112 高普考高考三級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

田間試驗設計的核心目的在於「控制非試驗因素引起的變異」並「客觀評估試驗誤差」。統計學家費雪（R. A. Fisher）提出的試驗設計三大基本原則是建立任何田間試驗的基石：

1. 重複（Replication）：同一處理配置於兩個或兩個以上的試驗單位（Experimental Units）。
2. 逢機（Randomization）：各處理以均等的機率分派至各試驗單位。
3. 機組控制／局部控制（Local Control / Blocking）：將試驗環境劃分為相對均質的區集（Blocks），以吸收已知的環境變異。

對處理間差異進行**正確（Valid & Unbiased）且有效（Efficient & Precise）**的比較，需滿足以下統計核心條件：

• 正確性（Validity）：試驗誤差的估計必須「不偏（Unbiased）」，且處理效應的估計不受系統性外在干擾偏差（Confounding/Bias）影響，滿足誤差項獨立同分布之假定：$\varepsilon_{ij} \sim i.i.d.\ N(0, \sigma^2)$。
• 有效性（Efficiency）：估計值的抽樣變異數（Variance）需最小化，即降低試驗均方誤差（$MSE$ 或 $\sigma^2$）並縮小平均數標準誤（$SE = \sqrt{\frac{\sigma^2}{r}}$），從而提高假說檢定的檢定力（Statistical Power, $1-\beta$）。

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解題方法

本題為高考三級經典的申論題型，答題脈絡應採「個別功能解析 $\rightarrow$ 原則間交互關係 $\rightarrow$ 整合達成正確與有效比較之機制」的三層架構切入：

一、 田間試驗設計三大基本原則的功能

1. 重複（Replication）的功能：

• 提供試驗誤差的估計量：若沒有重複，處理內變異無從計算，即無法獲得估計母體誤差變異數 $\sigma^2$ 的誤差均方（$MSE$），導致變異數分析（ANOVA）缺乏檢定分母（$F = \frac{MST}{MSE}$ 無法計算）。
• 提高估計的精確度（Precision）：處理平均數之抽樣標準誤為 $SE(\bar{Y}_i) = \sqrt{\frac{\sigma^2}{r}}$（$r$ 為重複數）。增加重複數可直接縮減估計值之標準誤，使處理平均數的估計更逼近真值。
• 擴大結論推論的代表性（Scope of Inference）：在不同重複單位（或不同空間位置）進行試驗，可降低單一環境極端值的衝擊，使試驗結果更具推論性。

2. 逢機（Randomization）的功能：

• 確保誤差估計的不偏性（Unbiasedness）：將無法預測或未知的環境干擾因子（如微地形、地下水位微幅變異）均勻、隨機地分散至各處理中，避免人為偏見或系統性梯度（Systematic trend）污染處理效應。
• 滿足統計推論的機率假定（Independence）：使試驗誤差項滿足獨立性假定（Independence），賦予顯著性檢定（$F$ 檢定與 $t$ 檢定）理論上的客觀有效性。

3. 機組控制（Local Control）的功能：

• 降低與分離試驗誤差：根據田間已知之環境梯度（如土壤肥力、坡度、日照、灌溉水流方向），將試驗單位分組，使「區集內變異最小、區集間變異最大」。在變異數分析中，將區集變異（$SS_{Block}$）自試驗誤差（$SS_{Error}$）中抽離獨立出來： $SS_{Total} = SS_{Treatment} + SS_{Block} + SS_{Error}$ 大幅縮小 $MSE$，降低未受控制之背景雜訊。
• 提升檢定靈敏度（Power of Test）：縮減 $MSE$ 後，可使 $F$ 檢定統計量（$F = \frac{MST}{MSE}$）之分母降低，大幅提升檢測出處理間細微真實差異的統計檢定力。

