108 高普考高考二級 金融保險 經濟學研究 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗總體經濟學中附加預期的菲利浦曲線（Expectations-Augmented Phillips Curve）、理性預期假說（Rational Expectations Hypothesis, REH）​與菲利浦曲線平坦化（The Flattening of the Phillips Curve）​的實證意涵。

1. 附加預期菲利浦曲線方程式： $\pi = \alpha - \delta(u - u^*)$ 其中 $\pi$ 為實際通膨率；$\alpha$ 代表預期通膨率（$\pi^e$）；$\delta > 0$ 為通膨率對失業率缺口的敏感度（斜率絕對值）；$u$ 為實際失業率；$u^*$ 為自然失業率（Natural Rate of Unemployment）。
2. 理性預期與政策無效性命題（Policy Ineffectiveness Proposition, PIP）： 在理性預期假說下（盧卡斯批判，Lucas Critique），經濟主體在形成預期時會有效利用所有可取得的資訊，不會犯下系統性預期偏誤，即數學期望值滿足 $E[\pi] = \pi^e$。因此，任何可被預期（Anticipated）的系統性貨幣政策，均無法使實質變數（如失業率、實質產出）偏離其自然水準，貨幣在短期與長期均具中立性。
3. 菲利浦曲線斜率與犧牲比率（Sacrifice Ratio）： 參數 $\delta$ 反映名目物價對勞動市場景氣循環（鬆弛程度）的反應敏銳度。菲利浦曲線愈平坦（$\delta$ 愈小），代表降低通膨所需的犧牲比率（即降低 1 個百分點的通膨率所必須承擔的失業率上升幅度，量化為 $1/\delta$）愈高。

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解題方法

(一) 央行執行量化寬鬆（QE）對通膨率之影響推導

1. 初始均衡狀態： 題目給定目前處於自然產出狀態，即實際失業率等於自然失業率： $u = u^* = 5\%$ 此時失業率缺口為 0，代入菲利浦曲線： $\pi_0 = \alpha - 1 \times (5\% - 5\%) = \alpha = 3\%$ 在自然均衡下，實際通膨率等於民眾的預期通膨率，故初始預期通膨率 $\pi^e_0 = \alpha = 3\%$。

2. 理性預期下的政策反應與傳導機制： 央行執行量化寬鬆政策（QE），企圖透過貨幣擴張將失業率自 $5\%$ 壓低至 $3\%$。

• 預期形成：在理性預期架構下，民眾具備完全資訊並理解總體模型，知悉央行的擴張性貨幣政策與目標。民眾對通膨的預期為條件期望值： $\alpha = \pi^e = E[\pi]$
• 方程式取期望值： $E[\pi] = E[\alpha] - \delta(E[u] - u^*)$ 由於 $\alpha = E[\pi]$ 且 $\delta = 1$，兩邊消去 $E[\pi]$ 後可得： $0 = -1 \times (E[u] - u^*) \implies E[u] = u^* = 5\%$
• 政策結果分析：

1. 失業率無法下降至目標水準：根據盧卡斯與薩金特（Sargent & Wallace）的政策無效性命題，已被大眾完全預期的貨幣擴張政策無法改變實質產出與失業率，失業率最終仍維持在自然失業率 $u^* = 5\%$，央行企圖壓低至 $u = 3\%$ 的目標必定落空。
2. 通膨率將大幅攀升（純通膨效果）：央行注入的流動性會立即被民眾理性預期吸收，使預期通膨率 $\pi^e$ 與實際通膨率 $\pi$ 同步上升。短期菲利浦曲線將立即向上平行位移。
3. 執意強行壓低失業率之後果（通膨螺旋）：根據方程式，若央行執意藉由不斷擴大貨幣刺激在短期內強行實現 $u = 3\%$，則必須創造「未被預期的通膨驚喜」（Unanticipated Inflation）： $\pi - \pi^e = -\delta(u - u^*) = -1 \times (3\% - 5\%) = +2\%$

核心觀念

本題為典型之經濟成長理論題型，主要測驗考生對索羅—史旺新古典成長模型（Solow-Swan Neoclassical Growth Model）​與內生成長模型（Endogenous Growth Model）​之比較與數學推導能力：

1. 索羅新古典成長模型之穩定狀態（Steady State）：

• 生產函數具規模報酬不變（Constant Returns to Scale, CRS）與資本邊際報酬遞減（Diminishing Marginal Returns to Capital）。
• 外生技術進步率為零（$\lambda$ 為常數）時，長期每人變數（$k^*, y^*$）成長率為 $0$，總量變數（$K, Y$）成長率等於人口成長率 $n$。

