107 高普考高考三級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題測驗農藝試驗中極為經典的裂區設計（Split-plot design），主要考核四大核心觀念：

1. 因子分配原則：裂區設計中，主區因子（Main-plot factor）與副區因子（Sub-plot factor）的決定準則，包含「試驗精密度要求」與「田間操作便利性」。
2. 田間配置技術：裂區設計採「二階段隨機化（Two-stage randomization）」，主區在區集內隨機排列，副區再於各主區內獨立隨機排列。
3. 變方分析（ANOVA）自由度分割：整體試驗變異被割裂為「主區部分（Main-plot section）」與「副區部分（Sub-plot section）」，各自具備對應的主效應、交互作用與試驗誤差（Error a 與 Error b）。
4. 假設檢定與 $F$ 值計算：依據固定效應模式之期望均方（Expected Mean Squares, $E(MS)$），主區因子以主區誤差均方（$MS_{E_a}$）檢定；副區因子與交互作用則以副區誤差均方（$MS_{E_b}$）檢定。

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解題方法

(一) 主區與副區之判定與理由

在裂區設計中，決定何者為主區、何者為副區主要依循以下兩項原則：

1. 試驗精確度（研究目的主次）：

• 題目明確指出本試驗旨在探討「不同覆蓋材料對甘藷產量之影響」，因此「覆蓋材料」是試驗者最核心關注之主要因子。
• 在裂區設計中，副區單元數多於主區單元數，因此副區誤差（Error b）的自由度較大，且副區小區面積較小、小區間同質性較高，致使副區試驗誤差通常顯著小於主區誤差（Error a）。
• 基於「欲獲得較高檢定敏感度與估計精密度之因子應置於副區」的原則，應將覆蓋材料置於副區。

2. 田間操作與管理便利性：

• 甘藷為無性繁殖蔓生作物，不同品種（臺農 57 號、臺農 72 號）在種苗準備、整地、作畦、機械扦插與生育期管理上，適合大面積集中作業；而覆蓋材料（稻桿、苦茶粕、花生殼）易於在較小面積的小區進行鋪設與翻埋。
• 故將需要較大管理面積的甘藷品種置於主區，操作彈性大的覆蓋材料置於副區。

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(二) 繪製單一區集內處理組合的配置圖

裂區設計在單一區集（以 R1 為例）內的配置需展現二階段隨機化：

• 階段一（主區隨機化）：將區集 R1 分割為 2 個主區，將品種（57、72）隨機指定至這 2 個主區中。
• 階段二（副區隨機化）：在各主區內分別細劃為 3 個副區，將覆蓋材料（A、B、C）分別獨立隨機指定至該主區的 3 個副區中。

單一區集（R1）之配置圖示意如下（處理代碼：品種代號 + 覆蓋材料代號）：

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 區集一（R1） │
├──────────────────────────────┬──────────────────────────────┤
│ 主區 1：品種 57（隨機決定） │ 主區 2：品種 72（隨機決定） │
├──────────────┬───────────────┼──────────────┬───────────────┤
│ 副區 1 (57A) │ 覆蓋材料 A │ 副區 4 (72B) │ 覆蓋材料 B │
├──────────────┼───────────────┼──────────────┼───────────────┤
│ 副區 2 (57C) │ 覆蓋材料 C │ 副區 5 (72A) │ 覆蓋材料 A │
├──────────────┼───────────────┼──────────────┼───────────────┤
│ 副區 3 (57B) │ 覆蓋材料 B │ 副區 6 (72C) │ 覆蓋材料 C │
└──────────────┴───────────────┴──────────────┴───────────────┘
（註：主區與副區內之處理順序皆經獨立隨機抽樣決定）

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(三) 變方分析表之各項變因及其自由度

本試驗參數如下：

• 重複區集數：$r = 3$（R1, R2, R3）
• 主區因子（品種）水準數：$a = 2$（57, 72）
• 副區因子（覆蓋材料）水準數：$b = 3$（A, B, C）
• 試驗總小區數：$N = r \times a \times b = 3 \times 2 \times 3 = 18$

