108 高普考普通考試 技藝 圖學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查以尺規作圖求兩線段的幾何平均數。若兩線段長分別為 $a$、$b$，則以半圓和垂線作圖，可得到長度 $x$，使 $x^2=ab$。因此，邊長為 $x$ 的正方形面積，等於長、寬為 $a$、$b$ 的長方形面積。

解題方法與作圖步驟

圖（一）的長方形長 $50\ \mathrm{mm}$、寬 $30\ \mathrm{mm}$。依下列步驟以 $1:1$ 作圖：

1. 畫一直線段 $AB=80\ \mathrm{mm}$，在其上取點 $C$，使 $AC=50\ \mathrm{mm}$、$CB=30\ \mathrm{mm}$。
2. 以 $AB$ 為直徑畫半圓。
3. 過 $C$ 作 $AB$ 的垂線，交半圓於 $D$。
4. 以 $CD$ 為邊，作出正方形。

核心觀念

本題屬於工程圖學（幾何作圖）中的經典難題——「化方為圓」之近似幾何作圖（Circling the Square by Geometric Construction）。

1. 不可精確作圖原理：自 1882 年德國數學家林德曼（Lindemann）證明 $\pi$ 為超越數後，已確定無法僅以歐幾里得尺規作圖完成「化方為圓」或「化圓為方」之絕對精準作圖。因此，圖學上評定優劣的標準在於幾何作圖法的精確度（面積誤差率）以及作圖程序的規範性。
2. 題意限制重點：題目特別註明「若直接以面積換算圓之半徑者，將予以扣分」，明令禁止考生直接代數計算 $R = \sqrt{\frac{30^2}{\pi}} \approx 16.93\ \mathrm{mm}$ 後用刻度尺直接量取半徑畫圓。考生必須以純幾何作圖步驟求出半徑線段，並完整保留作圖線（輔助線）。
3. 核心幾何定理：

• 比例中項定理（射影定理）：在半圓中，直徑上任一點的垂直弦長平方等於該點所分直徑兩線段長之積（即 $h^2 = p \times q \implies h = \sqrt{p \cdot q}$）。
• 平行線截線定理：利用輔助射線等分任意已知線段。
• 圓周率之有理數逼近：採用祖沖之「約率」 $\pi \approx \frac{22}{7}$（誤差僅約 $0.04\%$），可將連續面積關係轉化為可由尺規作出的比例線段。

解題方法

要達成「面積愈相近得分愈高」的要求，首選為祖沖之約率配合比例中項作圖法（面積誤差僅 $-0.04\%$，遠優於一般幾何教科書常見之 $1.7\%$ 誤差法）。

一、 數學推導與作圖原理

設正方形邊長為 $a = 30\ \mathrm{mm}$，面積為 $A_{\text{square}} = a^2$；目標圓半徑為 $R$，面積為 $A_{\text{circle}} = \pi R^2$。 令兩者面積相等： $\pi R^2 \approx a^2 \implies R^2 \approx \frac{a^2}{\pi}$

引入祖沖之約率 $\pi \approx \frac{22}{7}$： $R^2 \approx \frac{7}{22} a^2 = a \times \left(\frac{7}{22} a\right)$

此式表明：圓半徑 $R$ 即為線段 $a$ 與線段 $\frac{7}{22}a$ 的「比例中項」。作圖策略分為兩大階段：先以平行線截線法作出線段 $\frac{7}{22}a$，再利用半圓垂線法作出比例中項 $R$。

二、 完整作圖步驟

【第一階段：求取線段 $\frac{7}{22}a$】

1. 繪出邊長 $a = 30\ \mathrm{mm}$ 之正方形 $ABCD$，並將底邊線段 $AB$ 向右水平延長。
2. 自點 $A$ 引一條任意銳角射線 $AX$。
3. 使用圓規在射線 $AX$ 上，自點 $A$ 起連續截取 22 個等長單位（每單位可取適當長度如 $3\ \mathrm{mm}$），依序定出分點，令第 7 個分點為 $P_7$，第 22 個分點為 $P_{22}$。
4. 連接線段 $P_{22}B$。
5. 過點 $P_7$ 作平行於 $P_{22}B$ 的平行線，交邊長線段 $AB$ 於點 $K$。 由平行線截線定理： $AK = \frac{7}{22} AB = \frac{7}{22} a$

