109 高普考高考三級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題評量農業試驗中兩大核心統計工具：簡單線性迴歸之最小平方法（OLS）估計與共變方分析（ANCOVA）之迴歸斜率同質性檢定（平行性檢定）。

1. 簡單線性迴歸最小平方法估計： 對單一處理樣本數 $n$，天數為自變數 $x$，通氣量為應變數 $y$。其線性迴歸方程式為 $\hat{y} = b_0 + b_1 x$：

• 離差平方和： $SS_{xx} = \sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n} = (n-1) s_x^2$
• 離差交乘積和： $SS_{xy} = \sum xy - \frac{(\sum x)(\sum y)}{n}$
• 斜率估計值： $b_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}}$
• 截距估計值： $b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$

2. 迴歸斜率同質性檢定（Test for Homogeneity of Slopes）： 探討兩種設備之反應值隨時間變化的趨勢是否一致（即兩條迴歸直線是否平行，$\beta_A = \beta_B$），本質為完全模式（Full Model）與簡化模式（Reduced Model）之額外平方和（Extra Sum of Squares）偏 $F$ 檢定：

• 完全模式（模式1）：各自估計截距與斜率（$y_{ij} = \alpha_i + \beta_i x_{ij} + \varepsilon_{ij}$），估計 4 個參數，誤差平方和為 $SSE_1$，誤差自由度為 $df_{E1} = N - 4 = 12 - 4 = 8$。
• 簡化模式（模式2）：共用斜率、截距不同（$y_{ij} = \alpha_i + \beta x_{ij} + \varepsilon_{ij}$），估計 3 個參數，誤差平方和為 $SSE_2$，誤差自由度為 $df_{E2} = N - 3 = 12 - 3 = 9$。
• 檢定統計量（Partial $F$-statistic）： $F^* = \frac{(SSE_2 - SSE_1) / (df_{E2} - df_{E1})}{SSE_1 / df_{E1}} = \frac{SS_{\text{斜率差異}} / 1}{MSE_1}$ 在虛無假說下服從自由度為 $(1, df_{E1})$ 的 $F$ 分配。

解題方法

（一）求兩種設備之截距與斜率最小平方法估計值

1. 設備 A 的線性迴歸估計

由原始數據計算基本統計總和（$n_A = 6$）：

• $\sum x_A = 31 + 23 + 27 + 28 + 22 + 24 = 155 \implies \bar{x}_A = \frac{155}{6} \approx 25.8333$
• $\sum y_A = 17.05 + 4.96 + 10.40 + 11.05 + 0.26 + 2.51 = 46.23 \implies \bar{y}_A = \frac{46.23}{6} = 7.705$
• $\sum x_A^2 = 31^2 + 23^2 + 27^2 + 28^2 + 22^2 + 24^2 = 961 + 529 + 729 + 784 + 484 + 576 = 4063$
• $\sum x_A y_A = (31 \times 17.05) + (23 \times 4.96) + (27 \times 10.40) + (28 \times 11.05) + (22 \times 0.26) + (24 \times 2.51)$ $= 528.55 + 114.08 + 280.80 + 309.40 + 5.72 + 60.24 = 1298.79$

計算離差平方和與交乘積和：

• $SS_{xx, A} = \sum x_A^2 - \frac{(\sum x_A)^2}{n_A} = 4063 - \frac{155^2}{6} = 4063 - 4004.1667 = 58.8333$ （亦可由題目給定之標準差驗算：$SS_{xx, A} = (6 - 1) \times 3.43^2 \approx 5 \times 11.7649 \approx 58.82$）
• $SS_{xy, A} = \sum x_A y_A - \frac{(\sum x_A)(\sum y_A)}{n_A} = 1298.79 - \frac{155 \times 46.23}{6} = 1298.79 - 1194.275 = 104.515$

求得設備 A 之係數估計值：

• 斜率 $b_{1A}$： $b_{1A} = \frac{SS_{xy, A}}{SS_{xx, A}} = \frac{104.515}{58.8333} \approx 1.7765 \approx 1.78$
• 截距 $b_{0A}$： $b_{0A} = \bar{y}_A - b_{1A} \bar{x}_A = 7.705 - (1.7765 \times 25.8333) \approx 7.705 - 45.892 = -38.187 \approx -38.19$ （若直接帶入題表四捨五入後數值：$b_{0A} = 7.71 - 1.78 \times 25.83 \approx -38.27$）

