107 高普考高考二級 金融保險 經濟學研究 考古題詳解

核心觀念

本題為完全競爭市場結構下，結合「生產理論」與「成本理論」的經典數理推導題，核心概念包含以下四點：

1. 複合要素與完全替代性（Perfect Substitutes）：生產函數中具有線性加總關係的要素（$x_2, x_3, x_4$）彼此為完全替代，廠商成本極小化時會比較各要素的「每元邊際產量」（$\frac{MP_i}{P_{xi}}$），選取性價比最高者（角隅解）。
2. 短期成本與短期供給曲線：短期部分要素固定，由反生產函數導出變動要素需求，進而建立短期總成本（$STC$）、邊際成本（$SMC$）與平均變動成本（$AVC$）。完全競爭廠商之短期供給線為高於停止營業點（$\min AVC$）以上的邊際成本線。
3. 長期成本與規模報酬（Returns to Scale）：要素均可變動時，由成本極小化之一階條件導出最適要素比例（擴充線）。本題簡化後的生產函數為規模報酬不變（CRS），長期平均成本（$LAC$）與長期邊際成本（$LMC$）為不隨產量變動的水平常數。
4. 完全競爭長期均衡：在長期無超額利潤（$\pi=0$）的條件下，市場價格由最低長期平均成本決定（$P = \min LAC$）；市場總產量由需求決定，並由既有的同質廠商對稱均分。

解題方法

第一部分：推導廠商的短期供給函數

步驟一：化簡短期生產函數 短期要素固定為 $x_2 = 8, x_3 = 8, x_4 = 8$。 令括號項為 $Z = x_2 + \frac{3}{4}x_3 + \frac{1}{4}x_4$，代入固定值： $Z = 8 + \frac{3}{4}(8) + \frac{1}{4}(8) = 8 + 6 + 2 = 16$ 個別廠商之短期生產函數為： $q = x_1^{0.5} \cdot (16)^{0.5} = 4x_1^{0.5}$ 解出要素 $x_1$ 之短期需求函數： $x_1^{0.5} = \frac{q}{4} \implies x_1 = \frac{q^2}{16}$

步驟二：建立短期成本結構 廠商各項要素支出為：

• 變動成本（$VC$）： $VC = P_{x1} \cdot x_1 = 32 \cdot \left(\frac{q^2}{16}\right) = 2q^2$
• 固定成本（$FC$）： $FC = P_{x2}x_2 + P_{x3}x_3 + P_{x4}x_4 = 8(8) + 8(8) + 8(8) = 192$
• 短期總成本（$STC$）： $STC(q) = VC + FC = 2q^2 + 192$

計算短期邊際成本（$SMC$）與平均變動成本（$AVC$）： $SMC = \frac{d(STC)}{dq} = 4q$ $AVC = \frac{VC}{q} = \frac{2q^2}{q} = 2q$

步驟三：決定個別廠商短期供給函數 在完全競爭市場中，個別廠商利潤極大化條件為 $P = SMC$，且必須滿足停業條件 $P \ge \min AVC$：

• $\min AVC$ 發生於 $q = 0$，此時 $AVC = 0$。
• 只要 $P \ge 0$，廠商皆會開工生產。

將 $P = SMC = 4q$ 反解，得個別廠商之短期供給函數： $q^s = \frac{1}{4}P \quad (P \ge 0)$ （若 $P < 0$，則產量 $q^s = 0$）

第二部分：推導長期均衡之市場價格、市場交易量及個別廠商產量

步驟一：判斷長期完全替代要素之最適配置 在長期，所有生產要素 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 均可調整。 觀察 $x_2, x_3, x_4$ 在括號內的邊際產量貢獻： $MP_{x2} = \frac{\partial q}{\partial Z} \cdot 1, \quad MP_{x3} = \frac{\partial q}{\partial Z} \cdot \frac{3}{4}, \quad MP_{x4} = \frac{\partial q}{\partial Z} \cdot \frac{1}{4}$ 由於要素價格皆為 $8$（$P_{x2} = P_{x3} = P_{x4} = 8$），各要素每花費一元的邊際產量為：

核心觀念

1. 跨期純粹交換經濟（Intertemporal Pure Exchange Economy）： 經濟體系中不存在生產行為，兩名消費者 $A$ 與 $B$ 在兩期之間配置其既有的稟賦（Endowment）。艾吉沃斯盒狀圖（Edgeworth Box）的寬度與高度分別由第一期與第二期的總稟賦決定： $\omega_1 = \omega_{1A} + \omega_{1B} = 8 + 3 = 11$ $\omega_2 = \omega_{2A} + \omega_{2B} = 20 + 30 = 50$