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二、 各原則之間的交互關係

1. 逢機與重複的關係（有效推論與不偏估計的結合）：

• 「重複」提供了估算誤差所需的自由度（Degrees of Freedom）；「逢機」則保證了重複試驗所獲得的數據具備獨立性與不偏性。
• 若有重複而無逢機，重複只是「偽重複（Pseudoreplication）」或系統性誤差的累積；若有逢機而無重複，則無法估計誤差變異，統計檢定完全無法實施。

核心觀念

本題評量隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）中試區缺值（Missing Value / Missing Plot）的處理原理與統計推論。

1. Yates 缺區估算公式： 設試驗包含 $t$ 個處理、$r$ 個區集，若第 $i$ 區集、第 $j$ 處理之試區遺漏，以極小化誤差平方和（$\min SSE$）為準則所導出的估計值 $\hat{y}_{ij}$ 為： $\hat{y}_{ij} = \frac{r B_i + t T_j - G'}{(r-1)(t-1)}$ 其中：

• $B_i$：第 $i$ 區集其餘現存試區之觀測值總和。
• $T_j$：第 $j$ 處理其餘現存試區之觀測值總和。
• $G'$：全試驗所有現存試區之觀測值總和。

2. 直觀補值分析的限制： 公式估得的 $\hat{y}_{ij}$ 僅是「數學插補值」，並非實際觀測到的隨機變數。若未經統計校正直接將其視為一般完整資料套用 ANOVA，會破壞試驗設計的正交性（Orthogonality），造成變異數分析表之自由度與平方和產生偏差，並導致後續推論失真。

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解題方法

本題要求針對研究人員「採公式補值後，直接進行變異數分析及後續推論」之作法，分項說明其缺點，並提出其他可行替代方法：

一、直接以缺區估算公式補齊後分析之缺點

1. 誤差自由度遭虛增（Degrees of Freedom Bias）：

• 估計一個缺值需消耗 1 個自由度。若將補齊後的資料直接計算，總試區數看似維持 $N = rt$，使得誤差自由度被算為 $(r-1)(t-1)$。
• 若未主動將誤差自由度扣減 1（即應校正為 $(r-1)(t-1)-1$），會導致誤差均方（$MSE$）之除數偏大，且進行假設檢定時的臨界值（Critical value）過於寬鬆。

2. 處理平方和呈現正偏差（Positive Bias in Treatment SS）：

• 缺區估算公式係建立在「使補值後之 $SSE$ 最小化」的數學條件下求得。因此，插補後直接算出的處理平方和（$SST$）會偏高（具正偏差）。
• 若直接以未校正的 $SST$ 計算 $F = \frac{MST}{MSE}$，其分子偏大、檢定統計量虛增，將導致型一誤差率（Type I error rate, $\alpha$）膨脹，極易將不顯著的處理差異誤判為顯著。
• 正確作法必須對處理平方和進行偏差校正（Yates' Bias Correction）： $\text{Bias} = \frac{\left[ B_i - (t-1)\hat{y}_{ij} \right]^2}{t(t-1)}$ $SST_{\text{adj}} = SST - \text{Bias}$

3. 處理平均值之標準誤改變，影響多重比較與區間估計：

• 補值處理的平均值精度低於無缺值的處理。若後續推論（如 LSD、Tukey's HSD）一律套用標準平均值差標準誤 $SE = \sqrt{\frac{2 MSE}{r}}$，會低估推論誤差。
• 正確的兩處理平均值差之標準誤分為兩種情形：
• 兩者皆無缺值： $SE(\bar{y}_a - \bar{y}_b) = \sqrt{\frac{2 MSE}{r}}$
• 其中一個處理含有缺值： $SE(\bar{y}_{\text{missing}} - \bar{y}_{\text{complete}}) = \sqrt{MSE \left[ \frac{2}{r} + \frac{t}{r(r-1)(t-1)} \right]}$
• 未調整標準誤會使得包含缺值處理的顯著性考驗結論不可靠。