設備 A 之迴歸方程式為： $\hat{y}_A = -38.19 + 1.78 x$

2. 設備 B 的線性迴歸估計

由原始數據計算基本統計總和（$n_B = 6$）：

• $\sum x_B = 23 + 22 + 22 + 25 + 27 + 20 = 139 \implies \bar{x}_B = \frac{139}{6} \approx 23.1667$
• $\sum y_B = (-0.87) + (-10.74) + (-3.27) + (-1.97) + (-7.27) + 7.50 = -16.62 \implies \bar{y}_B = \frac{-16.62}{6} = -2.77$
• $\sum x_B^2 = 23^2 + 22^2 + 22^2 + 25^2 + 27^2 + 20^2 = 529 + 484 + 484 + 625 + 729 + 400 = 3251$
• $\sum x_B y_B = [23 \times (-0.87)] + [22 \times (-10.74)] + [22 \times (-3.27)] + [25 \times (-1.97)] + [27 \times (-7.27)] + (20 \times 7.50)$ $= (-20.01) + (-236.28) + (-71.94) + (-49.25) + (-196.29) + 150.00 = -423.77$

核心觀念

本題為**雙因子完全隨機設計（Two-factor Completely Randomized Design, 2-factor CRD）之變方分析（ANOVA）與單自由度線性對比（Linear Contrast）**的典型考題，主要測驗以下重點觀念與公式：

1. 雙因子變方分析的自由度與平方和分割：

• 設因子 $A$（作物別）有 $a$ 個水準，因子 $B$（施肥量）有 $b$ 個水準，每處理組合重複 $r$ 次，總觀測值個數 $N = a \times b \times r$。
• 矯正項（Correction Factor, $CF$）： $CF = \frac{Y_{\dots}^2}{N} = N \cdot \bar{y}_{\dots}^2$
• 各效應之自由度（$df$）： $df_A = a - 1, \quad df_B = b - 1, \quad df_{AB} = (a - 1)(b - 1), \quad df_E = a b (r - 1)$
• 主效應與處理平方和（可由各水準總和或平均值求得）： $SS_A = \frac{\sum_{j=1}^a Y_{\cdot j \cdot}^2}{b \cdot r} - CF = b \cdot r \sum_{j=1}^a \bar{y}_{\cdot j \cdot}^2 - CF$ $SS_B = \frac{\sum_{i=1}^b Y_{i \cdot \cdot}^2}{a \cdot r} - CF = a \cdot r \sum_{i=1}^b \bar{y}_{i \cdot \cdot}^2 - CF$ $SS_{\text{處理}} = \frac{\sum_{i=1}^b \sum_{j=1}^a Y_{ij\cdot}^2}{r} - CF = r \sum_{i=1}^b \sum_{j=1}^a \bar{y}_{ij\cdot}^2 - CF$
• 交感項平方和（Interaction SS）： $SS_{AB} = SS_{\text{處理}} - SS_A - SS_B$

2. 特定處理平均值間的線性對比與 $t$ 檢定：

• 線性對比係數向量 $\mathbf{c} = [c_1, c_2, \dots, c_k]'$ 滿足 $\sum_{i=1}^k c_i = 0$。
• 對比估計值：$\hat{L} = \sum_{i=1}^k c_i \bar{y}_i$。
• 對比估計值之標準誤： $s_{\hat{L}} = \sqrt{\text{MSE} \sum_{i=1}^k \frac{c_i^2}{r}}$
• 檢定統計量： $t = \frac{\hat{L}}{s_{\hat{L}}} \sim t(df_E)$

解題方法

（一）列式計算「作物別」、「施肥量」、「作物別與施肥量交感項」之平方和與自由度

1. 基本參數設定：

• 因子 $A$（作物別）：苜蓿、大豆、綠豆，$a = 3$。
• 因子 $B$（施肥量）：$0$、$50$、$100\text{ kg/ha}$，$b = 3$。
• 重複數：$r = 4$。
• 總觀測數：$N = a \times b \times r = 3 \times 3 \times 4 = 36$。

2. 計算各欄、列與總平均值及總和： 題目表格給定者為各處理組合之觀測值平均值 $\bar{y}_{ij\cdot}$：

• 全體總和： $Y_{\dots} = r \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \bar{y}_{ij\cdot} = 4 \times 8.37 = 33.48$
• 矯正項（$CF$）： $CF = \frac{Y_{\dots}^2}{N} = \frac{(33.48)^2}{36} = \frac{1120.9104}{36} = 31.1364$

3. 計算「作物別」之自由度與平方和：

• 自由度： $df_{\text{作物}} = a - 1 = 3 - 1 = 2$
• 平方和（每個作物總和包含 $b \times r = 3 \times 4 = 12$ 個觀測值）：

