109 年高普考普通考試統計考古題與詳解

Question 1

一、下列是關於條件機率、常態分配及隨機變數之期望值的問題：

（一）假定在一跟腦部有關疾病流行期間，共有 3 種可能型：A 型、B 型及 C 型的肺部疾病。其中染病病人得病機率分別是得 A 型肺部疾病機率為 $0.6$ 、B 型肺部疾病機率為 $0.3$ ，而 C 型肺部疾病機率為 $0.1$ 。這三型肺部相關疾病皆可能有發燒及咳嗽的症狀，其中 A 型病人中 $20\%$ 有發燒症狀，B 型病人中 $60\%$ 有發燒症狀，而 C 型病人中 $80\%$ 有發燒症狀；而且 $50\%$ 的 A 型病人有咳嗽症狀， $35\%$ 的 B 型病人有咳嗽症狀， $25\%$ 的 C 型病人有咳嗽症狀。現有一染病病人有發燒症狀，請分別算出此病人得這三型肺部疾病的機率並決定這病人最可能得那一型的肺部疾病。

（二）某一大型家電公司其某款售出產品之可用時間服從一平均值為 $\mu$ （年）且變異數為 $2.25$ （年 $^2$ ）的常態分配。已知此產品可用超過 5 年的機率為 $0.025$ ，請算出 $\mu$ 的值及此產品可用時間不超過 6 個月的機率。

（三）一家口罩廠商得到一筆從某政局不穩定國家所下總值 5 千萬元的訂單，給定有 $0.7$ 的機率此廠商可收到此 5 千萬元訂單付款，有 $0.15$ 的機率僅可收到 3 千萬元付款，有 $0.1$ 的機率僅可收到 1 千萬元付款，有 $0.05$ 的機率收不到任何付款。為保險起見，此廠商投保某一意外險，並先支付 1 千萬元保費，承保之保險公司將支付此公司應收款項不足的任何差額。如果隨機變數 $X$ 代表此口罩廠商最終在此投保所花費或賺到的金額，請算出 $X$ 的期望值 $E(X)$ 。

Accepted Answer

核心觀念：貝氏定理 令 $A、B、C$ 分別代表病人罹患 A 型、B 型、C 型肺部疾病，令 $F$ 代表病人有發燒症狀。題目給的是各疾病型別的先驗機率，以及在各型疾病下發燒的條件機率。要求的是已知發燒後罹患各型疾病的機率，須使用貝氏定理： $$ P(A\mid F)=\frac{P(F\mid A)P(A)}{P(F)} $$ 其中 $P(F)$ 由全機率公式計算： $$ P(F)=P(F\mid A)P(A)+P(F\mid B)P(B)+P(F\mid C)P(C) $$ 解題方法與計算 先計算有發燒的總機率： $$ P(F)=(0.2)(0.6)+(0.6)(0.3)+(0.8)(0.1) =0.12+0.18+0.08=0.38 $$ 因此： $$ P(A\mid F)=\frac{(0.2)(0.6)}{0.38} =\frac{6}{19}\approx 0.3158 $$ $$ P(B\mid F)=\frac{(0.6)(0.3)}{0.38} =\frac{9}{19}\approx 0.4737 $$ $$ P(C\mid F)=\frac{(0.8)(0.1)}{0.38} =\frac{4}{19}\approx 0.2105 $$ 三者合計為 $1$。雖然 C 型疾病患者發燒的比例最高，但考慮各型疾病原本的機率後，病人最可能罹患的是 B 型。 題目提供的咳嗽比例與本小題的條件無關，因為已知資訊只有病人發燒，故不需使用咳嗽資料。 解題技巧 先分清楚題目要的是 $P(F\mid A)$（已知疾病型別後發燒的機率），還是 $P(A\mid F)$（已知發燒後罹患該疾病的機率）。兩者條件方向不同，不能直接互換；由症狀反推疾病時，須乘上疾病的先驗機率，再除以症狀的總機率。 （二）常態分配的平均數與不超過半年之機率 核心觀念：常態分配標準化 令產品可用時間為 $T$，題目給定 $T\sim N(\mu,2.25)$，所以標準差為： $$ \sigma=\sqrt{2.25}=1.5	ext{ 年} $$ 將 $T$ 標準化後，可使用標準常態分配的分位數計算機率。 解題方法與計算 已知產品可用超過 5 年的機率為 $0.025$： $$ P(T5)=0.025 $$ 因此 $P(T\leq 5)=0.975$。標準常態分配第 $97.5$ 百分位數為 $z{0.975}=1.96$，故： $$ \frac{5-\mu}{1.5}=1.96 $$ 解得： $$ \mu=5-1.96(1.5)=2.06	ext{ 年} $$ 產品可用時間不超過 6 個月，即 $T\leq 0.5$ 年。標準化得：