4. 單一插補低估隨機變異度（Single Imputation Deflation）：

• 公式補值屬於點估計，人為填補單一確定值會忽略隨機誤差的不確定性，無法反映該試區原有的抽樣變異。

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二、其他可行的方法

針對隨機完全區集設計中出現單一或少數缺區之問題，統計學上有下列更嚴謹、可行的替代方案：

1. 共變數分析法（Bartlett's Covariance Method / ANCOVA）：

• 操作步驟：

1. 將缺值所在的試區觀測值設為 $0$（或任意常數）。

核心觀念

本題考查農業試驗中**局部控制（Local Control）與隨機化（Randomization）**兩大基本原則的實務應用，核心考點包括：

1. 雙向環境變異梯度之辨識：試驗田兼具「南北向（朝南山坡地之坡度／土壤／水分梯度）」與「東西向（兩側防風林之遮陰／微氣候／邊緣效應梯度）」，屬於典型的互相垂直（正交）之雙向變異環境。
2. 田間設計之選用：控制單向變異採用隨機完全區集設計（RCBD）；控制雙向互相垂直變異，且處理數適中（$t = 5$）時，最適設計為拉丁方格設計（Latin Square Design, LSD）。
3. 拉丁方格的隨機化程序：拉丁方格的隨機排列受到「每處理在各列與各行皆恰出現一次」之限制，不可直接進行完全隨機抽樣，必須透過標準方格（Standard Latin square）之列重排、行重排以及處理代號隨機分派來達成。

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解題方法

(一) 田間設計規劃（10分）

1. 設計名稱選定

選用 $5 \times 5$ 拉丁方格設計（Latin Square Design, LSD）。

2. 規劃依據與局部控制配置

試驗地存在兩個互相垂直的主要環境變異來源，必須藉由雙向區集化（Two-way blocking）進行控制：

• 列（Rows）之劃分——控制南北向坡度變異： 試驗地為朝南山坡地，由上坡至下坡（南北向）存在土壤沖蝕程度、土層厚度、保水能力與日照角度等坡位差異。因此，沿著等高線將試驗地劃分為 5 個「列區集」（Row blocks），使同一列內的坡位環境條件均一。
• 行（Columns）之劃分——控制東西向防風林變異： 東西兩側各有一排防風林，防風林會造成遮陰、落葉積聚、根系養分與水分競爭，以及迎風／背風之微氣候梯度。由東側林緣至西側林緣呈現東西向變異。因此，垂直於等高線將試驗地劃分為 5 個「行區集」（Column blocks），使同一行內受防風林影響之距離條件均一。

3. 田區規格與小區劃分

• 小區總數：處理數 $t = 5$，重複數 $r = t = 5$，總小區數 $N = 5 \times 5 = 25$ 個。
• 配置排列：田面劃設為 5 列 $\times$ 5 行之網格狀配置，每一小區面積與茶樹株數保持一致（例如每小區長 10 公尺、寬 2 行茶樹）。
• 防護行設置：在試驗田最外圍（特別是緊鄰東西兩側防風林及上下坡交界處）劃設至少 1～2 行的「保護行（Border rows）」，保護行不列入試驗調查，以排除極端邊際干擾。

4. 變異數分析（ANOVA）自由度檢核

$$\begin{array}{lcc} \hline \text{變異來源 (Source)} & \text{自由度公式} & \text{本試驗自由度 (df)} \\ \hline \text{列間 (Rows, 南北坡度)} & t - 1 & 4 \\ \text{行間 (Columns, 東西防風林)} & t - 1 & 4 \\ \text{覆蓋處理 (Treatments)} & t - 1 & 4 \\ \text{試驗機差 (Experimental Error)} & (t - 1)(t - 2) & 12 \\ \hline \text{總變異 (Total)} & t^2 - 1 & 24 \\ \hline \end{array}$$