【第二階段：以比例中項法求半徑 $R$】

1. 在 $AB$ 的延長線上，自點 $B$ 起向右截取線段 $BE = AK = \frac{7}{22}a$。此時共線線段 $AE = AB + BE = a + \frac{7}{22}a$。
2. 以尺規作線段 $AE$ 的垂直平分線，定出 $AE$ 的中點 $M$。
3. 以點 $M$ 為圓心、線段 $MA$（即 $\frac{AE}{2}$）為半徑，在 $AE$ 上方繪一輔助半圓。
4. 過點 $B$ 作線段 $AE$ 的垂直線，向上交半圓弧於點 $H$。 根據半圓之射影定理： $BH^2 = AB \times BE = a \times \left(\frac{7}{22}a\right) \implies BH = \sqrt{\frac{7}{22}} a \approx R$ 線段 $BH$ 即為所求之圓半徑 $R$。

【第三階段：繪製目標圓形】

1. 以正方形對角線交點 $O$（正方形中心）或任意指定點為圓心。
2. 以圓規取線段 $BH$ 之長度為半徑 $R$，繪出目標圓。
3. 正方形與目標圓輪廓線以粗實線加深，其餘作圖輔助線、射線、分點及半圓皆保留為清晰之細實線。

核心觀念

本題考查由三視圖還原立體形狀，再以等角圖表達。等角圖的三個主軸彼此相隔 $120^\circ$，垂直方向保持垂直；題目指定比例 $1:1$，各軸上的長度依實際尺寸繪製。

依圖（二）判讀，主體是平面約 $70\text{ mm}\times70\text{ mm}$、高 $30\text{ mm}$ 的塊體；俯視圖右上角為 $R10$ 圓角。頂面另有一處 $20\text{ mm}\times20\text{ mm}$ 的凹低區，深度為 $10\text{ mm}$，並由一側邊向內延伸。左側兩端各有一個 $10\text{ mm}\times10\text{ mm}$ 的凸塊，分別高出主體 $20\text{ mm}$ 與 $10\text{ mm}$。

解題方法

1. 先依俯視圖畫出 $70\text{ mm}\times70\text{ mm}$ 的底面輪廓，右上角依 $R10$ 作圓角，再沿垂直軸向上畫出主體高度 $30\text{ mm}$。
2. 在頂面依俯視圖位置，畫出 $20\text{ mm}\times20\text{ mm}$ 的凹低區。凹區底面高度是 $20\text{ mm}$，所以由頂面向下量 $10\text{ mm}$；凹區開口位置依圖（二）保留在邊緣。

核心觀念

本題考查軸測圖轉三視圖，須把立體形狀分別投影到水平、正面與側面投影面，再按比例 $1:1$ 畫出。依圖形尺寸，物體外形約為長 $80$、寬 $60$、高 $50$；圖中圓角為 $R10$，正面有圓孔，側面有自上方開口的矩形凹槽。

採第三角法配置時，俯視圖置於主視圖上方，左視圖置於主視圖左側。題目未要求標註尺寸，但作圖時仍須依原圖尺寸定比例。

解題方法

1. 先選主視圖 以有圓孔的直立面作主視圖。先畫外形，高度為 $50$，依該面的投影範圍定寬；在面上畫直徑 $30$ 的圓孔。孔上下各留 $10$，左右位置依圖示各留 $10$。圓孔在此視圖呈正圓。

2. 由主視圖向上投影俯視圖 俯視圖外框為 $80\times60$。將圓角 $R10$ 畫在圖示相鄰外側轉角處。依圖示在另一側畫出矩形凹槽：凹槽沿長度方向由端部量入 $20$，槽長 $20$，向內深 $10$；凹槽自上表面向下開口，深度為 $30$。

核心觀念

拋物線是到定點「焦點」與定線「導線」距離相等的點所形成的曲線。題圖中，$F$ 是焦點，$L$ 是導線；拋物線的軸為通過 $F$ 且垂直於 $L$ 的直線，頂點位於焦點與導線之間，且到兩者距離相等。

解題方法

1. 過焦點 $F$ 作直線垂直於導線 $L$，與 $L$ 交於 $D$。連結 $FD$，此線就是拋物線的軸。
2. 在 $FD$ 上取中點 $V$。因為 $VD=VF$，所以 $V$ 是拋物線頂點。
3. 從頂點 $V$ 朝焦點 $F$ 的方向，在軸上選取四個位置 $P_1、P_2、P_3、P_4$。通過各點畫平行於導線 $L$ 的直線。
4. 對每一條平行線，量出它到導線 $L$ 的垂直距離 $r_i$。以焦點 $F$ 為圓心、$r_i$ 為半徑畫弧，弧與該平行線的兩個交點便是拋物線上的一對點。