Question 2

二、下列是關於資料集中趨勢、分散趨勢及相對位置之統計量的問題：

（一）某公司欲由其 A 分公司及 B 分公司所推薦之兩人擇一來晉升主管職位。這兩家分公司員工績效成績資訊如下：

項目	A 分公司	B 分公司
績效成績 84 分在該公司之 $z$ 分數	$0.5$	$3$
績效成績 72 分在該公司之 $z$ 分數	$-2.5$	$-1$
該推薦員工在其所在分公司之績效成績	$90$	$82.5$

人事主管決定用 $z$ 分數（ $z$ score）來決定晉升人選，請問是哪一家分公司推薦的員工得以晉升並說明原因。

（二）一組樣本數為 10 且以華氏溫標為單位的溫度資料 $x_1,\ldots,x_{10}$ ，其重要資訊如下：

第 30 百分位數（30th percentile）	平均值	四分位距（interquartile range）	變異數	變異係數（coefficient of variation）
$74.3$	$81.5$	$16.2$	$76.5$	$0.11$

若以攝氏溫標為單位，即資料為

y_i=\frac{5}{9}(x_i-32),\quad i=1,\ldots,10

請算出關於攝氏溫標資料 $y_1,\ldots,y_{10}$ 的 5 個統計量：第 30 百分位數、平均值、四分位距、變異數及變異係數。

（三）一組資料其頻率分布圖呈現鐘形分布，利用經驗法則（empirical rule）可得知區間 $[12,22]$ 包含大約此組資料的 $95\%$ 資料。請利用經驗法則得到包含大約此組資料的 $68\%$ 資料之區間。

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Accepted Answer

核心觀念

本題考查 $z$ 分數、位置與分散統計量的線性轉換，以及鐘形分布的經驗法則。

$z$ 分數： $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ ，表示觀測值距離平均數幾個標準差。
資料乘以正數 $a$ 、再平移常數 $b$ 時，平均數與百分位數同樣乘以 $a$ 並平移 $b$ ；四分位距乘以 $a$ ，變異數乘以 $a^2$ 。
變異係數為標準差除以平均數，即 $\mathrm{CV}=\dfrac{s}{\bar{x}}$ 。
鐘形分布的經驗法則：平均數上下 $1$ 個標準差約含 $68\%$ 資料，上下 $2$ 個標準差約含 $95\%$ 資料。

解題方法

（一）比較兩位推薦員工的 $z$ 分數

用各分公司已知的成績與 $z$ 分數，先求出該分公司的平均數與標準差，再計算推薦員工的 $z$ 分數。

A 分公司中，84 分與 72 分的 $z$ 分數差為 $0.5-(-2.5)=3$ ，因此：

\frac{84-72}{\sigma_A}=3 \quad\Longrightarrow\quad \sigma_A=4.

由 $\dfrac{84-\mu_A}{4}=0.5$ ，得 $\mu_A=82$ 。A 分公司推薦員工的 $z$ 分數為：

z_A=\frac{90-82}{4}=2.

B 分公司中，兩個 $z$ 分數差為 $3-(-1)=4$ ，因此：

\frac{84-72}{\sigma_B}=4 \quad\Longrightarrow\quad \sigma_B=3.

由 $\dfrac{84-\mu_B}{3}=3$ ，得 $\mu_B=75$ 。B 分公司推薦員工的 $z$ 分數為：

z_B=\frac{82.5-75}{3}=2.5.

$z_B>z_A$ ，所以 B 分公司推薦員工的相對表現較高。

（二）將華氏統計量轉換為攝氏統計量

轉換式為 $y_i=\dfrac{5}{9}(x_i-32)$ ，其中乘數 $\dfrac{5}{9}$ 為正數。

第 30 百分位數與平均值依相同轉換式計算：

P_{30}(y)=\frac{5}{9}(74.3-32)=23.5, \qquad \bar{y}=\frac{5}{9}(81.5-32)=27.5.