機差自由度 $df_E = 12$，滿足農業統計試驗一般要求機差自由度不小於 12 之門檻，統計檢定力（Power）充分。

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(二) 隨機排列要求之達成步驟（15分）

拉丁方格之隨機化不可隨意混抽，必須嚴格依照隨機化規範，消除試驗偏差並使機差估計具備不偏性。具體落實步驟如下：

步驟一：建立一個 $5 \times 5$ 標準拉丁方格（Standard Latin Square）

先寫出以拉丁字母 A、B、C、D、E 代表五個處理的標準方格（第一列與第一行均按字母順序排列）：

核心觀念

本題評量**二因子複因子試驗（Two-factor Factorial Experiment）採完全隨機設計（CRD）**之理論模式與變異數分析（ANOVA）實作。核心重點包含：

1. 隨機效應模式（Random Effects Model / Model II）的統計設定： 題目特別標明水稻品種與栽培密度皆為「隨機型」，因此兩主因子及其交互作用皆為隨機效應。考生必須掌握隨機模式下各項母數的期望值、變異數及分布假設（常態性、獨立性、均齊性）。
2. 隨機模式的期望均方（Expected Mean Squares, EMS）與檢定統計量建構： 在固定效應模式下，所有項目的 $F$ 檢定分母均為機差均方（$MSE$）；但在二因子隨機效應模式下，主效應的期望均方包含交互效應的變異數成分： $E(MS_A) = \sigma^2 + r\sigma_{AB}^2 + br\sigma_A^2$ $E(MS_B) = \sigma^2 + r\sigma_{AB}^2 + ar\sigma_B^2$ $E(MS_{AB}) = \sigma^2 + r\sigma_{AB}^2$ $E(MSE) = \sigma^2$ 因此，檢定主效應虛無假設時，檢定統計量的分母必須是交互效應均方（$MS_{AB}$）而非機差均方（$MSE$）。這是本題最關鍵的觀念鑑別點。

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解題方法

(一) 線性統計模式之設定、前提假設及分布性質

1. 線性統計模式（Linear Statistical Model） 本試驗為二因子隨機模式採完全隨機設計（CRD），其統計模式表示如下： $Y_{ijk} = \mu + v_i + d_j + (vd)_{ij} + \epsilon_{ijk}$ 各代號定義如下：

• $i = 1, 2$（代表水稻品種，即 $V$ 與 $v$，水準數 $a = 2$）
• $j = 1, 2$（代表栽培密度，即 $D$ 與 $d$，水準數 $b = 2$）
• $k = 1, 2, 3, 4$（代表各處理組合之重複數，重複數 $r = 4$）
• $Y_{ijk}$：第 $i$ 品種在第 $j$ 栽培密度下第 $k$ 次重複的產量觀測值。
• $\mu$：試驗總體平均數（固定常數）。
• $v_i$：水稻品種之隨機效應（Variety random effect）。
• $d_j$：栽培密度之隨機效應（Density random effect）。
• $(vd)_{ij}$：品種與栽培密度間之隨機交互效應（Interaction random effect）。
• $\epsilon_{ijk}$：試驗機差（Experimental error）。

2. 前提假設與分布性質（Assumptions & Distributional Properties）

• 常態分布與變異數成分：模式中所有隨機成分均服從期望值為 0 的常態分布：
• 水稻品種效應：$v_i \overset{i.i.d.}{\sim} N(0, \sigma_v^2)$
• 栽培密度效應：$d_j \overset{i.i.d.}{\sim} N(0, \sigma_d^2)$
• 兩者交互效應：$(vd)_{ij} \overset{i.i.d.}{\sim} N(0, \sigma_{vd}^2)$
• 試驗機差項：$\epsilon_{ijk} \overset{i.i.d.}{\sim} N(0, \sigma^2)$
• 相互獨立性（Independence）：各隨機變數 $v_i$、$d_j$、$(vd)_{ij}$ 與 $\epsilon_{ijk}$ 彼此之間均互相獨立，無共變異數存在（即任意兩隨機項之共變異數均為 0）。
• 觀測值之總變異數可加性：任一產量觀測值 $Y_{ijk}$ 之變異數可分解為各變異數成分之和： $Var(Y_{ijk}) = \sigma_v^2 + \sigma_d^2 + \sigma_{vd}^2 + \sigma^2$