2. 柏拉圖效率與契約曲線（Contract Curve）： 在純交換經濟中，柏拉圖最適配置（Pareto Efficiency）的內部解條件為兩人的主觀跨期邊際替代率相等： $MRS_{12}^A = MRS_{12}^B$ 契約曲線即為滿足柏拉圖最適條件的消費配置軌跡集合。

3. 競爭均衡與跨期相對價格： 在完全競爭的可貸資金市場中，消費者皆為價格接受者。設第二期財貨為計價物（Numeraire），即價格 $p_2 = 1$；則第一期財貨的相對價格為資金借貸之本利和 $p_1 = 1+r$（$r$ 為實質利率）。 均衡利率由總市場結清條件（Market Clearing Condition）決定。

解題方法

第一部分：推導契約曲線（Contract Curve）

步驟一：計算兩位消費者的邊際替代率（MRS）

• 消費者 A： 效用函數為準線性偏好（Quasi-linear Preferences）： $U_A(c_{1A}, c_{2A}) = \ln c_{1A} + c_{2A}$ 各期邊際效用分別為： $MU_{1A} = \frac{\partial U_A}{\partial c_{1A}} = \frac{1}{c_{1A}}, \quad MU_{2A} = \frac{\partial U_A}{\partial c_{2A}} = 1$ 跨期邊際替代率為： $MRS_{12}^A = \frac{MU_{1A}}{MU_{2A}} = \frac{1}{c_{1A}}$

• 消費者 B： 效用函數為柯布—道格拉斯偏好（Cobb-Douglas Preferences）： $U_B(c_{1B}, c_{2B}) = 3c_{1B}c_{2B}^2$ 各期邊際效用分別為： $MU_{1B} = \frac{\partial U_B}{\partial c_{1B}} = 3c_{2B}^2, \quad MU_{2B} = \frac{\partial U_B}{\partial c_{2B}} = 6c_{1B}c_{2B}$ 跨期邊際替代率為： $MRS_{12}^B = \frac{MU_{1B}}{MU_{2B}} = \frac{3c_{2B}^2}{6c_{1B}c_{2B}} = \frac{c_{2B}}{2c_{1B}}$

步驟二：利用市場總資源限制式推導契約曲線方程式

總資源限制條件為： $c_{1A} + c_{1B} = 11 \implies c_{1B} = 11 - c_{1A}$ $c_{2A} + c_{2B} = 50 \implies c_{2B} = 50 - c_{2A}$

柏拉圖最適內部解條件為 $MRS_{12}^A = MRS_{12}^B$： $\frac{1}{c_{1A}} = \frac{c_{2B}}{2c_{1B}} = \frac{50 - c_{2A}}{2(11 - c_{1A})}$

交叉相乘化簡： $2(11 - c_{1A}) = c_{1A}(50 - c_{2A})$ $22 - 2c_{1A} = 50c_{1A} - c_{1A}c_{2A}$ $c_{1A}c_{2A} = 52c_{1A} - 22$ $c_{2A} = 52 - \frac{22}{c_{1A}}$

步驟三：確定合理消費區間（非負消費邊界）

兩期消費均不可為負且受總稟賦限制：

1. $c_{2A} \ge 0 \implies 52 - \frac{22}{c_{1A}} \ge 0 \implies c_{1A} \ge \frac{22}{52} = \frac{11}{26}$
2. $c_{2A} \le 50 \implies 52 - \frac{22}{c_{1A}} \le 50 \implies \frac{22}{c_{1A}} \ge 2 \implies c_{1A} \le 11$

因此，內部解的契約曲線為： $c_{2A} = 52 - \frac{22}{c_{1A}} \quad \left(\text{其中 } \frac{11}{26} \le c_{1A} \le 11\right)$

第二部分：計算均衡利率（Equilibrium Interest Rate）

核心觀念

本題評量索羅新古典成長模型（Solow Neoclassical Growth Model）​納入政府部門後的動態調整與恆定狀態（Steady State）分析，核心概念涵蓋：

1. 生產函數密集形式（Per Capita Form）：將一階齊次（規模報酬不變）之總量生產函數 $Y=F(N, K)$ 轉換為人均變數 $y=f(k)$，其中 $k \equiv K/N$ 為人均資本水準、$y \equiv Y/N$ 為人均產出。
2. 國民所得恆等式與投資動能：

• 商品市場均衡條件：$Y = C + I + G$。
• 國民儲蓄等於投資：$I = S = S_p + S_g$（$S_p$ 為民間儲蓄，$S_g = T - G$ 為政府儲蓄）。