四分位距只受尺度乘數影響：

Question 3

三、一公司利用簡單線性迴歸模式來建立其銷售額（$Y$）與所進行的廣告次數（$X$）之間的關係。給定下列 10 組資料 $(y1,x1),\ldots,(y{10},x{10})$，其中 $yi$ 為第 $i$ 個月之銷售額，而 $xi$ 為第 $i$ 個月所進行的廣告次數，根據所得之資訊： 10 筆銷售額資料 $y1,\ldots,y{10}$ 其平均值為 $130$ 而變異數為 $1748$，10 筆廣告次數資料 $x1,\ldots,x{10}$ 其平均值為 $14$，此外，銷售額資料 $y1,\ldots,y{10}$ 與廣告次數資料 $x1,\ldots,x{10}$ 其共變異數為 $316$，利用最小平方法（least squares method）所得估計迴歸關係式為 $$ Y=60+5X。 $$ （一）若第 3 個月的銷售額為 $y3=88$ 而所進行的廣告次數為 $x3=8$，試算出此月銷售額的配適值（fitted value）及殘差值（residual）。 （二）算出判定係數（coefficient of determination）$R^2$ 及銷售額資料 $y1,\ldots,y{10}$ 與廣告次數資料 $x1,\ldots,x{10}$ 的相關係數。 （三）在顯著水準 $\alpha=0.05$，利用 $t$ 檢定法檢定是否廣告次數會影響銷售額，即檢定迴歸之線性關係式的斜率是否為 $0$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查簡單線性迴歸中的配適值與殘差、判定係數與相關係數，以及迴歸斜率的 $t$ 檢定。 簡單線性迴歸式為 $\hat Y=b0+b1X$。對第 $i$ 筆資料，配適值為 $\hat yi=b0+b1xi$，殘差為 $ei=yi-\hat yi$。判定係數 $R^2$ 表示迴歸模型解釋銷售額總變異的比例；在含截距的簡單線性迴歸中，$R^2=r{XY}^2$，其中 $r{XY}$ 為 $X$ 與 $Y$ 的相關係數。 檢定斜率時，虛無假設為 $H0:\beta1=0$，對立假設為 $H1:\beta1
e 0$。在簡單線性迴歸假設成立下，檢定統計量服從自由度 $n-2$ 的 $t$ 分配。 （一）配適值與殘差 題目給定估計迴歸式 $\hat Y=60+5X$。第 3 個月廣告次數為 $x3=8$，因此配適銷售額為 $$ \hat y3=60+5(8)=100。 $$ 殘差定義為實際值減配適值，故 $$ e3=y3-\hat y3=88-100=-12。 $$ （二）判定係數與相關係數 以樣本變異數與共變異數計算斜率時，分母、分子使用相同的 $n-1$ 因子，因此可直接用題目所給的變異數與共變異數求相關係數： $$ r{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{sXsY} =\frac{316}{\sqrt{1748\,sX^2}}。 $$ 不過，題目未提供 $X$ 的變異數 $sX^2$。因此無法單由題目明列的平均數、$Y$ 的變異數及共變異數，直接求出相關係數或 $R^2$。可利用含截距最小平方法迴歸的斜率關係式補足： $$ b1=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{Var}(X)}。 $$ 由 $b1=5$ 及 $\operatorname{Cov}(X,Y)=316$ 得 $$ \operatorname{Var}(X)=\frac{316}{5}=63.2。 $$ 因此 $$ r{XY} =\frac{316}{\sqrt{63.2(1748)}} \approx 0.950。 $$ 含截距的簡單線性迴歸有 $R^2=r{XY}^2$，故 $$ R^2\approx (0.950)^2\approx 0.902。 $$ 也就是說，廣告次數與銷售額的線性迴歸約能解釋銷售額總變異的 $90.2\%$。 （三）斜率的 $t$ 檢定 設定雙尾檢定：

Question 4

四、下列是關於母體比率其估計量之抽樣分配及母體平均之檢定的問題：

（一）欲判斷某生產線每日平均產量 $\mu$ 是否不少於一定數量，對此生產線隨機取得 16 筆日產量資料，且此 16 筆日產量資料其標準差為 $3$ 。利用此組樣本及 $t$ 檢定法檢定此生產線每日平均產量 $\mu$ 是否不少於 $70$ ，即檢定

H_0:\mu\geq70\quad\text{對}\quad H_1:\mu<70，

所得之 $p$ 值（ $p$ value）為 $0.01$ 。在顯著水準 $\alpha=0.1$ ，請利用此組樣本及 $t$ 檢定法檢定每日平均產量 $\mu$ 是否不少於 $69$ ，即檢定

H_0:\mu\geq69\quad\text{對}\quad H_1:\mu<69。

（二）針對母體比率 $p$ ， $p\leq0.5$ ，利用樣本數為 $1600$ 之隨機樣本所得之樣本比率統計量 $\overline{P}$ 來估計 $p$ ，可得抽樣誤差

|\overline{P}-p|

在 $0.015$ 內的機率約為 $0.8664$ 。請算出 $p$ 的可能值及當樣本數為 $2500$ 時， $\overline{P}$ 大於 $0.22$ 的機率。