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(二) 平方和、均方與檢定統計量數值之計算

Step 1：整理處理合計與邊際合計 由題意，$a = 2$（品種：$V, v$）、$b = 2$（密度：$D, d$）、$r = 4$，總觀測數 $N = a \times b \times r = 16$。 各處理組合的總和（$Y_{ij\cdot}$）及平方和（$\sum_k Y_{ijk}^2$）如下：

• 處理 $VD$：
• 觀測值：$500, 530, 460, 560$
• 合計 $Y_{11\cdot} = 500 + 530 + 460 + 560 = 2050$
• 平方和 $\sum Y_{11k}^2 = 500^2 + 530^2 + 460^2 + 560^2 = 250000 + 280900 + 211600 + 313600 = 1056100$
• 處理 $Vd$：
• 觀測值：$590, 620, 595, 645$
• 合計 $Y_{12\cdot} = 590 + 620 + 595 + 645 = 2450$
• 平方和 $\sum Y_{12k}^2 = 590^2 + 620^2 + 595^2 + 645^2 = 348100 + 384400 + 354025 + 416025 = 1502550$
• 處理 $vD$：
• 觀測值：$700, 700, 700, 750$
• 合計 $Y_{21\cdot} = 700 + 700 + 700 + 750 = 2850$
• 平方和 $\sum Y_{21k}^2 = 700^2 + 700^2 + 700^2 + 750^2 = 490000 \times 3 + 562500 = 2032500$
• 處理 $vd$：
• 觀測值：$540, 555, 545, 610$
• 合計 $Y_{22\cdot} = 540 + 555 + 545 + 610 = 2250$
• 平方和 $\sum Y_{22k}^2 = 540^2 + 555^2 + 545^2 + 610^2 = 291600 + 308025 + 297025 + 372100 = 1268750$

邊際合計（Marginal Totals）：

• 品種 $V$ 合計：$Y_{1\cdot\cdot} = 2050 + 2450 = 4500$（觀測數 $br = 8$）
• 品種 $v$ 合計：$Y_{2\cdot\cdot} = 2850 + 2250 = 5100$（觀測數 $br = 8$）
• 密度 $D$ 合計：$Y_{\cdot 1\cdot} = 2050 + 2850 = 4900$（觀測數 $ar = 8$）
• 密度 $d$ 合計：$Y_{\cdot 2\cdot} = 2450 + 2250 = 4700$（觀測數 $ar = 8$）
• 全體總和：$Y_{\dots} = 4500 + 5100 = 9600$（檢算：$4900 + 4700 = 9600$）

Step 2：計算修正項（Correction Factor, $CF$） $CF = \frac{Y_{\dots}^2}{N} = \frac{9600^2}{16} = \frac{92160000}{16} = 5760000$

Step 3：計算各項平方和（Sum of Squares, $SS$）

• 總平方和（Total Sum of Squares, $SS_{Total}$）： $\sum \sum \sum Y_{ijk}^2 = 1056100 + 1502550 + 2032500 + 1268750 = 5859900$ $SS_{Total} = 5859900 - 5760000 = 99900$

• 水稻品種平方和（$SS_V$）： $SS_V = \frac{Y_{1\cdot\cdot}^2 + Y_{2\cdot\cdot}^2}{br} - CF = \frac{4500^2 + 5100^2}{8} - 5760000 = \frac{20250000 + 26010000}{8} - 5760000 = \frac{46260000}{8} - 5760000 = 5782500 - 5760000 = 22500$

• 栽培密度平方和（$SS_D$）：