114 高普考高考三級 農業技術 試驗設計 考古題詳解
第 一 題25 分
請回答下列問題：（每小題 5 分，共 25 分）
（一）解釋假設檢定中的第一型錯誤為何，並說明第一型錯誤可能發生的情況。
（二）在統計分析中進行變方分析的目的為何？
（三）單因子變方分析要有效，必須滿足那些假設？
（四）何謂資料轉換？舉例說明分析資料之前需先進行轉換的情境。
（五）簡單線性相關係數強時，能暗示兩變數間具有因果關係嗎？說明原因。
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（一）第一型錯誤及其發生情況
**核心觀念：**第一型錯誤（Type I error）是虛無假設 實際為真，卻被檢定結果拒絕，也就是「錯誤地認定有差異或效果」。其發生機率記為顯著水準 。
| 實際情況 | 檢定決策 | 結果 |
|---|---|---|
| 為真 | 拒絕 | 第一型錯誤 |
| 為真 | 不拒絕 | 正確決策 |
例如，兩種肥料的真實平均產量相同（ 為真），但抽樣資料因隨機誤差而得到 ，研究者便誤判兩種肥料的平均產量有顯著差異，這就是第一型錯誤。若設定 ，表示在 為真的前提下，長期重複進行檢定時，約有 5% 的機會錯誤拒絕 。
**解題技巧：**記住「第一型＝冤枉無罪」： 明明為真，卻被拒絕。
（二）變方分析的目的
**核心觀念：**變方分析（analysis of variance, ANOVA）用來檢定兩組以上母體平均數是否相同。其作法是把總變異分解為不同來源，例如處理間變異與誤差變異，再比較兩者的大小。
單因子變方分析的虛無假設為：
若各組平均數確實相同，組間變異通常不會遠大於組內誤差變異；若 值足夠大，便有證據拒絕 ，認為至少一組平均數不同。檢定統計量為：
ANOVA 的整體檢定只能判定「至少一組不同」，不會直接指出哪些組別彼此不同；若整體檢定顯著，通常還需進一步進行多重比較。
**解題技巧：**題目問 ANOVA 的目的，答出「比較多組平均數」及「以變異分解形成 檢定」即可。
（三）單因子變方分析的假設
**核心觀念：**單因子變方分析的有效性，主要建立在以下假設上：
- **觀測值獨立：**各觀測值彼此獨立；試驗設計及隨機分派是保障獨立性的關鍵。
- **誤差常態：**各處理組的誤差項近似常態分布。等價地說，在模型成立時，各組反應值近似常態。
- **變異數同質：**各處理組的母體變異數相同，即 。
- **模型適當：**反應值可表為「整體平均數＋處理效果＋隨機誤差」，且誤差平均數為零。
以固定效果單因子模型表示：
第 二 題25 分
研究人員欲測試四種除草劑（A、B、C、D），並採用 拉丁方設計來控制行列效應。產量結果（公斤）以拉丁方設計呈現如下：
| 行 1 | 行 2 | 行 3 | 行 4 | |
|---|---|---|---|---|
| 列 1 | B（23） | A（21） | D（22） | C（20） |
| 列 2 | A（25） | D（24） | C（23） | B（22） |
| 列 3 | D（27） | C（25） | B（26） | A（24） |
| 列 4 | C（28） | B（27） | A（26） | D（25） |
完成以下變方分析表（1）～（12）之數值，並測試除草劑是否對產量造成顯著影響（假設顯著水準 ）。（25 分）
| 變異來源 | 自由度 | 平方和 | 均方 | 值 | 值 |
|---|---|---|---|---|---|
| 列區集 | （1） | 59 | （8） | ||
| 行區集 | （2） | （6） | （9） | ||
| 除草劑 | （3） | （7） | （10） | （12） | 0.216 |
| 機差 | （4） | 1 | （11） | ||
| 總和 | （5） | 79 |
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核心觀念
本題考查 拉丁方設計的變方分析。拉丁方設計同時控制：
- 列區集效應
- 行區集效應
- 除草劑處理效應
每一種除草劑在每一列、每一行各出現一次。
拉丁方設計的自由度如下，其中 ：
解題方法與計算
一、計算總和與修正項
全部觀測值總和為：
觀測值個數為 ，因此修正項為：
總平方和已知為：
二、列區集平方和
各列總和為：
因此：
列區集均方：
所以：
三、行區集平方和
各行總和為：
因此：
行區集均方：
所以：
四、除草劑平方和
各除草劑總和為：
因此：
除草劑均方：
所以：
五、機差平方和與均方
第 三 題25 分
某研究員探討光照量（Light：高 1、低 2）和肥料（Fertilizer：1、2、3）對植物株高的影響，預計採用完全隨機設計，6 種組合每種各重複 3 次，以探討光照、肥料，及兩者交互作用影響株高的效應大小。
（一）說明如何進行試驗單位之隨機化，以符合上述試驗欲探討光照、肥料及兩者交互作用是否影響株高之需求。（10 分）
（二）若試驗結果以 R 進行分析後，所得之結果摘錄如下圖，在 下，請撰述以進行假設檢定的結果闡述。（15 分）
anova(aov(y~Light*Fertilizer))
Analysis of Variance Table
Response: y
| Df | Sum Sq | Mean Sq | F value | Pr(>F) | |
|---|---|---|---|---|---|
| Light | 1 | 2.722 | 2.722 | 1.2895 | 0.278317 |
| Fertilizer | 2 | 128.444 | 64.222 | 30.4211 | 1.999e-05 *** |
| Light:Fertilizer | 2 | 40.444 | 20.222 | 9.5789 | 0.003263 ** |
| Residuals | 12 | 25.333 | 2.111 |
Signif. codes: 0 ‘’ 0.001 ‘’ 0.01 ‘’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
agricolae::HSD.test(y, Light:Fertilizer, 12, 2.111, console = TRUE)
Study: y ~ Light:Fertilizer
HSD Test for y
Mean Square Error: 2.111
Light:Fertilizer, means
| Light:Fertilizer | y | std | r | Min | Max |
|---|---|---|---|---|---|
| 1:1 | 7.333333 | 1.5275252 | 3 | 6 | 9 |
| 1:2 | 13.333333 | 1.1547005 | 3 | 12 | 14 |
| 1:3 | 10.666667 | 1.5275252 | 3 | 9 | 12 |
| 2:1 | 9.000000 | 2.0000000 | 3 | 7 | 11 |
| 2:2 | 14.333333 | 1.5275252 | 3 | 13 | 16 |
| 2:3 | 5.666667 | 0.5773503 | 3 | 5 | 6 |
Alpha: 0.05；DF Error: 12
Critical Value of Studentized Range: 4.750231
Minimum Significant Difference: 3.984724
Treatments with the same letter are not significantly different.
