108 高普考普通考試 電力工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

1. 變壓器等效電路與相量關係： 在一般變壓器負載特性計算中，激磁支路（並聯電導與電納）阻抗甚大，通常予以忽略，採用簡化串聯等效電路。 依據克希荷夫電壓定律（KVL），一次側（高壓側）折算至二次側（低壓側）之電壓相量 $\mathbf{V}'_1$ 與二次側端電壓 $\mathbf{V}_2$、負載電流 $\mathbf{I}_2$ 及等效串聯阻抗 $\mathbf{Z}_{eq2}$ 的關係為： $\mathbf{V}'_1 = \mathbf{V}_2 + \mathbf{I}_2 \mathbf{Z}_{eq2}$ 實際高壓側電壓大小 $V_1$ 為二次側折算值乘上匝數比 $a$： $V_1 = a \cdot |\mathbf{V}'_1| \quad \left(a = \frac{V_{1,rated}}{V_{2,rated}}\right)$

2. 標麼值系統（Per-Unit System）： 變壓器之串聯阻抗標麼值在一次側與二次側基準下皆相等。以額定值為基準時：

• 基準功率：$S_{base} = S_{rated} = 50\ \mathrm{kVA}$
• 二次側基準電壓：$V_{2,base} = 460\ \mathrm{V}$
• 一次側基準電壓：$V_{1,base} = 2400\ \mathrm{V}$ 在標麼系統中，相量方程式表示為： $\mathbf{V}_{1,pu} = \mathbf{V}_{2,pu} + \mathbf{I}_{pu} \mathbf{Z}_{eq,pu}$ 高壓側實際電壓即為：$V_1 = |\mathbf{V}_{1,pu}| \times V_{1,base}$。

3. 電壓調整率（Voltage Regulation, VR）定義： 標準電機機械定義是以二次側端電壓為基準： $\mathrm{VR} = \frac{V_{2,NL} - V_{2,FL}}{V_{2,FL}} \times 100\% = \frac{|\mathbf{V}'_1| - V_2}{V_2} \times 100\% = \frac{|\mathbf{V}_{1,pu}| - V_{2,pu}}{V_{2,pu}} \times 100\%$ 其中 $V_{2,NL}$ 為負載切除後的二次側無載電壓（即高壓側維持在 $V_1$ 時，二次側呈現的開路電壓 $|\mathbf{V}'_1|$），$V_{2,FL}$ 為當前滿載或負載運轉時之二次側端電壓 $V_2$。

解題方法

本題推薦使用「標麼法」求解，計算簡潔且不易發生單位折算錯誤；文末亦附上「實體值法」以便對照驗證。

【方法一：標麼法（推薦首選）】

1. 選定基準值： $S_{base} = 50\ \mathrm{kVA}, \quad V_{2,base} = 460\ \mathrm{V}, \quad V_{1,base} = 2400\ \mathrm{V}$ 匝數比 $a = \frac{2400}{460} = \frac{120}{23} \approx 5.2174$

2. 將負載端電氣量轉為標麼值：

• 二次側端電壓標麼值（設為參考相角 $0^\circ$）： $\mathbf{V}_{2,pu} = \frac{440\ \mathrm{V}}{460\ \mathrm{V}} \angle 0^\circ = \frac{22}{23} \angle 0^\circ \approx 0.95652 \angle 0^\circ\ \text{pu}$
• 負載視在功率： $S_L = \frac{P_L}{\cos\theta} = \frac{35\ \mathrm{kW}}{0.8} = 43.75\ \mathrm{kVA}$
• 負載電流大小標麼值： $I_{pu} = \frac{S_{L,pu}}{V_{2,pu}} = \frac{43.75 / 50}{440 / 460} = \frac{0.875}{0.95652} = \frac{161}{176} \approx 0.91477\ \text{pu}$
• 由於功率因數為 $0.8$ 滯後（$\theta = -\cos^{-1}(0.8) \approx -36.87^\circ$），電流相量為： $\mathbf{I}_{pu} = 0.91477 \angle -36.87^\circ\ \text{pu} = 0.91477 \times (0.8 - j0.6) = 0.73182 - j0.54886\ \text{pu}$