核心觀念

本題評量農藝與園藝作物育種後期試驗核心的「綜合變方分析（Combined Analysis of Variance）」理論與實務應用，涵蓋兩大核心主題：

1. 綜合變方分析之前提假設與補救措施：

• 前提假設：進行多年或多地點試驗結果合併分析時，各單一獨立試驗之機差變方必須具備同質性（Homogeneity of error variances，即 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \dots = \sigma_a^2$）。若此假設不成立，合併檢定之第一型錯誤率（Type I error rate, $\alpha$）將失真，導致推論偏誤。
• 檢定方法：常用於檢定變方同質性的統計方法包括哈特萊最大變方比檢定（Hartley's $F_{\max}$ test）與巴特勒卡方檢定（Bartlett's test）。
• 補救調整：若變方異質，可採「資料轉換（Data transformation）」、「加權最小平方綜合分析（Weighted ANOVA）」、「依變方分組分析（Subgrouping）」或「混合線性模式（Linear Mixed Models, REML）」進行修正。

2. 混合效應模式（Mixed Effects Model）之變方分析表與 $F$ 檢定：

• 試驗設計為 $y$ 個年度、$v$ 個品系、$r$ 個重複之隨機完全區集設計（RCBD）。區集配置於各年度內部，屬於「年度內區集（Blocks within years）」。
• 效應型態：年度（$Y$）為隨機效應（Random effect）；區集（$B$）與品系（$V$）為固定效應（Fixed effect）；年度與品系交感（$Y \times V$）為固定效應與隨機效應組合之混合交感效應。
• $F$ 檢定準則：依據期望均方（Expected Mean Square, EMS）推導，檢定某一效應時，分母均方之 EMS 必須恰好等於分子均方在虛無假說（$H_0$）成立時之期望值。

解題方法

（一）變方同質性之檢驗與調整方法

1. 變方同質性檢驗方法

欲確認各獨立試驗之機差均方（MSE）是否同質，需進行假說檢定： $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \dots = \sigma_a^2 \quad \text{vs.} \quad H_A: \text{至少有兩個試驗之機差變方不相等}$

常用檢定方法如下：

• Hartley 最大變方比檢定（Hartley's $F_{\max}$ 檢定）：
• 適用條件：各試驗之重複數與機差自由度皆相等（本題各年度試驗皆為 4 重複、6 品系，誤差自由度皆相同）。
• 檢定統計量： $F_{\max} = \frac{s_{\max}^2}{s_{\min}^2}$ 式中，$s_{\max}^2$ 與 $s_{\min}^2$ 分別為各試驗機差均方（MSE）之最大值與最小值。
• 判定法則：設定顯著水準 $\alpha$，查 Hartley's $F_{\max}$ 臨界值表（依試驗數 $a$ 及個別誤差自由度 $\nu$）。若 $F_{\max} < F_{\max(\alpha, a, \nu)}$，接受 $H_0$，代表誤差變方同質；若 $F_{\max} \ge F_{\max(\alpha, a, \nu)}$，則判定變方顯著異質。
• Bartlett 卡方檢定（Bartlett's test）：
• 適用條件：適用於各試驗誤差自由度相等或不相等之常態資料。
• 檢定統計量： $M = \nu \ln(s_p^2) - \sum_{i=1}^a \nu_i \ln(s_i^2)$ 其中 $\nu_i$ 為第 $i$ 個試驗之誤差自由度，$\nu = \sum_{i=1}^a \nu_i$，$s_i^2$ 為第 $i$ 個試驗之機差均方，$s_p^2 = \frac{\sum_{i=1}^a \nu_i s_i^2}{\nu}$ 為合併機差均方。 引入校正係數 $C$： $C = 1 + \frac{1}{3(a-1)} \left( \sum_{i=1}^a \frac{1}{\nu_i} - \frac{1}{\nu} \right)$ 校正後統計量 $\chi^2 = \frac{M}{C}$ 近似服從自由度為 $a-1$ 之卡方分配。若 $\chi^2 \ge \chi^2_{\alpha, a-1}$，則拒絕 $H_0$。

2. 變方不滿足同質性時之調整方法

若檢驗顯示變方顯著異質，不可直接套用一般綜合變方分析，應依資料特性採取以下調整：

1. 資料轉換（Data Transformation）： 若變方異質與處理之平均值存在函數關係，可透過適當之尺度轉換使變方穩定：

• 對數轉換（$\log Y$ 或 $\log(Y+1)$）：適用於標準差與平均數成正比（變異係數 CV 恆定）之資料。
• 平方根轉換（$\sqrt{Y}$ 或 $\sqrt{Y+0.5}$）：適用於計數型資料、變方與平均數成正比之資料。
• 反正弦角轉換（$\arcsin\sqrt{Y}$）：適用於罹病率、發芽率等百分比或二項分佈資料。 轉換後須重新檢定變方同質性，合格後再進行綜合變方分析。

