109 高普考普通考試 工業工程 工程統計學與品質管制概要 考古題詳解

109 年・高普考・普通考試・工業工程
試題代碼 工程統計學與品質管制概要

第 一 題25 分

為分析市售兩個廠牌產品重量的差異，經抽樣 2020 件 A 廠牌的產品與 1818 件 B 廠牌的產品比較，結果如下表：

廠牌樣本數平均重量樣本標準差
A203238
B183309

假設兩個廠牌產品的重量均呈常態分配，當顯著水準為 5%5\% 時，請檢定兩個廠牌的產品重量是否有差異？

已知： F18,20,0.05=2.152F_{18,20,0.05}=2.152、F17,19,0.05=2.198F_{17,19,0.05}=2.198、F20,18,0.05=2.191F_{20,18,0.05}=2.191、F19,17,0.05=2.243F_{19,17,0.05}=2.243；

F18,20,0.025=2.501F_{18,20,0.025}=2.501、F17,19,0.025=2.567F_{17,19,0.025}=2.567、F20,18,0.025=2.559F_{20,18,0.025}=2.559、F19,17,0.025=2.633F_{19,17,0.025}=2.633；

t0.05,30=1.697t_{0.05,30}=1.697、t0.025,30=2.042t_{0.025,30}=2.042、t0.05,40=1.684t_{0.05,40}=1.684、t0.025,40=2.021t_{0.025,40}=2.021。

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核心觀念

本題以兩個獨立常態母體的樣本，檢定兩廠牌產品的平均重量是否不同。採用雙尾檢定，顯著水準為 α=0.05\alpha=0.05。

合併變異數 tt 檢定須假設兩母體變異數相等；題目只說重量呈常態分配，因此先檢定變異數是否相等，再決定平均數檢定方法。

解題方法

令 A、BA、B 分別代表兩廠牌，欲檢定：

H0:μA=μB,H1:μA≠μBH_0:\mu_A=\mu_B,\qquad H_1:\mu_A\ne\mu_B

先檢定變異數是否相等：

H0:σA2=σB2,H1:σA2≠σB2H_0:\sigma_A^2=\sigma_B^2,\qquad H_1:\sigma_A^2\ne\sigma_B^2

以較大的樣本變異數作分子：

F=sB2sA2=9282=8164=1.266F=\frac{s_B^2}{s_A^2} =\frac{9^2}{8^2} =\frac{81}{64} =1.266

自由度為分子 18−1=1718-1=17、分母 20−1=1920-1=19。雙尾檢定的上側臨界值為 F17,19,0.025=2.567F_{17,19,0.025}=2.567。因為 1.266<2.5671.266<2.567，不拒絕變異數相等的假設，接著使用合併變異數 tt 檢定。

合併變異數估計為：

sp2=(nA−1)sA2+(nB−1)sB2nA+nB−2=19(64)+17(81)36=259336=72.028s_p^2 =\frac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2}{n_A+n_B-2} =\frac{19(64)+17(81)}{36} =\frac{2593}{36} =72.028
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第 二 題15 分

為了解民眾是否認同單位提升為民服務的改善措施，調查了 300300 位民眾，有 240240 位民眾認同，請求算民眾認同比率的 95%95\% 信賴區間。若希望誤差不超過正負 3%3\%，請問要調查多少位民眾才足夠？

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核心觀念

本題考查母體比例 pp 的大樣本 95%95\% 信賴區間，以及在指定誤差範圍下估計所需樣本數。樣本比例為

p^=xn,\hat p=\frac{x}{n},

其中 xx 為認同人數，nn 為受訪人數。大樣本下，比例的 95%95\% 信賴區間採用常態近似：

p^±z0.975p^(1−p^)n,\hat p \pm z_{0.975}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},

其中 z0.975=1.96z_{0.975}=1.96。

解題方法

已知 n=300n=300、x=240x=240，故樣本認同比率為

p^=240300=0.8.\hat p=\frac{240}{300}=0.8.

標準誤為

SE=0.8(1−0.8)300=0.16300≈0.02309.SE=\sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{300}} =\sqrt{\frac{0.16}{300}} \approx 0.02309.

95%95\% 信賴區間的誤差範圍為

E=1.96(SE)=1.96(0.02309)≈0.0453.E=1.96(SE)=1.96(0.02309)\approx 0.0453.

因此民眾認同比率的 95%95\% 信賴區間為

0.8±0.0453=(0.7547, 0.8453).0.8\pm0.0453=(0.7547,\ 0.8453).

換算為百分比，約為 75.47%∼84.53%75.47\%\sim84.53\%。

若要求誤差不超過正負 3%3\%，以本次調查所得的 p^=0.8\hat p=0.8 作為先驗估計，樣本數須滿足

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第 三 題25 分

某計畫案有三家廠商前來參與報告，經五位評審評分後如下表：

廠商＼評審12345
A9596979395
B9293969296
C9089928892

請列出假說檢定、變異數分析表，並以 α=0.05\alpha=0.05 檢定廠商間或評審間之分數是否有差異。

已知： F2,8,0.05=4.459F_{2,8,0.05}=4.459、F2,9,0.05=4.256F_{2,9,0.05}=4.256、F3,8,0.05=4.006F_{3,8,0.05}=4.006、F3,9,0.05=3.863F_{3,9,0.05}=3.863；

F4,8,0.05=3.838F_{4,8,0.05}=3.838、F4,9,0.05=3.633F_{4,9,0.05}=3.633、F5,8,0.05=3.688F_{5,8,0.05}=3.688、F5,9,0.05=3.482F_{5,9,0.05}=3.482。

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核心觀念

同一組五位評審都評了三家廠商，評審之間可能有寬嚴差異，因此採用隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）分析：

