理與統計意義：

• 若該量數用於指出「數據分佈的重心、中心值或最典型代表數值」，則歸屬於集中。
• 若該量數用於衡量「數據分佈的寬度、各數值距離中心點的變異大小或散佈跨距」，則歸屬於分散。

各小題屬性詳細解析

(一) 期望值（Expected Value）

• 統計意義：期望值即隨機變數的母體平均數（記為 $\mu$ 或 $E[X]$），離散型定義為 $E[X] = \sum x P(X=x)$，連續型定義為 $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$。
• 解析：期望值代表長期觀察下的加權平均水準，物理意義等同於機率分佈的「重心」，用來指出整個分配的中心所在，故屬於集中趨勢。
• 分類：集中

(二) 全距（Range）

• 統計意義：一組數據中最大值與最小值之差，記為 $R = X_{\max} - X_{\min}$。
• 解析：全距僅由兩端極端值決定，直接量測整組資料展開的最外側寬度與跨距，反映數據的散布範圍，故屬於分散趨勢。
• 分類：分散

(三) 標準差（Standard Deviation）

核心觀念

這是同一批 12 位學生補習前、後的成績比較，資料具有配對關係，應先計算每位學生的成績差，再以配對樣本 $t$ 方法推論平均成績差。令

若平均差 $\mu_d>0$，代表補習後平均成績提升。

解題方法

逐一計算補習後減補習前的差：

因此：

差值的樣本變異數與標準差為：

自由度為 $n-1=11$。95% 單邊信賴區間使用 $t_{0.95,11}=1.796$。

（一）95% 單邊信賴區間

核心觀念

本題評量品質管制中休哈特計數值管制圖（Shewhart Attribute Control Charts）​的分類架構、統計量定義與機率模型對應：

1. 計件管制圖（Defective / Nonconforming）：檢驗項目為「是否合格」的二元結果（符合白努利試驗，Bernoulli trial）。

• 令 $X_i \in \{0, 1\}$，若晶片為破片（不合格品）則 $X_i = 1$，否則 $X_i = 0$。$X_i \sim \operatorname{Bernoulli}(p)$。
• $np$ 管制圖（不合格品數管制圖）：以固定樣本大小 $n$ 中的「不合格品總數」為監控統計量。
• $p$ 管制圖（不合格品率管制圖）：以樣本中的「不合格品比率」為監控統計量。

2. 計點管制圖（Defects / Nonconformities）：檢驗項目為單位檢驗體上的「缺點總數」（符合卜瓦松過程，Poisson process）。

• 令 $Z_i$ 為晶片 $i$ 上的總缺點數，$Z_i \sim \operatorname{Poisson}(\lambda)$。
• $c$ 管制圖（缺點數管制圖）：以固定檢驗規格大小下的「總缺點數」為監控統計量。
• $u$ 管制圖（單位缺點數管制圖）：以樣本「平均每單位缺點數」為監控統計量。

解題方法

已知每個檢驗時間點抽取 $n = 3$ 個晶片進行檢驗，個別晶片標記為 $i = 1, 2, 3$。

(一) $np$ Chart（不合格品數管制圖）

• 定義：監控每個檢驗時間點在樣本數 $n=3$ 個晶片中出現的「破片總數」。
• 推導：破片總數即為個別晶片破片指標變數之總和： $Y_{np} = \sum_{i=1}^3 X_i = X_1 + X_2 + X_3$
• 特性：$Y_{np} \sim \operatorname{Binomial}(n=3, p)$。

(二) $p$ Chart（不合格品率管制圖）

• 定義：監控每個檢驗時間點樣本中的「破片比率」（不合格品率）。
• 推導：樣本破片率即為破片總數除以抽驗樣本數 $n=3$： $Y_p = \frac{1}{3}\sum_{i=1}^3 X_i = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}$
• 特性：$E(Y_p) = p$，$\operatorname{Var}(Y_p) = \frac{p(1-p)}{3}$。

(三) $c$ Chart（缺點數管制圖）

• 定義：監控每個時間點抽取的固定檢驗樣本（$n=3$ 個晶片集合）上所發生的「缺點總數」。
• 推導：將該時間點抽檢的 3 個晶片上所發生的缺點數加總：

核心觀念

本題考查二水準因子實驗中，因子效用估計表的 Effect、Coef、T、P 之間的關係：

• 二水準因子的效應估計為迴歸係數的兩倍：$\text{Effect}=2(\text{Coef})$。
• $t$ 統計量為估計係數除以其標準誤：$t=\dfrac{\text{Coef}}{\text{SE Coef}}$。
• $P$ 值由 $t$ 分配計算。本題殘差自由度為 $4$，雙尾檢定的 $P$ 值為 $2P(T_4\geq |t|)$。

解題方法與計算

表 2 中三個因子的標準誤皆為 $8.097$。

因此，①～⑨依序為：