2. 轉移動態（Transitional Dynamics）與收斂假說（Convergence Hypothesis）：

• 資本存量低於穩定狀態時，資本的平均產出與邊際產出上升，儲蓄投資大於維持性投資，促使每人資本與每人產出在短期內以正成長率向穩定狀態收斂。

3. 穩定狀態每人產出水準決定論：

• 穩定狀態每人產出水準僅由外生參數（儲蓄率 $s$、人口成長率 $n$、折舊率 $\delta$、技術水準 $\lambda$）決定，與體系的初期要素存量規模（$K, N$）無關。

4. 內生成長模型（知識與資本外溢效果）：

• 當個別技術水準取決於整體經濟的資本存量（$\lambda = K^{0.5}$，即 Arrow-Romer 的 Learning-by-Doing 資本外溢模型），總體生產函數對資本呈現邊際報酬不變（$AK$ 型態），打破了資本邊際報酬遞減的限制，產生顯著的規模經濟（Scale Effect）​與正向外部性。

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解題方法

(一) 穩定狀態下每人產出與總產出成長率之推導

1. 密集形式（Per-capita Form）生產函數： 給定總生產函數 $Y = \lambda N^{0.5} K^{0.5}$，兩邊同除以勞動人口 $N$： $y = \frac{Y}{N} = \lambda \left(\frac{K}{N}\right)^{0.5} = \lambda k^{0.5}$ 其中 $y$ 為每人產出，$k \equiv \frac{K}{N}$ 為每人資本。

2. 資本累積動態方程式： 每人資本之變動方程式為： $\dot{k} = s y - (n + \delta) k = s \lambda k^{0.5} - (n + \delta) k$ 在穩定狀態（Steady State）下，每人資本不再變動，即 $\dot{k} = 0$： $s \lambda (k^*)^{0.5} = (n + \delta) k^* \implies k^* = \left(\frac{s \lambda}{n + \delta}\right)^2$ 將 $k^*$ 代入每人生產函數，可得穩定狀態每人產出水準： $y^* = \lambda (k^*)^{0.5} = \frac{s \lambda^2}{n + \delta} = \text{定值}$

3. 成長率求解：

• 每人產出成長率（$g_y^*$）： 由於 $y^*$ 為由外生參數決定之常數，對時間取對數微分： $g_y^* = \frac{\dot{y}^*}{y^*} = 0 \quad (0\%)$
• 總產出成長率（$g_Y^*$）： 因總產出 $Y = y \cdot N$，其成長率為每人產出成長率與人口成長率之和： $g_Y^* = \frac{\dot{Y}^*}{Y^*} = \frac{\dot{y}^*}{y^*} + \frac{\dot{N}}{N} = 0 + n = n$
• 結論：蘇格蘭與英格蘭的外生參數（$s, n, \delta, \lambda$）均相同，故兩地在穩定狀態下的每人產出成長率皆為 $0$，總產出成長率皆為 $n$。

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(二) 資本存量毀損對短期每人產出成長率之影響評論

評述：此一說法完全正確。

1. 每人產出成長率與每人資本成長率之關係： 對每人生產函數 $y = \lambda k^{0.5}$ 兩邊取自然對數後對時間微分： $\ln y = \ln \lambda + 0.5 \ln k \implies g_y = \frac{\dot{y}}{y} = 0.5 \frac{\dot{k}}{k}$ 將 $\frac{\dot{k}}{k} = \frac{s y}{k} - (n + \delta) = s \lambda k^{-0.5} - (n + \delta)$ 代入，得： $g_y = 0.5 \left[ s \lambda k^{-0.5} - (n + \delta) \right]$

2. 災難衝擊的動態調整：

• 衝擊前（穩定狀態）：$k = k^*$，儲蓄投資恰好等於維持性投資，$s \lambda (k^*)^{-0.5} = n + \delta$，故成長率 $g_y = 0$。
• 衝擊發生瞬間：資本存量 $K$ 減半而人口 $N$ 不變，每人資本瞬間降為 $k' = 0.5 k^* < k^*$。
• 衝擊後的短期動態： 因資本邊際報酬遞減，每人資本減少會使資本的平均產出（$\frac{y}{k} = \lambda k^{-0.5}$）及邊際產出大幅提升。 此時每人儲蓄投資超過維持每人資本所需的損耗量： $s \lambda (k')^{-0.5} > s \lambda (k^*)^{-0.5} = n + \delta \implies \frac{\dot{k}}{k} > 0 \implies g_y > 0$

3. 結論： 資本毀損造成每人產出的「水準（Level）」瞬間下降，但依據新古典成長模型的轉移動態（Transitional Dynamics），經濟體將加速累積資本以向原穩定狀態收斂，使得短期的「每人產出成長率（Growth Rate）」由原本的 $0$ 躍升至大於 $0$。故題目之陳述屬實。

