115 高普考高考三級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查完全隨機設計（CRD）單因子變異數分析，以及在整體變異數分析達顯著後，使用 Fisher 保護型最小顯著差異檢定（LSD）比較處理平均數。

四種肥料為四個處理，每種肥料有四個重複，故總試驗單位數 $N=16$。CRD 的自由度為：

• 肥料（處理）：$a-1=4-1=3$
• 誤差：$N-a=16-4=12$
• 總和：$N-1=15$

題目提供的是各肥料平均數的標準誤（SE）。每組重複數 $n=4$，因此各處理內樣本變異數為 $s_i^2=n(SE_i)^2$。CRD 的誤差均方可由各處理內變異數合併求得：

$$MSE=\frac{\sum_{i=1}^{4}(n-1)s_i^2}{N-a} =\frac{\sum_{i=1}^{4}(n-1)n(SE_i)^2}{12}$$

LSD 檢定則使用整體 ANOVA 的誤差均方：

$$LSD=t_{\alpha/2,\,N-a}\sqrt{\frac{2MSE}{n}}$$

（一）ANOVA 表與整體檢定

1. 計算處理平方和

四種肥料平均產量為 $8.20、7.40、6.80、6.60$，總平均數為：

$$\bar{Y}_{..}=\frac{8.20+7.40+6.80+6.60}{4}=7.25$$

每種肥料有四個重複，故肥料平方和為：

$$SS_{\text{肥料}} =n\sum_{i=1}^{4}(\bar{Y}_{i.}-\bar{Y}_{..})^2$$ $$=4\left[(8.20-7.25)^2+(7.40-7.25)^2+(6.80-7.25)^2+(6.60-7.25)^2\right] =6.2000$$

2. 計算誤差平方和

由 $s_i^2=n(SE_i)^2$，合併四組處理內變異：

$$SS_E=\sum_{i=1}^{4}(n-1)s_i^2 =3(4)\left(0.21^2+0.19^2+0.22^2+0.20^2\right) =2.0232$$

因此：

$$MSE=\frac{SS_E}{12}=\frac{2.0232}{12}=0.1686$$

3. 建立 ANOVA 表

變異來源	自由度	平方和 SS	均方 MS	$F$ 值
肥料	3	6.2000	2.0667	12.26
誤差	12	2.0232	0.1686
總和	15	8.2232

檢定假設為：

$$H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu_D$$ $$H_1:\text{至少有一種肥料的平均產量不同}$$

計算得：

核心觀念

本題考查隨機完全區集設計（RCBD）中，以區集控制田間肥力差異，以及處理效果的檢定與比較。每個區集都包含兩種處理，故每個區集可視為一組配對觀測。

令第 $i$ 個區集的產量差為 $d_i=T_{1i}-T_{0i}$。配對 $t$ 檢定直接檢定平均差是否大於 $0$；RCBD 的 ANOVA 則把總變異分解為處理、區集及誤差。兩處理時，ANOVA 的處理 $F$ 檢定與雙尾配對 $t$ 檢定等價，且 $F=t^2$。

（一）配對 $t$ 檢定

假設與計算

以接種減未接種定義差值：

區集	1	2	3	4	5	6
$d_i$	6	5	6	4	3	6

題目問接種是否能「提高」產量，採單尾檢定：

$$H_0:\mu_d\leq 0,\qquad H_1:\mu_d>0$$

差值平均為

$$\bar d=\frac{6+5+6+4+3+6}{6}=5$$

差值平方離差和為

$$\sum(d_i-\bar d)^2 =1^2+0^2+1^2+(-1)^2+(-2)^2+1^2=8$$

因此

$$s_d^2=\frac{8}{6-1}=1.6,\qquad s_d=\sqrt{1.6}$$ $$t=\frac{\bar d-0}{s_d/\sqrt{6}} =\frac{5}{\sqrt{1.6/6}} =9.682$$

自由度 $df=6-1=5$。單尾 $\alpha=0.05$ 的臨界值為 $t_{0.05;5}=2.015$。因 $9.682>2.015$，拒絕 $H_0$。

結論

在顯著水準 $0.05$ 下，有顯著證據顯示接種根瘤菌能提高毛豆鮮莢產量；樣本平均增產為 $5\ \mathrm{kg/plot}$。

（二）RCBD ANOVA

計算

設處理數 $a=2$、區集數 $b=6$，觀測值總數 $N=12$。各處理總和為 $T_0=297$、$T_1=327$，總和 $G=624$。

校正因子：

$$CF=\frac{G^2}{N}=\frac{624^2}{12}=32448$$

觀測值平方和為 $32658$，故

$$SS_{\text{Total}}=32658-32448=210$$

處理平方和：

$$SS_{\text{Trt}} =\frac{297^2+327^2}{6}-CF =75$$

區集總和依序為 $102,105,100,108,101,108$，故

$$SS_{\text{Block}} =\frac{102^2+105^2+100^2+108^2+101^2+108^2}{2}-CF =46$$ $$SS_E=SS_{\text{Total}}-SS_{\text{Trt}}-SS_{\text{Block}} =210-75-46=89$$

ANOVA 表

變異來源	自由度	平方和 SS	均方 MS	$F$ 值
處理	$2-1=1$	75	75	$75/(89/5)=4.213$
區集	$6-1=5$	46	9.2	$9.2/(89/5)=0.517$
誤差	$(2-1)(6-1)=5$	89	17.8
總計	$12-1=11$	210

