110 年高普考高考三級農業技術考古題與詳解

Question 1

試驗改良單位的雜糧作物育種專家欲比較 $A$、$B$、$C$、$D$ 四個高粱品種的穗長（cm）。該試驗於試驗田區中進行，採單畦雙行、單穴單粒栽培，空間布置採取五重複的完全隨機設計（completely randomized design, CRD）進行，各品種試驗數據如下表。假設品種效應為固定型，並且該試驗數據符合單向變方分析的前提假設： | 統計量 | $A$ | $B$ | $C$ | $D$ | |---|---:|---:|---:|---:| | 平均值 | 27.50 | 26.43 | 31.49 | 32.63 | | 標準差 | 2.64 | 2.32 | 3.40 | 4.05 | （一）試計算四個高粱品種之 $95\%$ 信賴區間，並據此結果進行闡述。（10 分） （二）試建立變方分析表，並在 $\alpha=0.05$ 下進行假設檢定的結果闡述。（10 分） （三）試在 $\alpha=0.05$ 下，利用最小顯著差異法（least significant difference, LSD）進行各高粱品種平均穗長間之多重比較，並以小寫英文字母（$a,b,c,\ldots$）在各處理平均值右側標示其差異比較結果，闡述結果並與（一）之結果進行比較。（15 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查單因子完全隨機設計（CRD）的平均數信賴區間、單因子變方分析（ANOVA），以及在整體檢定後以最小顯著差異法（LSD）進行兩兩比較。四個品種各有 $n=5$ 個觀測值，總樣本數 $N=20$ ；品種效應為固定型。

令 $Y_{ij}$ 為第 $i$ 個品種第 $j$ 個觀測值，模型為

Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij},

其中誤差項具共同變異數。檢定的虛無假設為 $H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu_D$ ，對立假設為至少一個品種平均穗長不同。

（一）四個品種平均穗長的 95% 信賴區間

各品種平均數的信賴區間為

\bar y_i\pm t_{0.975,\,n-1}\frac{s_i}{\sqrt n}.

此處 $n=5$ 、自由度為 $4$ ，且 $t_{0.975,4}=2.776$ ，所以信賴區間的誤差界限為 $2.776s_i/\sqrt5$ 。

品種	平均值	標準差	95% 信賴區間（cm）
A	27.50	2.64	$[24.22,\ 30.78]$
B	26.43	2.32	$[23.55,\ 29.31]$
C	31.49	3.40	$[27.27,\ 35.71]$
D	32.63	4.05	$[27.60,\ 37.66]$

這些區間分別估計各品種的母體平均穗長。區間有重疊，不代表兩個品種的平均數必定沒有顯著差異；判斷品種間差異應使用平均數差的檢定，例如後續的 LSD 多重比較。

（二）變方分析表與假設檢定

先由各組標準差計算誤差平方和：

SS_E=\sum_{i=1}^{4}(n-1)s_i^2 =4(2.64^2+2.32^2+3.40^2+4.05^2) =161.258.

總平均數為

\bar y_{\cdot\cdot} =\frac{27.50+26.43+31.49+32.63}{4} =29.5125.

品種平方和為

SS_T=n\sum_{i=1}^{4}(\bar y_i-\bar y_{\cdot\cdot})^2 =135.906.

因此 $SS_{\text{Total}}=SS_T+SS_E=297.164$ 。變方分析表如下：

變異來源	平方和 SS	自由度 df	均方 MS	$F$ 值
品種	135.906	3	45.302	4.495
誤差	161.258	16	10.079
總和	297.164	19

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

Question 2

農藝學家擬探討不同儲藏環境條件（$A$：相對濕度 $25\%$、溫度 $-4^\circ\mathrm{C}$；$B$：相對濕度 $25\%$、溫度 $6^\circ\mathrm{C}$；$C$：相對濕度 $50\%$、溫度 $-4^\circ\mathrm{C}$；$D$：相對濕度 $50\%$、溫度 $6^\circ\mathrm{C}$）對於玉米種子發芽率的影響。今從同批作收穫之玉米種子挑選出均質的種子樣本，共四組各 200 粒的種子進行儲藏。一年後進行發芽試驗，並計數各組樣本之發芽種子個數。如下結果： | 儲藏條件 | $A$ | $B$ | $C$ | $D$ | |---|---:|---:|---:|---:| | 發芽粒數 | 165 | 143 | 132 | 92 | 今欲探討儲藏一年後玉米種子的發芽結果是否有差異，請試擬出可能的分析策略及分析方法。