3. 資本累積方程式： $\dot{k} = i - (n + \delta)k$ 其中 $i = I/N$ 為人均實質投資，$n = \dot{N}/N$ 為勞動人口成長率，$\delta$ 為實體資本折舊率，$(n+\delta)k$ 為資本耗損與勞動稀釋項（Break-even Investment）。
4. 恆定狀態條件：$\dot{k} = 0$，此時人均實質投資等於維持人均資本所需的保證投資水準，即 $i = (n + \delta)k$。

解題方法

步驟一：轉換為人均密集形式生產函數

已知總量生產函數為： $Y = N^{0.5}K^{0.5}$ 兩邊同除以勞動人口 $N$： $y = \frac{Y}{N} = \frac{N^{0.5}K^{0.5}}{N} = \left(\frac{K}{N}\right)^{0.5} = k^{0.5}$

步驟二：情境一（政府不課徵任何稅收，$T = 0$）

1. 國民儲蓄與人均投資方程式：

• 政府不課稅，可支配所得等於總產出：$Y_d = Y - T = Y$。
• 民間儲蓄為：$S_p = s Y_d = sY$。
• 政府支出為 $G = gY$，政府儲蓄為：$S_g = T - G = 0 - gY = -gY$（政府產生財政赤字）。
• 封閉經濟體系下，國民總儲蓄等於總投資： $I = S = S_p + S_g = sY - gY = (s - g)Y$
• 兩邊同除以 $N$，得到人均投資方程式： $i = \frac{I}{N} = (s - g)\frac{Y}{N} = (s - g)y = (s - g)k^{0.5}$

2. 資本動態調整與恆定狀態均衡： 人均資本累積方程式為： $\dot{k} = (s - g)k^{0.5} - (n + \delta)k$ 在恆定狀態時，$\dot{k} = 0$（以 $k^*$ 表示恆定狀態之人均資本）： $(s - g)(k^*)^{0.5} = (n + \delta)k^*$ 兩邊同除以 $(k^*)^{0.5}$（因 $k^* > 0$）： $(k^*)^{0.5} = \frac{s - g}{n + \delta} \implies k^* = \left(\frac{s - g}{n + \delta}\right)^2$

3. 提高 $g$ 對人均資本水準之影響： 將 $k^*$ 對 $g$ 進行全微分（或偏微分）： $\frac{\partial k^*}{\partial g} = 2\left(\frac{s - g}{n + \delta}\right)\left(-\frac{1}{n + \delta}\right) = -\frac{2(s - g)}{(n + \delta)^2}$ 題目已知 $s > g$ 且提升後的 $g$ 仍小於 $s$，故 $s - g > 0$。因此： $\frac{\partial k^*}{\partial g} < 0$ 結論：在政府不課稅情況下，提高政府支出比例 $g$ 將使恆定狀態人均資本水準 $k^*$ 下降。

步驟三：情境二（政府維持預算平衡，$T = G = gY$）

1. 國民儲蓄與人均投資方程式：

• 政府維持預算平衡，故課稅金額 $T = G = gY$。
• 家計單位可支配所得為：$Y_d = Y - T = Y - gY = (1 - g)Y$。
• 依新古典模型標準設定，民間儲蓄來自於可支配所得： $S_p = s Y_d = s(1 - g)Y$
• 政府維持預算平衡，政府儲蓄為零：$S_g = T - G = 0$。
• 國民總儲蓄等於總投資： $I = S = S_p + S_g = s(1 - g)Y + 0 = s(1 - g)Y$
• 兩邊同除以 $N$，人均投資方程式為： $i = s(1 - g)y = s(1 - g)k^{0.5}$

2. 資本動態調整與恆定狀態均衡： 人均資本累積方程式為： $\dot{k} = s(1 - g)k^{0.5} - (n + \delta)k$ 在恆定狀態時，$\dot{k} = 0$（以 $k^{**}$ 表示預算平衡下恆定狀態之人均資本）：

核心觀念

本題的核心架構為開放總體經濟學中著名的 $DD\text{–}AA$ 模型（克魯曼模型，Goods Market and Asset Market Equilibrium Model），用以探討浮動匯率制度下總體經濟衝擊對產出與匯率的短期與中長期影響。核心概念與關鍵方程式如下：