各變因之自由度（Degrees of Freedom, $df$）推導如下：

1. 主區部分（Main-plot part）：

• 區集（Block, R）：$df = r - 1 = 3 - 1 = 2$
• 品種（Variety, V）：$df = a - 1 = 2 - 1 = 1$
• 主區誤差（Error a, 即 $\text{Block} \times \text{Variety}$）：$df = (r - 1)(a - 1) = (3 - 1)(2 - 1) = 2 \times 1 = 2$

2. 副區部分（Sub-plot part）：

• 覆蓋材料（Mulch, M）：$df = b - 1 = 3 - 1 = 2$
• 品種 $\times$ 覆蓋材料交互作用（$V \times M$）：$df = (a - 1)(b - 1) = (2 - 1)(3 - 1) = 1 \times 2 = 2$
• 副區誤差（Error b, 即 $\text{Block} \times \text{Mulch} + \text{Block} \times \text{Variety} \times \text{Mulch}$）： $df = a(r - 1)(b - 1) = 2 \times (3 - 1) \times (3 - 1) = 2 \times 2 \times 2 = 8$

3. 總變異（Total）：

• 總自由度：$df = rab - 1 = 18 - 1 = 17$

變方分析表（ANOVA Table）：

核心觀念

本題涵蓋農業試驗設計之四大核心主題：

1. 試驗設計之選擇：組織培養試驗通常在人工氣候箱或無菌培養室進行，環境條件（溫度、光照、濕度）高度均一，供試試驗單位（培養皿）間無系統性環境梯度，最適宜採用完全逢機設計（Completely Randomized Design, CRD）。
2. 變方分析（ANOVA）自由度分割：

• 處理自由度：$df_{Trt} = t - 1$
• 機差自由度：$df_{Error} = t(r - 1) = N - t$
• 總自由度：$df_{Total} = N - 1$

3. 最小顯著性測驗（Least Significant Difference, LSD）法：

• 用於平均數間之兩兩事後比較。當任意兩處理平均數之差值絕對值 $|\bar{Y}_i - \bar{Y}_j| > \text{LSD}_{\alpha}$ 時，判定該兩處理在 $\alpha$ 顯著水準下具有統計顯著差異。

4. 缺漏值（Missing Value）處理原則：

• 在 CRD 中，試驗單位相互獨立且無區集限制，資料遺失不破壞設計的正交性，實務上直接進行「不等重複變方分析（Unbalanced ANOVA）」即可，無須強行插補。每遺失 1 個觀察值，機差自由度即損失 1。

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解題方法

(一) 試驗設計判定與變方分析表之變因與自由度

1. 設計選擇理由： 本試驗為「豌豆胚組織培養試驗」，試驗單位於生長箱或培養架上培養，環境均質性高，且題目並無提及分批、不同層架或明顯之單向環境變異（無須進行區集控制），故應採取完全逢機設計（CRD）。

2. 自由度計算：

• 處理數 $t = 5$（T1 至 T5）
• 每處理重複數 $r = 4$
• 總試驗單位數 $N = t \times r = 5 \times 4 = 20$

各變因之自由度推導如下：

• 處理（Treatments）：$df = t - 1 = 5 - 1 = 4$
• 機差（Error）：$df = t(r - 1) = 5 \times (4 - 1) = 15$（或 $N - t = 20 - 5 = 15$）
• 總和（Total）：$df = N - 1 = 20 - 1 = 19$

3. 變方分析表（ANOVA Table）：

變異來源（Source）	自由度（$df$）	平方和（$SS$）	均方（$MS$）	$F$ 值
處理（Treatments）	4	$SS_{Trt}$	$MS_{Trt}$	$\frac{MS_{Trt}}{MS_E}$
機差（Error）	15	$SS_E$	$MS_E$
總和（Total）	19	$SS_{Total}$

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(二) 最小顯著性測驗（LSD）比較與意義闡釋

1. 平均數排序： 將 5 組處理之胚軸長度平均值由大至小排列： $\bar{Y}_1 = 71 \quad > \quad \bar{Y}_5 = 64 \quad > \quad \bar{Y}_2 = 60 \quad > \quad \bar{Y}_4 = 59 \quad > \quad \bar{Y}_3 = 58$