| Light:Fertilizer | y | groups |
|---|---|---|
| 2:2 | 14.333333 | a |
| 1:2 | 13.333333 | a |
| 1:3 | 10.666667 | ab |
| 2:1 | 9.000000 | bc |
| 1:1 | 7.333333 | bc |
| 2:3 | 5.666667 | c |
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核心觀念
本題是 因子試驗：
- 因子 A：光照量 Light，共 2 個水準。
- 因子 B：肥料 Fertilizer，共 3 個水準。
- 處理組合數： 組。
- 每組重複 3 次，共 個試驗單位。
採用二因子變異數分析，模型為
其中 為光照與肥料的交互作用。
（一）試驗單位之隨機化
1. 確定試驗單位
先將 18 個性質相近、彼此獨立的盆栽或植株作為試驗單位，並加以編號，例如 1 至 18 號。
每一試驗單位只能接受一種處理組合，避免同一單位同時接受不同處理而造成處理間混淆。
2. 列出六種處理組合
六種處理組合如下：
| 光照量 | 肥料 | 處理代號 |
|---|---|---|
| 高光照 | 肥料 1 | 1:1 |
| 高光照 | 肥料 2 | 1:2 |
| 高光照 | 肥料 3 | 1:3 |
| 低光照 | 肥料 1 | 2:1 |
| 低光照 | 肥料 2 | 2:2 |
| 低光照 | 肥料 3 | 2:3 |
每一種處理組合製作 3 張籤，共 18 張籤。
3. 完全隨機分派
將 18 張處理籤充分混合後，以亂數表、電腦亂數或抽籤方式，依序分派給 18 個試驗單位，每種處理組合恰分派 3 個試驗單位。
亦可將 18 個試驗單位的編號隨機排列，再依序配置：
完成後，依隨機配置的結果給予相應的光照及肥料處理。
4. 隨機化目的
如此可使每一試驗單位接受各處理組合的機會相等，並使土壤、植株初始大小、位置等非處理因素的影響，平均分散於各處理組合中。因此可分別估計：
- 光照量的主效應；
- 肥料的主效應；
- 光照量與肥料的交互作用。
完全隨機設計不另設區集，試驗單位應盡量均質，且各單位的位置、澆水及管理方式均應一致。
（二）假設檢定與結果解釋
1. 檢定原則
以誤差均方
作為各項 F 檢定的誤差基準，誤差自由度為 12。在 下：
- 若 值小於 ，拒絕虛無假設。
- 若 值大於 ，不拒絕虛無假設。
2. 光照量主效應
假設為：
由 ANOVA 表得
因此不拒絕 。在顯著水準 下，沒有充分證據顯示光照量的平均主效應會影響植物株高。
但由於交互作用顯著，這項主效應是對不同肥料水準平均後的結果，不能據此認定在每一種肥料下光照量都沒有影響。
3. 肥料主效應
假設為：
由 ANOVA 表得
因此拒絕 。在顯著水準 下，肥料種類對植物株高具有顯著影響，至少有一個肥料水準的平均株高不同。
4. 光照量與肥料之交互作用
假設為：
第 四 題25 分
測試 4 種不同培養基（A、B、C、D）對作物癒合組織生成量的影響。每種培養基施用於 5 個隨機分配的組織培養皿中，並記錄癒合組織生成量（公克）如下：
培養基 A：20、22、19、21、23
培養基 B：25、26、24、27、25
培養基 C：19、18、20、17、18
培養基 D：22、23、21、24、22
寫出變方分析表，並檢驗在 時，不同培養基之癒合組織生成量是否有顯著差異（）？
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核心觀念
本題考單因子完全隨機設計的變方分析（one-way ANOVA），檢驗四種培養基的平均癒合組織生成量是否相同。
設定假設：
變方分析將總平方和分解為處理平方和與誤差平方和：
檢定統計量為：
其中 。
解題方法與計算
各組樣本數均為 ，共 個觀測值。各組總和與平均數為：
| 培養基 | 總和 | 平均數 |
|---|---|---|
| A | 105 | 21 |
| B | 127 | 25.4 |
| C | 92 | 18.4 |
| D | 112 | 22.4 |
總和 ，總平均數為 。
先計算修正項：
各觀測值平方和為：
因此總平方和為：
處理平方和為：