1. 匯率標價慣例： 採直接標價法（Direct Quotation），匯率 $E$ 定義為「1 單位外幣所折合的本國貨幣價格」（如新台幣／美元）。因此，$E$ 下降代表本國貨幣升值（本幣升值），$E$ 上升代表本幣貶值。
2. 商品市場均衡（$DD$ 曲線）： 商品市場總需求由民間消費 $C$、投資 $I$、政府支出 $G$ 及經常帳餘額 $CA$ 構成： $Y = C(Y - T) + I(r) + G + CA\left(\frac{E P^*}{P}, Y - T\right)$ 其中實質匯率 $q = \frac{E P^*}{P}$ 衡量本國商品相對於外國商品的競爭力。當 $E$ 上升（本幣實質貶值），本國產品相對便宜，帶動淨出口改善（滿足馬歇爾–勒納條件，Marshall-Lerner Condition），總需求增加致使產出 $Y$ 上升。因此，在以產出 $Y$ 為橫軸、匯率 $E$ 為縱軸的平面上，$DD$ 曲線呈正斜率。
3. 資產市場均衡（$AA$ 曲線）： 由國內貨幣市場均衡與外匯市場均衡（無拋補利率平價條件，UIP）共同決定：

• 國內貨幣市場均衡（LM 關係）：$\frac{M}{P} = L(R, Y)$，其中貨幣需求滿足 $L_R < 0$、$L_Y > 0$。
• 外匯市場利率平價條件（UIP）：$R = R^* + \frac{E^e - E}{E}$。 聯立兩式可得資產市場總均衡條件： $\frac{M}{P} = L\left(R^* + \frac{E^e - E}{E}, Y\right)$ 當產出 $Y$ 增加，交易動機之貨幣需求上升，為使貨幣市場出清，國內利率 $R$ 必須上升；在國外利率 $R^*$ 與預期匯率 $E^e$ 固定下，依據利率平價條件，本國現期匯率 $E$ 必須即刻升值（$E$ 下降），使市場產生預期貶值心理以平衡較高的國內資產報酬。因此，$AA$ 曲線在 $(Y, E)$ 平面上呈負斜率。

4. 浮動匯率的絕緣性質（Insulation Property）： 探討名目衝擊（外國物價上漲）如何透過即期匯率的調整，完全吸收外部名目干擾，使實質經濟變數免於波動。

解題方法

1. 外生衝擊之定義與設定

• 國外物價發生一次性上漲：$\hat{P}^* = \frac{\Delta P^*}{P^*} > 0$。
• 短期內本國物價具有僵固性：$\Delta P = 0$。
• 題目給定關鍵條件：「預期匯率水準隨著國外物價上漲而呈等比例下降」，即： $\hat{E}^e = \frac{\Delta E^e}{E^e} = -\hat{P}^* < 0$

2. 曲線移動幅度之嚴密推導

(1) 資產市場均衡線（$AA$ 曲線）的位移

在產出維持於原水準 $Y_0$ 的條件下，實質貨幣供給量 $\frac{M}{P}$ 與實質貨幣需求量 $L(R, Y_0)$ 均未變動，故國內均衡利率 $R$ 維持不變。由外匯市場均衡式： $R - R^* = \frac{E^e}{E} - 1$ 在 $R$ 與 $R^*$ 皆固定不變的前提下，比值 $\frac{E^e}{E}$ 必須保持固定常數。兩邊取對數全微分： $\hat{E} = \hat{E}^e$ 代入題目條件 $\hat{E}^e = -\hat{P}^*$，可得： $\hat{E}\big|_{AA, Y=Y_0} = -\hat{P}^*$ 此結果表明：在任意給定的產出水準下，$AA$ 曲線在縱軸上垂直向下移動的幅度，恰等於國外物價上漲的比例 $\hat{P}^*$。

(2) 商品市場均衡線（$DD$ 曲線）的位移

商品市場均衡取決於總需求，而總需求中受國外物價影響的管道為實質匯率 $q = \frac{E P^*}{P}$。 若產出維持於原均衡水準 $Y_0$，則總需求亦必須維持在原水準，此要求實質匯率維持不變（$\hat{q} = 0$）： $\hat{q} = \hat{E} + \hat{P}^* - \hat{P} = 0$ 因國內物價短期僵固（$\hat{P} = 0$），故維持原商品市場均衡所需的匯率變動為： $\hat{E}\big|_{DD, Y=Y_0} = -\hat{P}^*$ 此結果表明：在原本的產出水準 $Y_0$ 處，$DD$ 曲線在縱軸上垂直向下移動的幅度，亦精確等於國外物價上漲的比例 $\hat{P}^*$（在圖形上表現為 $DD$ 曲線向右下方平移）。

3. 作圖分析與新均衡點確立