2. 兩兩平均數差異計算（$\text{LSD}_{0.05} = 4.263$）： 計算任意兩處理平均值之絕對差值 $|\bar{Y}_i - \bar{Y}_j|$，共有 $\binom{5}{2} = 10$ 種配對比較：

配對比較	差值計算	與 $\text{LSD}_{0.05} = 4.263$ 比較	顯著性判定（5% 水準）
T1 vs T5	$	71 - 64	= 7$
T1 vs T2	$	71 - 60	= 11$
T1 vs T4	$	71 - 59	= 12$
T1 vs T3	$	71 - 58	= 13$
T5 vs T2	$	64 - 60	= 4$
T5 vs T4	$	64 - 59	= 5$
T5 vs T3	$	64 - 58	= 6$
T2 vs T4	$	60 - 59	= 1$
T2 vs T3	$	60 - 58	= 2$
T4 vs T3	$	59 - 58	= 1$

3. 英文標示群組化（Alphabetical Notation）： 以小寫字母標示差異群組（相同字母表示無顯著差異）：

• T1（71）：$\text{a}$
• T5（64）：$\text{b}$
• T2（60）：$\text{bc}$
• T4（59）：$\text{c}$
• T3（58）：$\text{c}$

4. 試驗結果之生物與實務意義闡釋：

• 對照組生長顯著最佳：不加糖之對照組（T1，71）其胚軸生長顯著高於所有添加醣類之處理組（$p < 0.05$）。

核心觀念

本題評量迴歸分析（Regression Analysis）於農業試驗之應用與統計詮釋，涵蓋三大核心觀念：

1. 迴歸模型之型態與參數生物意義：區分簡單線性迴歸、多元線性迴歸與多項式迴歸之自變數維度、幾何曲面及迴歸係數之邊際意涵。
2. 模型選擇原則（Model Selection）：權衡「統計指標（矯正決定係數 $R^2_{adj}$）」、「簡約原則（Principle of Parsimony / Occam's Razor）」與「生物學／農藝學實質意義（如報酬遞減律與肥效反應曲線）」，避免過度配適（Overfitting）。
3. 變異分解與決定係數（Coefficient of Determination, $R^2$）：總平方和的分割（$SST = SSR + SSE$）及其用以評估模型解釋力與配適度的數學基礎。

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解題方法與詳解

(一) 三種迴歸式的意義區別

三種迴歸式均屬對參數呈線性的廣義線性模型，但在自變數個數、幾何特徵與參數解釋上有顯著差異：

1. $\hat{y} = b_0 + b_1x$（單變數簡單線性迴歸式，Simple Linear Regression）

• 模型架構：僅含單一自變數 $x$，且最高次項為一次項。
• 幾何意義：在二維直角坐標系（$x$-$y$ 平面）中代表一條直線。
• 參數意涵：
• 截距 $b_0$：當 $x = 0$ 時，應變數 $y$ 的估計期望值。
• 斜率 $b_1$：代表固定變動率。即自變數 $x$ 每增加 1 個單位時，應變數 $y$ 的平均固定變動量（$\frac{d\hat{y}}{dx} = b_1$）。

2. $\hat{y} = b_0 + b_1x_1 + b_2x_2$（二元多元線性迴歸式，Multiple Linear Regression）

• 模型架構：含有兩個不同的獨立自變數（$x_1$ 與 $x_2$），兩者最高次項皆為一次項。
• 幾何意義：在三維空間（$x_1$-$x_2$-$y$）中代表一個平面（Plane）。
• 參數意涵：
• $b_1, b_2$ 為偏迴歸係數（Partial Regression Coefficients）。
• $b_1$ 表示在固定（控制）$x_2$ 不變的條件下，$x_1$ 每增加 1 個單位時，$y$ 的平均淨變動量；$b_2$ 則為固定 $x_1$ 時，$x_2$ 對 $y$ 之偏效應。

3. $\hat{y} = b_0 + b_1x + b_{11}x^2$（單變數二次多項式迴歸式，Quadratic Polynomial Regression）