3. 計算等效阻抗壓降與高壓側電壓（標麼值）： 給定等效阻抗 $\mathbf{Z}_{eq,pu} = 0.03 + j0.04 = 0.05 \angle 53.13^\circ\ \text{pu}$。 阻抗壓降 $\Delta \mathbf{V}_{pu}$ 為： $\Delta \mathbf{V}_{pu} = \mathbf{I}_{pu} \mathbf{Z}_{eq,pu} = (0.91477 \angle -36.87^\circ) \times (0.05 \angle 53.13^\circ) = 0.045739 \angle 16.26^\circ\ \text{pu}$ 化為直角座標： $\Delta \mathbf{V}_{pu} = 0.045739 \times (\cos 16.26^\circ + j\sin 16.26^\circ) = 0.043909 + j0.012807\ \text{pu}$ 高壓側電壓標麼值： $\mathbf{V}_{1,pu} = \mathbf{V}_{2,pu} + \Delta \mathbf{V}_{pu} = 0.956522 + (0.043909 + j0.012807) = 1.000431 + j0.012807\ \text{pu}$ 取大小： $|\mathbf{V}_{1,pu}| = \sqrt{(1.000431)^2 + (0.012807)^2} = \sqrt{1.000862 + 0.000164} \approx 1.000513\ \text{pu}$

4. 計算高壓側實際電壓 $V_1$： $V_1 = |\mathbf{V}_{1,pu}| \times V_{1,base} = 1.000513 \times 2400\ \mathrm{V} \approx 2401.23\ \mathrm{V}$

5. 計算電壓調整率（Voltage Regulation）： 依定義代入標麼值計算：

核心觀念

本題主要測驗三相感應電動機之「交流功率三角形關係」、「功率潮流分佈（Power Flow）」、「電磁轉矩」與「運轉效率」的計算能力，涉及以下核心觀念與定義式：

1. 三相交流電功率關係：

• 總視在功率：$S_{in} = \sqrt{3} V_L I_L$
• 功率三角形畢氏定理：$S_{in}^2 = P_{in}^2 + Q_{in}^2 \implies P_{in} = \sqrt{S_{in}^2 - Q_{in}^2}$
• 功率因數：$\mathrm{PF} = \cos\theta = \frac{P_{in}}{S_{in}}$（感應電動機一般呈電感性負載，功因為落後）

2. 感應機轉速與轉差率（Slip）：

• 同步轉速：$n_s = \frac{120f}{P}$（$\mathrm{rpm}$）
• 同步角速度：$\omega_s = \frac{2\pi n_s}{60}$（$\mathrm{rad/s}$）
• 轉差率：$s = \frac{n_s - n_r}{n_s}$

3. 感應電動機功率潮流圖： $P_{in} \xrightarrow{- P_{cu1}} P_{ag} \xrightarrow{- P_{cu2}} P_{dev} \xrightarrow{- P_{rot}} P_{out}$

• 定子銅損：$P_{cu1} = 3 I_1^2 r_1$（Y 接時相電流 $I_1 = I_L$）
• 氣隙功率（Air-gap Power）：$P_{ag} = P_{in} - P_{cu1}$（本題未給定鐵損，依慣例視為忽略或已包含於旋轉損中）
• 轉子銅損：$P_{cu2} = s P_{ag}$
• 內生機械功率（Developed Power）：$P_{dev} = (1 - s) P_{ag} = P_{ag} - P_{cu2}$
• 機械輸出功率（負載功率）：$P_{out} = P_{dev} - P_{rot}$

4. 電磁轉矩（Electromagnetic Torque / Developed Torque）： $T_{dev} = \frac{P_{ag}}{\omega_s} = \frac{P_{dev}}{\omega_m}$
5. 電動機效率： $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\%$

解題方法

(一) 求輸入總實功率 $P_{in}$ 及功率因數 $\mathrm{PF}$

1. 計算輸入總視在功率 $S_{in}$： 電動機為三相 Y 接，已知額定線電壓 $V_L = 220\ \mathrm{V}$，線電流 $I_L = 25\ \mathrm{A}$： $S_{in} = \sqrt{3} V_L I_L = \sqrt{3} \times 220 \times 25 = 5500\sqrt{3} \approx 9526.28\ \mathrm{VA}$

2. 計算輸入總實功率 $P_{in}$： 已知輸入總虛功率 $Q_{in} = 5\ \mathrm{kVAR} = 5000\ \mathrm{VAR}$，利用功率三角形關係求實功率： $P_{in} = \sqrt{S_{in}^2 - Q_{in}^2} = \sqrt{(5500\sqrt{3})^2 - 5000^2} = \sqrt{90750000 - 25000000} = \sqrt{65750000} \approx 8108.64\ \mathrm{W} \approx 8.11\ \mathrm{kW}$

3. 計算功率因數 $\mathrm{PF}$： $\mathrm{PF} = \cos\theta = \frac{P_{in}}{S_{in}} = \frac{8108.64}{9526.28} \approx 0.8512\ \text{（落後，Lagging）}$

