113 高普考高考三級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查「兩組平均數的 $t$ 檢定」與「兩處理水準的變異數分析 $F$ 檢定」之等價關係。當兩組平均數的比較採用相同的誤差估計與模型時，$F$ 統計量等於 $t$ 統計量的平方：

$$F=t^2$$

因此，兩種檢定對同一個虛無假設會得到相同的顯著性結論。以下關係適用於兩組比較；非成對檢定採等變異的合併變異數方法，成對檢定則以區集內差值進行分析。

（一）非成對 $t$ 檢定與 CRD 的 $F$ 檢定

解題方法與推導

設兩個獨立處理組的觀測值分別為 $Y_{1i}$、$Y_{2j}$，樣本數為 $n_1$、$n_2$，總樣本數 $N=n_1+n_2$。檢定假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2,\qquad H_A:\mu_1\ne\mu_2$$

在等變異假設下，非成對 $t$ 檢定使用組內合併變異數：

$$S_p^2= \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$$

其統計量為：

$$t= \frac{\bar Y_1-\bar Y_2} {S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \quad\sim\quad t_{N-2}\ \text{（在 $H_0$ 下）}$$

將兩個處理視為完全逢機設計（CRD）中的兩個處理水準，單因子變異數分析的處理平方和為：

$$SS_{\text{處理}} =\sum_{i=1}^{2}n_i(\bar Y_i-\bar Y_{\cdot\cdot})^2 =\frac{n_1n_2}{N}(\bar Y_1-\bar Y_2)^2$$

CRD 的誤差均方為：

$$MS_E=S_p^2$$

因處理有兩組，誤差自由度為 $N-2$，所以：

$$F= \frac{SS_{\text{處理}}}{MS_E} = \frac{\frac{n_1n_2}{N}(\bar Y_1-\bar Y_2)^2}{S_p^2}$$

又因為 $\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}=\frac{N}{n_1n_2}$，故：

$$F= \frac{(\bar Y_1-\bar Y_2)^2} {S_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)} =t^2$$

因此，非成對 $t$ 檢定與兩處理 CRD 的 $F$ 檢定完全等價，且兩者的分母自由度都是 $n_1+n_2-2$。

（二）成對 $t$ 檢定與 RCBD 的 $F$ 檢定

解題方法與推導

設有 $b$ 個區集，每個區集內各接受兩個處理一次。令第 $j$ 區集兩處理的觀測值差為：

核心觀念

本題考查二處理、二期交叉試驗設計。每位品評員都品評 $A$、$B$ 兩種茶湯，但品評順序分為 $AB$ 與 $BA$。因此，品評員是受試單位，每位品評員各接受兩期品評；順序則是受試單位間的因子。

設計時應將 12 位品評員隨機分派到兩種順序，每種順序各 6 位。這樣可讓 $A$、$B$ 在第一期和第二期各出現相同次數，降低期別差異與順序分派不均造成的影響。

（一）試驗設計

分派與執行

將 12 位品評員編號後，隨機分派為兩組：

品評員組別	人數	第一期	第二期
順序 $AB$	6	$A$	$B$
順序 $BA$	6	$B$	$A$

各品評員在兩期各品評一次 $A$、$B$。執行時，應統一品評環境、茶湯沖泡與供應條件，並在兩期之間安排適當間隔及漱口，以減少前一種茶湯對下一期品評的殘留影響。記錄每位品評員對各茶湯的評分，作為分析資料。

可用下列模型表示評分：

$$Y_{ijk}=\mu+S_i+P_j+T_k+U_{l(i)}+\varepsilon_{ijk},$$

其中 $\mu$ 為總平均，$S_i$ 為品評順序效果，$P_j$ 為期別效果，$T_k$ 為茶湯處理效果，$U_{l(i)}$ 為順序組內品評員效果，$\varepsilon_{ijk}$ 為誤差。處理效果 $T_k$ 是比較 $A$、$B$ 平均品評結果的主要項目。

此分析以沒有明顯殘留效應為前提；若前一期茶湯會影響後一期評分，應在設計與分析中另行處理殘留效應。

（二）與拉丁方設計的關係及自由度

與 $2\times2$ 拉丁方的關係

將兩種品評順序視為列、兩個品評期別視為欄、茶湯 $A$ 與 $B$ 視為處理，可表示為：

核心觀念

本題以兩獨立樣本的平均數比較，檢定兩批稻穀的母體平均酸鹼度是否有差異。因題目詢問「是否有顯著性差異」，採雙尾檢定；顯著水準 $\alpha=0.05$，故兩尾各分配 $\alpha/2=0.025$。

若假設兩批母體變異數相等，使用合併變異數的兩樣本 $t$ 檢定；若不假設變異數相等，則使用 Welch $t$ 檢定。題目提供的自由度 $18$ 臨界值，對應等變異數的合併 $t$ 檢定。

解題方法

（一）假設設定

令 $\mu_1$、$\mu_2$ 分別代表兩批稻穀的母體平均酸鹼度。雙尾檢定的假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2$$ $$H_1:\mu_1\ne\mu_2$$

其中 $H_0$ 表示兩批稻穀的平均酸鹼度相同；$H_1$ 表示兩者不同。

（二）計算檢定統計量

採用合併變異數兩樣本 $t$ 檢定，先計算合併變異數：

$$s_p^2 =\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$$

代入 $n_1=n_2=10$、$s_1=0.36$、$s_2=0.42$：

$$s_p^2 =\frac{9(0.36^2)+9(0.42^2)}{18} =\frac{9(0.1296)+9(0.1764)}{18} =0.153$$

因此 $s_p=\sqrt{0.153}\approx0.3912$。檢定統計量為：

核心觀念

本題考裂區設計的分層逢機化與誤差項選擇。氮肥用量配置在主區，水稻品種配置在副區，因此兩個因子所使用的誤差項不同：

• 氮肥用量的主效應以主區層級的誤差檢定。
• 品種主效應與氮肥用量 × 品種交互作用以副區層級的誤差檢定。

設區集數 $r=3$、氮肥用量數 $a=3$、品種數 $b=4$。

解題方法

（一）逢機化次數

裂區設計分兩個層級逢機化：

1. **主區逢機化：**每一區集內，將 $3$ 個氮肥用量隨機配置到 $3$ 個主區，共 $3$ 次。
2. **副區逢機化：**每一區集的每個主區內，再將 $4$ 個品種隨機配置到 $4$ 個副區。共有 $3 \times 3=9$ 個主區，因此副區逢機化共 $9$ 次。

所以總逢機化次數為

$$3+9=12\text{ 次}$$

這裡以「每個需獨立隨機配置的區域」計一次：每個區集一次主區配置，加上每個主區內一次副區配置。

（二）主效應及交互作用的 $F$ 檢定

令 $Y_{ijk}$ 表示第 $i$ 個區集、第 $j$ 個氮肥用量、第 $k$ 個品種的產量，可用下列模型表示：

$$Y_{ijk} =\mu+B_i+N_j+(BN)_{ij}+R_k+(NR)_{jk}+\varepsilon_{ijk}$$

其中 $B_i$ 為區集效應，$(BN)_{ij}$ 是主區層級誤差，$\varepsilon_{ijk}$ 是副區層級誤差。

變異數分析自由度如下：

變異來源	自由度
區集	$r-1=2$
氮肥用量 $N$	$a-1=2$
主區誤差（區集 × 氮肥用量）	$(r-1)(a-1)=4$
品種 $R$	$b-1=3$