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(三) 外生模型下蘇格蘭脫英獨立之決策分析

1. 穩定狀態每人產出水準之比較： 由第(一)小題推導，在索羅模型中，長期穩定狀態每人產出水準為： $y^* = \frac{s \lambda^2}{n + \delta}$ 此值完全由外生結構參數（$s, n, \delta, \lambda$）決定，與最初的資本總量或人口規模無關。

核心觀念

1. 異質產品的 Bertrand 價格競爭模型（Bertrand Duopoly with Differentiated Products）： 當兩廠商生產具替代性之異質產品時，各自以「價格」（$P_A, P_B$）為決策變數進行非合作賽局。因產品具差異性，即使兩者定價不同，市場亦不會由低價者獨占，各自面對具負斜率的自身價格需求曲線及具正斜率的對手價格需求曲線（$\frac{\partial Q_i}{\partial P_i} < 0, \frac{\partial Q_i}{\partial P_j} > 0$）。
2. 廠商利潤極大化與反應函數（Reaction Function / Best-Response Function）： 廠商利潤定義為總收益扣除總成本： $\pi_i(P_i, P_j) = P_i \cdot Q_i(P_i, P_j) - C_i(Q_i) = (P_i - MC_i) \cdot Q_i(P_i, P_j)$ 給定對手價格 $P_j$ 下，廠商選擇自身價格 $P_i$ 以追求利潤極大。其一階必要條件（FOC）為： $\frac{\partial \pi_i}{\partial P_i} = 0$ 由此條件解出 $P_i$ 關於 $P_j$ 的函數關係，即為廠商 $i$ 的價格反應函數 $P_i(P_j)$。
3. Bertrand-Nash 均衡（Bertrand-Nash Equilibrium）： 兩家廠商之反應函數的交點，即聯立解出滿足雙方最適定價的均衡價格組合 $(P_A^*, P_B^*)$。

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解題方法

(一) 追求利潤極大之反應函數 $P_A(P_B)$ 與 $P_B(P_A)$

1. 廠商 A 的反應函數：

• 廠商 A 的成本函數為 $C(Q_A) = 10Q_A$，可知邊際成本 $MC_A = 10$。
• 廠商 A 的需求函數為 $Q_A = 100 - 20P_A + 15P_B$。
• 廠商 A 的利潤函數為： $\pi_A(P_A, P_B) = (P_A - 10)(100 - 20P_A + 15P_B) = -20P_A^2 + (300 + 15P_B)P_A - 150P_B - 1000$
• 利潤極大化之一階條件（FOC，對 $P_A$ 偏微分）： $\frac{\partial \pi_A}{\partial P_A} = -40P_A + 300 + 15P_B = 0$ $40P_A = 300 + 15P_B$ 整理得廠商 A 的反應函數： $P_A(P_B) = \frac{15}{2} + \frac{3}{8}P_B \quad (\text{或寫為 } P_A(P_B) = 7.5 + 0.375P_B)$
• 二階充分條件（SOC）：$\frac{\partial^2 \pi_A}{\partial P_A^2} = -40 < 0$，滿足利潤極大。

2. 廠商 B 的反應函數：

• 廠商 B 的成本函數為 $C(Q_B) = 5Q_B$，可知邊際成本 $MC_B = 5$。
• 廠商 B 的需求函數為 $Q_B = 800 + 5P_A - 15P_B$。
• 廠商 B 的利潤函數為： $\pi_B(P_A, P_B) = (P_B - 5)(800 + 5P_A - 15P_B) = -15P_B^2 + (875 + 5P_A)P_B - 25P_A - 4000$
• 利潤極大化之一階條件（FOC，對 $P_B$ 偏微分）： $\frac{\partial \pi_B}{\partial P_B} = -30P_B + 875 + 5P_A = 0$ $30P_B = 875 + 5P_A$ 整理得廠商 B 的反應函數： $P_B(P_A) = \frac{175}{6} + \frac{1}{6}P_A \quad (\text{或寫為 } P_B(P_A) \approx 29.17 + 0.167P_A)$
• 二階充分條件（SOC）：$\frac{\partial^2 \pi_B}{\partial P_B^2} = -30 < 0$，滿足利潤極大。

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(二) 達成 Bertrand-Nash 均衡狀態時各自的訂價