Accepted Answer

核心觀念 發芽結果是二元反應：每粒種子只有「發芽」或「未發芽」兩種結果。四種儲藏條件各觀察 200 粒，因此可將各組發芽粒數視為二項分布資料： $$ Yi\sim\operatorname{Binomial}(200,pi),\qquad i=A,B,C,D $$ 題目中的儲藏條件是相對濕度與溫度的 $2	imes2$ 因子組合，適合比較四組發芽率，也可進一步檢定濕度、溫度及兩者交互作用。 解題方法 先計算各組發芽率： | 儲藏條件 | 發芽粒數 | 未發芽粒數 | 發芽率 | |---|---:|---:|---:| | A | 165 | 35 | $82.5\%$ | | B | 143 | 57 | $71.5\%$ | | C | 132 | 68 | $66.0\%$ | | D | 92 | 108 | $46.0\%$ | 可用 $4	imes2$ 列聯表進行 Pearson 卡方同質性檢定： $$ H0:pA=pB=pC=pD,\qquad H1:	ext{至少一組發芽率不同} $$ 四組合計發芽 532 粒、未發芽 268 粒。在 $H0$ 下，各組期望發芽數為 $532/4=133$，期望未發芽數為 $268/4=67$。因此： $$ \chi^2 =\sum{i=A}^{D}\left[ \frac{(O{i,	ext{發芽}}-133)^2}{133} +\frac{(O{i,	ext{未發芽}}-67)^2}{67} ight] \approx62.98 $$

Question 3

為尋找試驗處理族群的真實情況並進行探討分析，試驗人員依據試驗的目的及條件進行試驗規劃。然而，試驗結果的量測值，與實際真值間仍仍有試驗誤差。請試分析探討誤差的來源，並從試驗設計的基本原則說明如何減少試驗誤差、估計試驗誤差，並估計族群真值。（18 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查試驗誤差的來源，以及試驗設計三項基本原則——重複、隨機化、局部控制（區組化）——如何用來降低誤差、估計誤差，並推估處理族群的真值。 試驗中的觀測值通常可表示為： $$ Y{ij}=\mu+	aui+\varepsilon{ij} $$ 其中，$Y{ij}$ 是第 $i$ 個處理第 $j$ 次重複的觀測值，$\mu$ 是整體平均，$	aui$ 是處理效果，$\varepsilon{ij}$ 是試驗誤差。觀測值與真值的差異，可能來自環境、材料、操作及量測等因素；試驗設計的目標，是避免這些非處理因素與處理效果混淆，並使誤差得以估計。 誤差來源 1. 試驗材料差異：植株、種子或試驗單位本身的遺傳背景、大小、發育程度及生理狀態不一致。 2. 環境變異：田間土壤肥力、水分、光照、地勢、病蟲害及微氣候的空間差異；溫室或實驗室的溫度、濕度等條件也可能變動。 3. 試驗操作差異：播種、施肥、灌溉、採樣及處理時間不一致，或操作人員技術不同。 4. 量測與記錄誤差：儀器校正不足、量測精度有限、讀值或抄錄錯誤，以及樣品處理造成的誤差。 5. 抽樣與偶然變異：樣本未能完全代表處理族群，且個體反應本身具有隨機差異。 誤差可概分為系統誤差與隨機誤差。系統誤差會使結果持續偏高或偏低，例如儀器未校正或某一處理總在較肥沃位置；隨機誤差則使觀測值在真值周圍不規則波動。隨機化與統計估計主要處理隨機變異，系統誤差則須靠校正、標準化操作及合理配置來預防。 解題方法：運用試驗設計三原則 一、重複：降低誤差影響並估計誤差 每一處理配置多個獨立試驗單位，使處理效果不致由單一個體或位置決定。重複可反映試驗單位間的變異，並提供誤差估計所需的自由度。 若某處理有 $r$ 次重複，處理平均數為： $$ \bar{Y}i=\frac{1}{r}\sum{j=1}^{r}Y{ij} $$ 若各次觀測誤差獨立，且變異數為 $\sigma^2$，則平均數的變異數為 $\sigma^2/r$，標準誤為： $$ SE(\bar{Y}i)=\frac{s}{\sqrt{r}} $$ 因此，增加重複可降低平均數的抽樣誤差；但重複數須依試驗規模、可用資源及預期變異合理決定。 二、隨機化：避免偏差並使誤差可估 將各處理以隨機方式分派至試驗單位，避免人為挑選位置或配置順序，使處理效果不與土壤肥力、位置或操作順序等因素系統性混淆。隨機化可使未控制因素較不易偏向特定處理，讓誤差項具有合理的隨機性基礎。 隨機化並非消除誤差，而是避免誤差有方向地偏袒某些處理，並使統計推論成立。 三、局部控制：分組後降低誤差變異