（三）欲比較 A 廠牌儀器的平均壽命 $\mu_1$ 與 B 廠牌儀器的平均壽命 $\mu_2$ 之差異。隨機抽樣 7 台 A 廠牌儀器，此 7 台 A 廠牌儀器壽命平均值為 $10$ ；而隨機抽樣 9 台 B 廠牌儀器，此 9 台 B 廠牌儀器壽命平均值亦為 $10$ 。這 16 台儀器之壽命變異數為 $4$ 。在顯著水準 $\alpha=0.01$ ，請利用 $t$ 檢定法檢定

H_0:\mu_1-\mu_2\geq2\quad\text{對}\quad H_1:\mu_1-\mu_2<2。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查單一母體平均數的單尾 $t$ 檢定、母體比率的常態近似，以及兩獨立母體平均數差的合併變異數 $t$ 檢定。單尾檢定的方向由對立假設決定；若檢定統計量落在對立假設方向的拒絕域，或 $p$ 值小於顯著水準，則拒絕虛無假設。

（一）利用已知 $p$ 值轉換檢定統計量

樣本數 $n=16$ ，樣本標準差 $s=3$ ，故自由度為 $15$ ，標準誤為

\frac{s}{\sqrt n}=\frac{3}{4}=0.75。

原檢定為左尾檢定，且 $p$ 值為 $0.01$ ，因此原檢定統計量為自由度 $15$ 的左尾 $1\%$ 臨界值：

t_1=t_{15,\,0.01}\approx-2.602。

由

t_1=\frac{\overline{x}-70}{0.75}

可得樣本平均數

\overline{x}=70+(-2.602)(0.75)\approx68.049。

現在改以 $69$ 為檢定基準，檢定統計量為

t_2=\frac{\overline{x}-69}{0.75} =\frac{68.049-69}{0.75} \approx-1.268。

其左尾 $p$ 值約為 $0.112$ ，大於 $\alpha=0.1$ ，因此不拒絕 $H_0$ 。在顯著水準 $0.1$ 下，沒有足夠證據認定每日平均產量低於 $69$ ；也就是說，不能拒絕「平均產量不少於 $69$ 」的虛無假設。

（二）由抽樣誤差機率求母體比率，再算樣本比率機率

樣本比率 $\overline P$ 在大樣本下近似常態分配：

\overline P\ \dot\sim\ N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)。

已知 $n=1600$ ，且

P\left(|\overline P-p|<0.015\right)\approx0.8664。

標準常態分配中央機率約 $0.8664$ 對應 $z=1.50$ ，所以

\frac{0.015}{\sqrt{p(1-p)/1600}}=1.50。

整理得

\sqrt{p(1-p)}=\frac{0.015\sqrt{1600}}{1.50}=0.4， \qquad p(1-p)=0.16。

解二次方程 $p^2-p+0.16=0$ ，得 $p=0.2$ 或 $p=0.8$ 。題目限制 $p\leq0.5$ ，故

p=0.2。

當 $n=2500$ 時，樣本比率的標準誤為

Question 5

五、欲比較三種不同品牌的電池其平均壽命是否一致，每種品牌電池各隨機抽測 5 顆電池並記錄其壽命。這三組樣本其壽命的平均值分別為 $3$ 、 $4.5$ 及 $3.6$ ，而其壽命的標準差分別為 $1.5$ 、 $1$ 及 $1.5$ 。在顯著水準 $\alpha=0.05$ ，請利用單因子變異數分析法（one-way ANOVA）來檢定這三種品牌電池平均壽命是否一致，即檢定：