檢定與結果

處理檢定為

$$H_0:\mu_{T_0}=\mu_{T_1},\qquad H_1:\mu_{T_0}\neq\mu_{T_1}$$

臨界值 $F_{0.05;1,5}=6.608$。由於 $4.213<6.608$，在 $\alpha=0.05$ 下未達顯著，無法拒絕處理平均相同的虛無假設。兩處理平均數分別為 $49.5$ 與 $54.5\ \mathrm{kg/plot}$，接種組較高，但以此 RCBD 誤差項檢定未達顯著。

核心觀念

本題考查裂區設計（split-plot design）的適用情境、田間試驗的三大原則，以及裂區設計變方分析表的自由度與檢定誤差項。

裂區設計適合兩個因子中，一個因子的處理較難施用或變更，另一個因子的處理較容易施用或變更的試驗。較難施用的因子配置於較大的主區，較容易施用的因子配置於主區內的副區。本題可將灌溉管理方式配置為主區因子 $W$，氮肥施用量配置為副區因子 $N$。

試驗設計的三大原則為：

1. 重複（replication）：各處理組合須在不同區組中重複，以估計試驗誤差並提升比較精度。
2. 隨機（randomization）：處理配置須依設計規則隨機化，以避免處理效果與其他系統性差異混淆。
3. 局部控制（local control）：依已知的環境變異分區或分層，使比較盡量在相近條件內進行，降低誤差。

（一）裂區設計的適用性與三大原則

適用裂區設計的理由

灌溉方式需要設置不同的田間供排水管理，若在小面積內頻繁交錯安排，水流容易互相影響，田間操作與管理也較不方便。因此，適合將灌溉方式設為主區因子，在較大的主區實施。

氮肥施用量可在各灌溉主區內分別施用，安排於較小的副區；三種氮肥處理 $N_1,N_2,N_3$ 均可在每一種灌溉方式下比較。如此可同時估計灌溉方式、氮肥施用量及兩者交互作用對分蘗數、SPAD 值、株高與稻穀產量的影響。

依試驗環境條件說明三大原則

• 重複：將試驗田分成 $r$ 個區組；每一區組內配置兩種灌溉方式，且每個灌溉主區再配置三種氮肥量。重複能提供主區與副區層級的誤差估計。
• 隨機：在每一區組內，隨機安排兩種灌溉方式的主區位置；再於各主區內，隨機安排三種氮肥副區。分層隨機化可避免處理位置固定，並符合裂區的誤差結構。
• 局部控制：試驗田存在明顯南北向肥力與排水差異：北側有機質較高，南側排水較差。應依此變異方向規劃區組，使同一區組內的試驗單位盡量處於相近環境條件；區組配置與田區方向應配合實際梯度，以減少環境差異造成的誤差。若梯度方向明確，區組應切分成較均質的帶狀區域，並以區組內比較處理效果。

（二）變方分析表、自由度與 $F$ 值

令灌溉方式有 $a=2$ 個水準，氮肥量有 $b=3$ 個水準，區組數為 $r$。副區機差自由度為

核心觀念

本題考查隨機完全區集設計（RCBD）的自由度與變異數分析，以及等間距氮肥處理的正交多項式趨勢分析。

共有 $t=4$ 個氮肥處理、$r=4$ 個區集，因此總觀測數為 $N=tr=16$。自由度為：

• 區集：$r-1=3$
• 氮肥處理：$t-1=3$
• 誤差：$(r-1)(t-1)=9$
• 校正總和：$N-1=15$

氮肥施用量 $0、60、120、180$ 等距排列，處理自由度可分解為一次、二次、三次趨勢，各占 $1$ 個自由度。每一項的 $F$ 值以誤差均方作為分母：

$$F=\frac{MS_{\text{來源}}}{MS_E}$$

其中 $MS_E=7967.31$。

解題方法與計算

由題目提供的均方及自由度，先補出各來源平方和；再用平方和加總關係求氮肥總平方和與誤差平方和。

1. 區集

$$MS_{\text{Block}}=\frac{124369.25}{3}=41456.42$$ $$F_{\text{Block}}=\frac{41456.42}{7967.31}=5.20$$

自由度為 $(3,9)$，$P\approx0.022$，達 $5\%$ 顯著水準。

2. 氮肥處理與趨勢分解

一次效應的自由度為 $1$，故其平方和等於均方：

$$SS_{\text{一次}}=20561892.05\times1=20561892.05$$

二次效應自由度為 $1$，故：

$$MS_{\text{二次}}=\frac{7831602.25}{1}=7831602.25$$

三次效應的自由度為 $1$，故：

$$SS_{\text{三次}}=9548.45\times1=9548.45$$

氮肥處理平方和為三種趨勢平方和之和：

$$SS_N=20561892.05+7831602.25+9548.45 =28403042.75$$

各趨勢的 $F$ 值為：

$$F_{\text{一次}}=\frac{20561892.05}{7967.31}=2580.78$$ $$F_{\text{二次}}=\frac{7831602.25}{7967.31}=982.97$$ $$F_{\text{三次}}=\frac{9548.45}{7967.31}=1.20$$

一次及二次效應均達 $0.1\%$ 顯著水準（$P<0.001$）；三次效應不顯著（$P\approx0.302$）。

3. 誤差平方和及校正總和

$$SS_E=MS_E\times df_E=7967.31\times9=71705.79$$

依題目已四捨五入的數值加總，總和為 $28599117.79$，與題列校正總和 $28599117.75$ 相差 $0.04$。這是表內數值精度造成的微小差異，不影響檢定結論；校正總和依題目列值填寫。

完成之 ANOVA Table