Question 4

國外水稻調查研究時常使用著粒密度（grain density），亦即每單位穗長（cm）下的穀粒數，作為目標特徵進行水稻品種與氮肥的複因子試驗，以探討水稻品種與氮肥施用量在著粒密度上的效應。今欲探討兩個水稻品種（$V1$、$V2$）與三個氮肥等級（$N1$：$60$、$N2$：$120$、$N3$：$180\ \mathrm{kg/ha}$），試驗以栽培桶進行栽培調查，空間布置採三重複完全隨機設計（completely randomized design, CRD）進行。試針對下列問題進行回答及探討： （一）請完成下列變方分析表（ANOVA Table）。（15 分） | Source | DF | Sum of Squares | Mean Square | $F$ Value | Pr$$F | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | Nitrogen | （A） | （F） | 0.00135000 | （L） | （N） | | Varieties | （B） | （G） | （J） | 7.11 | 0.0205 | | Nitrogen $	imes$ Varieties | （C） | （H） | 0.00665000 | （M） | （O） | | Error | （D） | （I） | （K） | | | | Corrected Total | （E） | 0.02460000 | | | | （N）、（O）以星號（$$）表示；$$、$$、$$ 分別代表在 $5\%$、$1\%$ 及 $0.1\%$ 顯著水準下存在顯著差異結果，NS 代表無顯著差異存在。 （二）在 $\alpha=0.05$ 下，請依據 ANOVA Table 的結果進行假設檢定的結果闡述及其原因。（12 分） （三）請依據分析結果研擬後續之分析策略，並說明其原因…

Accepted Answer

核心觀念

本題考二因子完全隨機設計（two-way factorial CRD）的變方分析。氮肥有 3 個等級、品種有 2 個，因此共有 $3\times2=6$ 個處理組合；每組 3 個重複，總觀測數為 $18$ 。

模型可寫為：

Y_{ijk}=\mu+N_i+V_j+(NV)_{ij}+\varepsilon_{ijk}

其中 $N_i$ 為氮肥效應、 $V_j$ 為品種效應、 $(NV)_{ij}$ 為交互作用， $\varepsilon_{ijk}$ 為試驗誤差。各來源自由度為：

氮肥： $3-1=2$
品種： $2-1=1$
氮肥 $\times$ 品種： $(3-1)(2-1)=2$
誤差： $3\times2\times(3-1)=12$
修正總和： $18-1=17$

變方分析中， $F$ 值為「該來源均方除以誤差均方」，用來檢定該效應是否顯著。

（一）完成變方分析表

已知氮肥均方 $MS_N=0.00135000$ ，交互作用均方 $MS_{NV}=0.00665000$ ，品種 $F=7.11$ ，修正總平方和為 $0.02460000$ 。

令誤差均方為 $K$ 。品種自由度為 1，因此品種平方和與均方相等，且：

MS_V=SS_V=7.11K

利用平方和可加性：

0.02460000 =2(0.00135000)+7.11K+2(0.00665000)+12K

K=\frac{0.02460000-0.00270000-0.01330000}{19.11} \approx 0.00045003

其餘數值依序計算：

SS_N=2(0.00135000)=0.00270000

SS_V=MS_V=7.11K\approx 0.00319969

SS_{NV}=2(0.00665000)=0.01330000

SS_E=12K\approx 0.00540031

F_N=\frac{0.00135000}{K}\approx 3.00,\qquad F_{NV}=\frac{0.00665000}{K}\approx 14.78