  • 處理因子：廠商，共 3 家。
  • 區集因子：評審，共 5 位。
  • 每位評審都評了每家廠商，故共有 3×5=153\times5=15 筆分數。

此分析分別檢定廠商平均分數是否相同，以及評審平均給分是否相同。題目沒有重複觀測，因此不另估廠商與評審的交互作用。

解題方法與假說

令 μA,μB,μC\mu_A,\mu_B,\mu_C 為三家廠商的平均分數，μ1,…,μ5\mu_1,\ldots,\mu_5 為五位評審的平均給分。

廠商效果

H0:μA=μB=μCH_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C H1:至少一家廠商的平均分數不同H_1:\text{至少一家廠商的平均分數不同}

評審效果

H0:μ1=μ2=μ3=μ4=μ5H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4=\mu_5 H1:至少一位評審的平均給分不同H_1:\text{至少一位評審的平均給分不同}

令 TiT_i 為第 ii 家廠商的分數總和，BjB_j 為第 jj 位評審的分數總和，GG 為全部分數總和。此題的平方和公式為：

SS總=∑xij2−G215SS_{\text{總}}=\sum x_{ij}^{2}-\frac{G^{2}}{15} SS廠商=∑i=13Ti25−G215,SS評審=∑j=15Bj23−G215SS_{\text{廠商}}=\sum_{i=1}^{3}\frac{T_i^{2}}{5}-\frac{G^{2}}{15}, \qquad SS_{\text{評審}}=\sum_{j=1}^{5}\frac{B_j^{2}}{3}-\frac{G^{2}}{15} SS誤差=SS總−SS廠商−SS評審SS_{\text{誤差}}=SS_{\text{總}}-SS_{\text{廠商}}-SS_{\text{評審}}

計算與變異數分析表

各廠商分數總和為 TA=476, TB=469, TC=451T_A=476,\ T_B=469,\ T_C=451；各評審分數總和為 277, 278, 285, 273, 283277,\ 278,\ 285,\ 273,\ 283；總和 G=1396G=1396。

修正項為：

G215=1396215=129921.0667\frac{G^2}{15}=\frac{1396^2}{15}=129921.0667

廠商平方和：

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第 四 題12 分

利用 Xˉ−R\bar{X}-R 管制圖管制某製程，其樣本大小 n=4n=4。主要品質特性之規格為 100±5100\pm5，在蒐集 2525 組樣本後，獲得 ∑Xˉi=2525\sum\bar{X}_i=2525 以及 ∑Ri=102.95\sum R_i=102.95。假設品質特性為常態分配，且製程已在管制狀態（in SOSC），n=4n=4 查表可得以下各係數：

A2=0.729A_2=0.729、B3=0B_3=0、B4=2.266B_4=2.266、c4=0.9213c_4=0.9213、d2=2.059d_2=2.059、D3=0D_3=0、D4=2.282D_4=2.282。

(一) 請求出 α=0.01\alpha=0.01 的平均值（Xˉ\bar{X}）管制圖之機率管制界限。（12 分）

(二) 請求出此製程之 CpC_p 及 CpkC_{pk}。（8 分）

(三) 若製程標準差增加 0.20.2 倍，且平均數移動至 102.8102.8，試計算此時平均值（Xˉ\bar{X}）管制圖之型 II 錯誤。（15 分）

附表：標準常態累加機率值表。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

本題考查 Xˉ\bar{X} 管制圖的機率管制界限、製程能力指標，以及製程平均數與標準差改變後的型 II 錯誤。

先由 25 組樣本計算總平均與平均全距：

Xˉˉ=∑Xˉi25=252525=101\bar{\bar{X}}=\frac{\sum\bar{X}_i}{25} =\frac{2525}{25}=101 Rˉ=∑Ri25=102.9525=4.118\bar{R}=\frac{\sum R_i}{25} =\frac{102.95}{25}=4.118

由 Rˉ\bar{R} 估計製程標準差：

σ^=Rˉd2=4.1182.059=2\hat{\sigma}=\frac{\bar{R}}{d_2} =\frac{4.118}{2.059}=2

解題方法

（一）α=0.01\alpha=0.01 的 Xˉ\bar{X} 管制圖機率管制界限

雙尾管制圖將總顯著水準 α=0.01\alpha=0.01 分配至兩尾，每尾為 0.0050.005。題附標準常態表給的是 P(0<Z<z)P(0<Z<z)，因此查表面積為 0.5−0.005=0.4950.5-0.005=0.495，得到 z≈2.576z\approx2.576。

樣本大小 n=4n=4，故 Xˉ\bar{X} 的標準誤為：

σ^n=24=1\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} =\frac{2}{\sqrt{4}}=1

因此：

UCLXˉ=Xˉˉ+zα/2σ^n=101+2.576(1)=103.576CLXˉ=Xˉˉ=101LCLXˉ=Xˉˉ−zα/2σ^n=101−2.576(1)=98.424\begin{aligned} UCL_{\bar{X}}&=\bar{\bar{X}}+z_{\alpha/2}\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt n} =101+2.576(1)=103.576\\ CL_{\bar{X}}&=\bar{\bar{X}}=101\\ LCL_{\bar{X}}&=\bar{\bar{X}}-z_{\alpha/2}\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt n} =101-2.576(1)=98.424 \end{aligned}

（二）CpC_p 與 CpkC_{pk}

規格上限與下限分別為 USL=105USL=105、LSL=95LSL=95。

Cp=USL−LSL6σ^=105−956(2)=0.833C_p=\frac{USL-LSL}{6\hat{\sigma}} =\frac{105-95}{6(2)} =0.833
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