2. 加權綜合變方分析（Weighted ANOVA）： 若無法藉由數學轉換改善，可改採加權最小平方法（Weighted Least Squares, WLS）。以各試驗個別機差均方的倒數作為權數： $w_i = \frac{1}{s_i^2}$ 變方較小（精確度高）的試驗賦予較大權數，變方較大（精確度低）者賦予較小權數，以消除異質變方對顯著性檢定之偏差。
3. 分組綜合分析（Subgroup Analysis）： 若試驗地點或年度較多，可依各環境之誤差變方大小，將誤差變方相近之環境歸為同質次群組（Subgroups），在各子群組內部各自進行綜合變方分析。
4. 剔除極端異常環境： 若異質性主要導因於單一特定環境遭遇天然災害（如嚴重旱澇、颱風、極端病蟲害），且變方異常膨脹，可考慮將該特定試驗剔除，僅就其餘變方同質之環境進行合併分析，該異常環境則另行獨立評估。
5. 採用混合線性模式（Linear Mixed Models / REML）： 利用現代統計方法指定異質誤差結構（Heterogeneous residual variance structure，$\text{Var}(\boldsymbol{\epsilon}_i) = \sigma_i^2 \mathbf{I}$），直接以限制最大概似法（REML）進行參數估計與假設檢定。

（二）綜合變方分析表之自由度與 $F$ 值推導

1. 試驗參數與觀測值總數

• 年度數 $y = 2$
• 品系數 $v = 6$
• 重複數（各年區集數）$r = 4$
• 總觀測值個數 $N = y \times v \times r = 2 \times 6 \times 4 = 48$

2. 各變因自由度（Degrees of Freedom, $df$）推導

• ⑴ 年度（Year, $Y$）： $df_Y = y - 1 = 2 - 1 = 1$
• ⑵ 區集（Block within Year, $B/Y$）： 區集配置於各年度內部，屬於年度內巢狀區集： $df_{B/Y} = y(r - 1) = 2 \times (4 - 1) = 6$
• ⑶ 品系（Variety, $V$）： $df_V = v - 1 = 6 - 1 = 5$
• ⑷ 年度與品系交感（Year $\times$ Variety, $Y \times V$）： $df_{YV} = (y - 1)(v - 1) = (2 - 1) \times (6 - 1) = 1 \times 5 = 5$
• ⑸ 誤差（Experimental Error, $E$）： 為各年度獨立 RCBD 試驗機差自由度之合併（Pooled error）： $df_E = y(r - 1)(v - 1) = 2 \times (4 - 1) \times (6 - 1) = 2 \times 3 \times 5 = 30$
• ⑹ 總和（Total）：

核心觀念

本題考查隨機完全區集設計的自由度判讀、變方分析的顯著性檢定、事後多重比較，以及殘差常態性與變異數同質性的判斷。

隨機完全區集設計的加法模型可寫為：

其中 $\tau_i$ 為處理效果，$\beta_j$ 為區集效果，$\varepsilon_{ij}$ 為誤差。若有 $t$ 種處理、$b$ 個區集，則處理自由度為 $t-1$、區集自由度為 $b-1$、誤差自由度為 $(t-1)(b-1)$。

解題方法與各小題作答

（一）試驗設計與重複數

生長調節劑的自由度為 $5$，因此處理數為 $5+1=6$；季節自由度為 $3$，因此區集數為 $3+1=4$。誤差自由度驗算如下：

與表中誤差自由度相符。故此試驗採隨機完全區集設計，以季節為區集。每一季節都配置六種處理各一次，因此每種生長調節劑有 4 次重複，總試驗單位數為 $6\times4=24$。

（二）顯著性檢定

檢定假設為：

顯著水準為 $\alpha=0.01$，表中生長調節劑的 $p$ 值為 $0.004$，因為 $0.004<0.01$，故拒絕 $H_0$。結論是：六種生長調節劑對作物產量有顯著影響。這表示至少有一組平均產量不同，並不表示六組彼此都不同。

（三）有顯著差異的兩兩組合

字母分組表的判讀原則是：兩組若沒有共同字母，表示平均值有顯著差異；若有共同字母，則未達顯著差異。

• LSD：顯著不同的組合為處理 1 與處理 4、5、6；處理 2 與處理 5、6；處理 3 與處理 6。
• Tukey HSD：顯著不同的組合為處理 1 與處理 5、6。

例如，LSD 下處理 1 標示為「a」、處理 4 標示為「bcd」，兩者沒有共同字母，因此有顯著差異；HSD 下處理 1 為「a」、處理 5 為「b」，也沒有共同字母，因此有顯著差異。

（四）LSD 與 HSD 的適用情境