聯立兩廠商的一階條件方程式：

核心觀念

1. 多廠短期生產成本極小化（Multi-plant Short-run Cost Minimization）：

• 短期內資本為固定要素（$K_A=25, K_B=100$），廠商僅能透過調整各廠勞動量（$N_A, N_B$）來調整產量。
• 多廠短期成本極小化之最適產量分配原則為等邊際成本原則（Equal Marginal Cost Rule）：當兩廠皆開工生產時，各廠之短期邊際成本必須相等，即 $SMC_A(Q_A) = SMC_B(Q_B) = SMC(Q)$。
• 短期總成本由總固定成本（$TFC$）與總變動成本（$SVC$）組成：$STC(Q) = TFC + SVC(Q)$。

2. 多廠長期生產成本極小化（Multi-plant Long-run Cost Minimization）：

• 長期內所有生產要素（勞動與資本）皆可自由調整。
• 個別廠房最適要素組合條件為技術替代率等於要素價格比：$MRTS_{NK} = \frac{MP_N}{MP_K} = \frac{w}{\rho}$。
• 規模報酬固定（Constant Returns to Scale, CRS）：生產函數 $Q_i = N_i^{0.5}K_i^{0.5}$ 之次方和為 $0.5 + 0.5 = 1$，具備規模報酬固定特性，其長期平均成本（$LAC$）與長期邊際成本（$LMC$）恆為常數，與產量無關。

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解題方法

(一) 短期總成本函數、平均成本函數與邊際成本

步驟一：求各廠短期變動成本與邊際成本函數

• 廠房 A： 已知 $K_A = 25$，生產函數為 $Q_A = N_A^{0.5} \times 25^{0.5} = 5\sqrt{N_A}$。 解出勞動需求量：$N_A = \frac{Q_A^2}{25}$。 固定成本：$TFC_A = \rho \cdot K_A = 1 \times 25 = 25$。 變動成本：$VC_A(Q_A) = w \cdot N_A = 1 \times \frac{Q_A^2}{25} = \frac{Q_A^2}{25}$。 短期邊際成本： $SMC_A(Q_A) = \frac{dVC_A(Q_A)}{dQ_A} = \frac{2Q_A}{25}$

• 廠房 B： 已知 $K_B = 100$，生產函數為 $Q_B = N_B^{0.5} \times 100^{0.5} = 10\sqrt{N_B}$。 解出勞動需求量：$N_B = \frac{Q_B^2}{100}$。 固定成本：$TFC_B = \rho \cdot K_B = 1 \times 100 = 100$。 變動成本：$VC_B(Q_B) = w \cdot N_B = 1 \times \frac{Q_B^2}{100} = \frac{Q_B^2}{100}$。 短期邊際成本： $SMC_B(Q_B) = \frac{dVC_B(Q_B)}{dQ_B} = \frac{2Q_B}{100} = \frac{Q_B}{50}$

步驟二：依等邊際成本原則求最適產量配置 兩廠邊際成本自原點起遞增，因此對任意正產量 $Q > 0$，兩廠皆應開工且滿足： $SMC_A(Q_A) = SMC_B(Q_B) \implies \frac{2Q_A}{25} = \frac{Q_B}{50} \implies Q_B = 4Q_A$

配合總產量限制條件 $Q = Q_A + Q_B$： $Q = Q_A + 4Q_A = 5Q_A \implies Q_A = \frac{1}{5}Q = 0.2Q$ $Q_B = \frac{4}{5}Q = 0.8Q$

步驟三：推導公司短期總成本函數 $STC(Q)$ 與平均成本函數 $SAC(Q)$

• 總固定成本： $TFC = TFC_A + TFC_B = 25 + 100 = 125$
• 總變動成本： $SVC(Q) = VC_A(Q_A) + VC_B(Q_B) = \frac{(0.2Q)^2}{25} + \frac{(0.8Q)^2}{100} = \frac{0.04Q^2}{25} + \frac{0.64Q^2}{100} = \frac{Q^2}{625} + \frac{4Q^2}{625} = \frac{Q^2}{125} = 0.008Q^2$
• 短期總成本函數： $STC(Q) = TFC + SVC(Q) = 125 + \frac{Q^2}{125} \quad (\text{或 } 125 + 0.008Q^2)$
• 短期平均成本函數： $SAC(Q) = \frac{STC(Q)}{Q} = \frac{125}{Q} + \frac{Q}{125} \quad (\text{或 } \frac{125}{Q} + 0.008Q)$

步驟四：計算 $Q = 200$ 時的邊際成本 邊際成本函數為： $SMC(Q) = \frac{dSTC(Q)}{dQ} = \frac{2Q}{125} = 0.016Q$ 當 $Q = 200$ 時： $SMC(200) = \frac{2 \times 200}{125} = \frac{400}{125} = \frac{16}{5} = 3.2$

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