• 模型架構：僅含單一自變數 $x$，但納入了自變數的二次項（$x^2$），用以描繪非線性關係。
• 幾何意義：在二維直角坐標系中代表一條拋物線（Parabola）。
• 參數意涵：
• $b_1$ 為線性係數，$b_{11}$ 為曲率係數（決定開口方向與彎曲程度）。
• $x$ 對 $y$ 的邊際影響並非定值，而是隨 $x$ 的大小而變動（邊際效應 $\frac{d\hat{y}}{dx} = b_1 + 2b_{11}x$）。在農藝試驗中若開口向下（$b_{11} < 0$），存在極值頂點，可用以估算達最高產量之最適施肥量（$x = -\frac{b_1}{2b_{11}}$）。

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(二) 氮肥施用量對產量迴歸式之選擇與理由

【應採取的模型】：二次迴歸式（$\hat{y} = b_0 + b_1x + b_{11}x^2$）

【理由敘述】：

1. 符合農藝學與植物營養生理原則（Biological Validity）：

• 作物對肥料施用量的反應符合報酬遞減律（Law of Diminishing Returns）：施肥初期產量隨施肥量增加而快速增長；達一定程度後增幅趨緩；過量施用時則因鹽害、肥害、倒伏或病蟲害加劇，反而導致產量下降。
• 二次曲線（倒拋物線）具有單一極大值，能完整呈現「初期上升、達最高產量（產量頂點）、隨後衰退」的真實肥效反應，並能推求最高產量施肥量及經濟最高施肥量。
• 相反地，一次直線無法表現報酬遞減與極值；而三次曲線存在反曲點與兩個局部極值，會導致在極高施肥量區間出現「產量再度回升」的不合理現象，違背生物學常理。

核心觀念

本題評量農藝地方試驗（多環境試驗）中「多年或多地點試驗之合併變方分析（Combined Analysis of Variance）」的理論與實務應用，核心包含四大統計觀念：

1. 合併分析的前提假設（機差同質性）： 在將不同地點或年度的試驗資料合併前，各獨立試驗的機差變異數必須具備同質性（Homogeneity of error variances），即各環境的試驗誤差需相等（$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \cdots = \sigma_l^2$），通常採用 Bartlett 氏測驗（Bartlett's test） 或 Hartley 氏最大 $F$ 測驗（Hartley's $F_{\max}$ test）。若測驗結果不顯著，始可合併並計算合併機差均方（Pooled Error Mean Square）。
2. 多地點 RCBD 綜合變方分析表之自由度分割： 設地點數為 $l$、各點重複區集數為 $r$、供試品種數為 $v$，總觀測值數 $N = lrv$。其變異來源與自由度為：

• 總自由度（Total）：$DF_{\text{Total}} = lrv - 1$
• 地區（Location, $L$）：$DF_L = l - 1$
• 地區內區集（Block within Location, $B(L)$）：$DF_{B(L)} = l(r - 1)$
• 品種（Variety, $V$）：$DF_V = v - 1$
• 地區與品種交感（$L \times V$）：$DF_{LV} = (l - 1)(v - 1)$
• 機差（Pooled Error）：$DF_E = l(r - 1)(v - 1)$

3. 固定效應模式（Fixed-effects Model）之 $F$ 檢定： 若地區與品種皆視為固定效應，各變因之均方（MS）均以合併機差均方（$MS_E$）為分母進行 $F$ 檢定，自由度分母為 $DF_E$。
4. 混合效應模式（Mixed-effects Model）與期望均方（EMS）： 若地區為隨機效應（Random effect）、品種為固定效應（Fixed effect），期望均方（Expected Mean Squares, EMS）改變： $E(MS_E) = \sigma^2$ $E(MS_{LV}) = \sigma^2 + r\sigma^2_{LV}$ $E(MS_V) = \sigma^2 + r\sigma^2_{LV} + \frac{rl\sum \alpha_k^2}{v - 1}$ $E(MS_{B(L)}) = \sigma^2 + v\sigma^2_{B(L)}$ $E(MS_L) = \sigma^2 + v\sigma^2_{B(L)} + rv\sigma^2_L$ 檢定固定品種效應 $V$ 時，分子 $E(MS_V)$ 含有交感變異分量 $r\sigma^2_{LV}$，適當的檢定分母不再是 $MS_E$，而必須改為交感均方 $MS_{LV}$（自由度為 $DF_V$ 與 $DF_{LV}$）；檢定隨機地區效應 $L$ 時，適當的檢定分母改為區集均方 $MS_{B(L)}$（自由度為 $DF_L$ 與 $DF_{B(L)}$）。