(二) 求機械負載的功率 $P_{out}$、電磁轉矩 $T_{dev}$ 及電動機效率 $\eta$

1. 計算同步轉速 $n_s$ 與轉差率 $s$：

• 極數 $P = 6$、電源頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$： $n_s = \frac{120 \times 60}{6} = 1200\ \mathrm{rpm}$
• 轉子實際轉速 $n_r = 1160\ \mathrm{rpm}$，其轉差率為： $s = \frac{n_s - n_r}{n_s} = \frac{1200 - 1160}{1200} = \frac{40}{1200} = \frac{1}{30} \approx 0.0333$

2. 計算定子銅損 $P_{cu1}$ 與氣隙功率 $P_{ag}$：

• 三相 Y 接中，定子相電流等於線電流 $I_1 = I_L = 25\ \mathrm{A}$，每相電阻 $r_1 = 0.2\ \Omega$： $P_{cu1} = 3 \times I_1^2 \times r_1 = 3 \times (25)^2 \times 0.2 = 3 \times 625 \times 0.2 = 375\ \mathrm{W}$
• 經氣隙傳遞至轉子的氣隙功率為： $P_{ag} = P_{in} - P_{cu1} = 8108.64 - 375 = 7733.64\ \mathrm{W}$

核心觀念

本題評量三相非凸極型（圓柱型轉子）同步電動機在穩態操作下的基本特性與電路分析，核心觀念包含：

1. 同步轉速與機械轉矩：

• 同步轉速公式：$n_s = \frac{120f}{P}$（$\mathrm{rpm}$）。
• 轉矩與功率之關係：$P = T \cdot \omega_m$，其中 $\omega_m = \frac{2\pi n_s}{60}$（$\mathrm{rad/s}$）。因題目說明忽略電樞電阻及內部損失，故輸入電磁功率等於機械輸出功率（$P_{\text{dev}} = P_{\text{mech}}$）。

2. 三相 Y 接之電壓與電流關係：

• 線電壓 $V_L$ 與相電壓 $V_\phi$ 關係為 $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}}$。
• 線電流 $I_L$ 等於相電流（電樞電流）$I_a$。

3. 同步電動機的等效電路與功率方程式：

• 忽略電樞電阻（$R_a = 0$）時，相量電壓方程式為： $\vec{V}_\phi = \vec{E}_f + jX_s \vec{I}_a \implies \vec{I}_a = \frac{\vec{V}_\phi - \vec{E}_f}{jX_s}$
• 三相實功率方程式與轉矩角（功率角）$\delta$ 之關係： $P = 3 \frac{V_\phi E_f}{X_s} \sin\delta = \frac{\sqrt{3} V_L E_f}{X_s} \sin\delta$
• 激磁狀態與功率因數：當感應電勢 $E_f > V_\phi$ 且負載角固定時，電動機多處於過激磁（Over-excited）狀態，輸入電流超前端電壓（Leading PF），電動機對系統等效呈現電容性，提供虛功率（或吸收負虛功率）。

解題方法

(一) 求轉速及機械負載轉矩

1. 計算同步轉速 $n_s$： 極數 $P = 12$、頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$，同步電動機之運轉轉速必為同步轉速： $n_s = \frac{120 \times 60}{12} = 600\ \mathrm{rpm}$

2. 計算機械角速度 $\omega_m$： $\omega_m = \frac{2\pi n_s}{60} = \frac{2\pi \times 600}{60} = 20\pi \approx 62.83\ \mathrm{rad/s}$

3. 計算機械負載轉矩 $T_{\text{mech}}$： 已知機械輸出功率 $P_{\text{mech}} = 10\ \mathrm{kW} = 10000\ \mathrm{W}$，忽略所有損失時，$T_{\text{mech}} = \frac{P_{\text{mech}}}{\omega_m}$： $T_{\text{mech}} = \frac{10000}{20\pi} = \frac{500}{\pi} \approx 159.15\ \mathrm{N\cdot m}$