H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3

對

H_1:\mu_1、\mu_2\text{ 及 }\mu_3\text{ 並不完全相等}。

其中 $\mu_1$ 、 $\mu_2$ 及 $\mu_3$ 分別是這三種品牌電池的平均壽命。

Accepted Answer

核心觀念 本題考單因子變異數分析（one-way ANOVA），以樣本資料比較三個母體平均數。檢定假設為： $$ H0:\mu1=\mu2=\mu3 $$ $$ H1:\mu1、\mu2、\mu3	ext{ 不全相等} $$ ANOVA 將總變異分解為組間變異與組內變異，並以兩者的平均平方比值作為檢定統計量： $$ F=\frac{MSB}{MSW} $$ 其中，$MSB=SSB/(k-1)$ 是組間均方，$MSW=SSW/(N-k)$ 是組內均方；$k$ 為組數，$N$ 為總樣本數。假設各組樣本獨立、母體近似常態，且各母體變異數相等。 解題方法 共有 $k=3$ 組，每組樣本數 $ni=5$，總樣本數 $N=15$。各組樣本平均數為 $3$、$4.5$、$3.6$，故總平均數為： $$ \bar{x}{..} =\frac{5(3)+5(4.5)+5(3.6)}{15} =3.7 $$ 先計算組間平方和： $$ SSB=\sum{i=1}^{3}ni(\bar{x}i-\bar{x}{..})^2 $$ $$ =5\left[(3-3.7)^2+(4.5-3.7)^2+(3.6-3.7)^2ight] =5(0.49+0.64+0.01)=5.7 $$ 各組提供的標準差是樣本標準差，組內平方和以各組樣本變異數乘以自由度 $ni-1$ 計算： $$ SSW=\sum{i=1}^{3}(ni-1)si^2 $$

Question 6

六、欲調查某種家電產品市場是否由四家廠商平均瓜分，即使使用此四家廠商之人數比率 $p_1$ 、 $p_2$ 、 $p_3$ 及 $p_4$ 皆為 $0.25$ 。一組隨機樣本其樣本數為 $n$ ，問卷結果其資訊如下：

使用家電廠商 A 人數比率為 $27\%$ ，使用家電廠商 B 人數比率為 $25\%$ ，使用家電廠商 C 人數比率為 $26\%$ ，使用家電廠商 D 人數比率為 $22\%$ 。

根據上述問卷結果，利用卡方檢定（chi-squared test）來檢定市場是否由此四家廠商平均瓜分，即檢定：

H_0:p_1=p_2=p_3=p_4=0.25

對

H_1:\text{並非 }p_1=p_2=p_3=p_4=0.25。

在顯著水準 $\alpha=0.01$ ，結果為拒絕 $H_0$ 。試求出 $n$ 最小可能值。（已知 $n$ 為 $100$ 的倍數。）

Accepted Answer

核心觀念 本題是卡方適合度檢定，用來檢驗觀察到的四家廠商使用人數比例，是否符合「四家平均瓜分市場」的理論比例。 虛無假設為 $H0:p1=p2=p3=p4=0.25$；對立假設為至少有一家廠商的使用比例不同。卡方檢定統計量為 $$ \chi^2=\sum{i=1}^{k}\frac{(Oi-Ei)^2}{Ei}, $$ 其中 $Oi$ 是第 $i$ 類的觀察人數，$Ei$ 是 $H0$ 成立時的期望人數。此處有四類，且沒有由樣本估計的額外參數，因此自由度為 $k-1=3$。 解題方法 樣本數 $n$ 為 $100$ 的倍數，題目所列百分比因此可直接換算成各廠商的觀察人數： | 廠商 | 觀察比例 | 觀察人數 $Oi$ | 虛無假設下期望人數 $Ei$ | |---|---:|---:|---:| | A | $27\%$ | $0.27n$ | $0.25n$ | | B | $25\%$ | $0.25n$ | $0.25n$ | | C | $26\%$ | $0.26n$ | $0.25n$ | | D | $22\%$ | $0.22n$ | $0.25n$ | 代入卡方統計量：

109 高普考普通考試統計統計學概要考古題詳解

第一題15 分

（二）常態分配的平均數與不超過半年之機率

第二題20 分

核心觀念

解題方法

（一）比較兩位推薦員工的 $z$ 分數

（二）將華氏統計量轉換為攝氏統計量

第三題15 分

第四題30 分

核心觀念

（一）利用已知 $p$ 值轉換檢定統計量

（二）由抽樣誤差機率求母體比率，再算樣本比率機率

第五題10 分

第六題10 分

其他考古題

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109 年高普考普通考試・其他類科的《統計學概要》

109 高普考普通考試 統計 統計學概要 考古題詳解

第 一 題15 分

（二）常態分配的平均數與不超過半年之機率

第 二 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）比較兩位推薦員工的 zzz 分數

（二）將華氏統計量轉換為攝氏統計量

第 三 題15 分

第 四 題30 分

核心觀念

（一）利用已知 ppp 值轉換檢定統計量

（二）由抽樣誤差機率求母體比率，再算樣本比率機率

第 五 題10 分

第 六 題10 分

其他考古題

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第一題15 分

第二題20 分

（一）比較兩位推薦員工的 $z$ 分數

第三題15 分

第四題30 分

（一）利用已知 $p$ 值轉換檢定統計量

第五題10 分

第六題10 分