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解題方法

(一) 合併分析前之必要測驗

進行多地點試驗資料合併變方分析前，必須先檢驗各地點之機差變異數是否具備同質性。

• 檢驗名稱：機差均方同質性測驗（Test of Homogeneity of Error Variances），最標準之統計方法為 Bartlett 氏測驗（Bartlett's test）（或小樣本時之 Hartley 氏最大 $F$ 檢定）。
• 判定準則：虛無假說為各地點機差變異數均相等（$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_4^2$）。當測驗結果不顯著（$p > 0.05$）時，接受 $H_0$，代表各地區試驗機差具同質性，方能將資料合併並計算合併機差均方。

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(二) 綜合變方分析表之自由度計算與顯著性標示

1. 基本參數確認：

• 地區數 $l = 4$（四個鄉鎮）
• 區集數 $r = 4$（重複 4 區集）
• 品種數 $v = 5$（A、B、C、D、E 五個品系）
• 總觀測值 $N = 4 \times 4 \times 5 = 80$

2. 自由度（DF）推導：

• 地區 $L$：$DF_L = l - 1 = 4 - 1 = 3$
• 區集 $B(L)$：$DF_{B(L)} = l(r - 1) = 4 \times (4 - 1) = 12$
• 品種 $V$：$DF_V = v - 1 = 5 - 1 = 4$
• 交感 $L \times V$：$DF_{LV} = (l - 1)(v - 1) = (4 - 1)(5 - 1) = 3 \times 4 = 12$
• 機差 Error：$DF_E = l(r - 1)(v - 1) = 4 \times (4 - 1) \times (5 - 1) = 4 \times 3 \times 4 = 48$
• 總自由度驗算：$3 + 12 + 4 + 12 + 48 = 79 = 80 - 1$，完全吻合。

3. $F$ 檢定顯著性判定（預設基準：固定效應模式）： 題目表格已提供各變因之 $F$ 值，檢定分母均為機差均方（$MS_E$，分母自由度為 48）：

• 地區 $L$：$F = 158.02$。 查表 $F_{3, 48}(0.05) = 2.798$，$F_{3, 48}(0.01) = 4.218$。 因 $158.02 > 4.218$，達極顯著水準，標示 $158.02^{**}$。
• 區集 $B(L)$：$F = 5.62$。 查表 $F_{12, 48}(0.05) = 1.960$，$F_{12, 48}(0.01) = 2.579$。 因 $5.62 > 2.579$，達極顯著水準，標示 $5.62^{**}$。
• 品種 $V$：$F = 13.04$。 查表 $F_{4, 48}(0.05) = 2.565$，$F_{4, 48}(0.01) = 3.737$。 因 $13.04 > 3.737$，達極顯著水準，標示 $13.04^{**}$。
• 地區及品種交感 $L \times V$：$F = 1020.12$。 查表 $F_{12, 48}(0.05) = 1.960$，$F_{12, 48}(0.01) = 2.579$。 因 $1020.12 > 2.579$，達極顯著水準，標示 $1020.12^{**}$。

4. 綜合變方分析表填入結果：

變因（SV）	自由度（DF）	均方（MS）	$F$ 值
地區 $L$	3	—	$158.02^{**}$
區集 $B(L)$	12	—	$5.62^{**}$
品種 $V$	4	—	$13.04^{**}$
地區及品種交感 $L \times V$	12	—	$1020.12^{**}$
機差 Error	48	23.43	—

(註：若需推算各項均方，由 $MS = F \times MS_E$ 可得：$MS_L = 3702.41$、$MS_{B(L)} = 131.68$、$MS_V = 305.53$、$MS_{LV} = 23901.41$)。

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(三) 綜合變方分析結果之農藝試驗意義闡釋