(二) 求輸入電流、功率因數及總虛功率

1. 計算相電壓與轉矩角 $\delta$：

• Y 接電源之電樞端相電壓大小為： $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}} = \frac{220}{\sqrt{3}} \approx 127.02\ \mathrm{V}$
• 感應電勢相電壓已知為 $E_f = 188\ \mathrm{V}$。
• 忽略損失時，三相輸入實功率等於機械功率 $P = 10\ \mathrm{kW}$： $P = 3 \times \frac{V_\phi E_f}{X_s} \sin\delta$ $10000 = 3 \times \frac{\left(\frac{220}{\sqrt{3}}\right) \times 188}{2.5} \sin\delta = \frac{\sqrt{3} \times 220 \times 188}{2.5} \sin\delta$ $\sin\delta = \frac{10000 \times 2.5}{\sqrt{3} \times 41360} = \frac{25000}{71637.6} \approx 0.3490$
• 求得轉矩角 $\delta$ 及對應餘弦值： $\delta = \arcsin(0.3490) \approx 20.43^\circ$ $\cos\delta = \sqrt{1 - \sin^2\delta} = \sqrt{1 - 0.3490^2} \approx 0.9371$

2. 相量法計算電樞電流 $\vec{I}_a$： 以端相電壓為參考相量 $\vec{V}_\phi = 127.02 \angle 0^\circ\ \mathrm{V}$。

核心觀念

本題評量永磁式直流電動機（PMDC Motor）​之等效電路分析、參數萃取及運轉特性計算，核心依據下列原理與公式：

1. 電樞電壓方程式： $V_t = E_a + I_a R_a$ 其中 $V_t$ 為端電壓、$E_a$ 為反電動勢、$I_a$ 為電樞電流、$R_a$ 為電樞電阻。
2. 反電動勢與轉速關係： 因永磁式磁場磁通 $\Phi$ 為定值，反電動勢正比於旋轉速度： $E_a = K_E n = k_\phi \omega_m$ 其中 $n$ 為轉速（$\mathrm{rpm}$），$\omega_m = \frac{2\pi n}{60}$ 為機械角速度（$\mathrm{rad/s}$），$K_E$ 與 $k_\phi$ 分別為對應單位之電動勢常數。
3. 電磁轉矩與電流關係： $T = k_\phi I_a = \frac{P_{\text{em}}}{\omega_m}$ 磁通固定下，電磁轉矩與電樞電流成正比（$T \propto I_a$）。
4. 功率轉換與效率：

• 輸入電功率：$P_{\text{in}} = V_t I_a$
• 電磁轉換功率（內生機械功率）：$P_{\text{em}} = E_a I_a = T \omega_m$
• 題目明確標明「忽略旋轉損失」，故輸出機械功率等於電磁功率（$P_{\text{out}} = P_{\text{em}}$），電動機效率為： $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\% = \frac{E_a I_a}{V_t I_a} \times 100\% = \frac{E_a}{V_t} \times 100\%$

解題方法

步驟零：由測試數據萃取電動機參數

1. 求電樞電阻 $R_a$（堵轉測試）： 當轉速 $n = 0$ 時，反電動勢 $E_a = 0$。輸入電壓 $V_t = 12\ \mathrm{V}$，堵轉電流 $I_a = 10\ \mathrm{A}$： $R_a = \frac{V_t}{I_a} = \frac{12}{10} = 1.2\ \Omega$

2. 求反電動勢常數（無載測試）： 在 $V_t = 12\ \mathrm{V}$ 下，無載轉速 $n_0 = 2400\ \mathrm{rpm}$，且無載電流 $I_{a0} \approx 0$： $E_{a0} = V_t - I_{a0} R_a = 12 - 0 = 12\ \mathrm{V}$ 反電動勢常數 $K_E$ 為： $K_E = \frac{E_{a0}}{n_0} = \frac{12\ \mathrm{V}}{2400\ \mathrm{rpm}} = 0.005\ \mathrm{V/rpm}$ 對應之角速度常數 $k_\phi$（轉矩常數）： $\omega_{m0} = \frac{2\pi \times 2400}{60} = 80\pi\ \mathrm{rad/s}$ $k_\phi = \frac{E_{a0}}{\omega_{m0}} = \frac{12}{80\pi} = \frac{3}{20\pi}\ \mathrm{V\cdot s/rad}\ (\text{或}\ \mathrm{N\cdot m/A})$

(一) 計算電樞電流及電磁轉矩

1. 求負載下之反電動勢 $E_a$： 當輸入電壓 $V_t = 12\ \mathrm{V}$，轉速 $n = 2100\ \mathrm{rpm}$： $E_a = K_E n = 0.005 \times 2100 = 10.5\ \mathrm{V}$

2. 求電樞電流 $I_a$： $I_a = \frac{V_t - E_a}{R_a} = \frac{12 - 10.5}{1.2} = \frac{1.5}{1.2} = 1.25\ \mathrm{A}$

3. 求電磁轉矩 $T$： 轉速 $n = 2100\ \mathrm{rpm}$ 之角速度為：