完成表如下：

Source	DF	Sum of Squares	Mean Square	$F$ Value	Pr $>$ F
Nitrogen	2	0.00270000	0.00135000	3.00	NS
Varieties	1	0.00319969	0.00319969	7.11	0.0205（*）
Nitrogen $\times$ Varieties	2	0.01330000	0.00665000	14.78	***
Error	12	0.00540031	0.00045003
Corrected Total	17	0.02460000

氮肥效應的 $F$ 值約為 3.00，低於 $df_1=2,df_2=12$ 時的 5% 臨界值 3.8853，因此標示 NS。交互作用的 $F$ 值約為 14.78，高於 0.1% 臨界值 12.974，因此標示 ***。品種的 $F=7.11$ 及 $p=0.0205$ ，在 5% 水準顯著，但未達 1% 水準，故標示 *。

$df_2 \backslash df_1$	1	2	3	4	5	6
11	4.8443	3.9823	3.5874	3.3567	3.2039	3.0946
12	4.7472	3.8853	3.4903	3.2592	3.1059	2.9961
13	4.6672	3.8056	3.4105	3.1791	3.0254	2.9153
14	4.6001	3.7389	3.3439	3.1122	2.9582	2.8477
15	4.5431	3.6823	3.2874	3.0556	2.9013	2.7905
16	4.4940	3.6337	3.2389	3.0069	2.8524	2.7413
17	4.4513	3.5915	3.1968	2.9647	2.8100	2.6987
18	4.4139	3.5546	3.1599	2.9277	2.7729	2.6613

$df_2 \backslash df_1$	1	2	3	4	5	6
11	9.646	7.206	6.217	5.668	5.316	5.069
12	9.330	6.927	5.953	5.412	5.064	4.821
13	9.074	6.701	5.739	5.205	4.862	4.620
14	8.862	6.515	5.564	5.035	4.695	4.456
15	8.683	6.359	5.417	4.893	4.556	4.318
16	8.531	6.226	5.292	4.773	4.437	4.202
17	8.400	6.112	5.185	4.669	4.336	4.102
18	8.285	6.013	5.092	4.579	4.248	4.015

$df_2 \backslash df_1$	1	2	3	4	5	6
11	19.687	13.812	11.561	10.346	9.578	9.047
12	18.643	12.974	10.804	9.633	8.892	7.480
13	17.815	12.313	10.209	9.073	8.354	7.489
14	17.143	11.779	9.729	8.622	7.922	7.077
15	16.587	11.339	9.335	8.253	7.567	6.741
16	16.120	10.971	9.006	7.944	7.272	6.805
17	15.722	10.658	8.727	7.683	7.022	6.562
18	15.379	10.390	8.487	7.459	6.808	6.355

$df$	$\alpha=0.10$	$\alpha=0.05$	$\alpha=0.025$	$\alpha=0.01$
2	1.886	2.920	4.303	6.965
3	1.638	2.353	3.182	4.541
4	1.533	2.132	2.776	3.747
5	1.476	2.015	2.571	3.365
6	1.440	1.943	2.447	3.143
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
15	1.341	1.753	2.131	2.602
16	1.337	1.746	2.120	2.583
17	1.333	1.740	2.110	2.567
18	1.330	1.734	2.101	2.552
19	1.328	1.729	2.093	2.539
20	1.325	1.725	2.086	2.528

110 高普考高考三級農業技術試驗設計考古題詳解

第一題35 分

核心觀念

（一）四個品種平均穗長的 95% 信賴區間

（二）變方分析表與假設檢定

第二題10 分

第三題18 分

核心觀念

誤差來源

解題方法：運用試驗設計三原則

一、重複：降低誤差影響並估計誤差

二、隨機化：避免偏差並使誤差可估

三、局部控制：分組後降低誤差變異

第四題37 分

核心觀念

（一）完成變方分析表

（二）在 $\alpha=0.05$ 下的假設檢定

氮肥主效應

其他考古題

110 年農業技術的其他科目

農業技術《試驗設計》其他年度

110 高普考高考三級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

第 一 題35 分

核心觀念

（一）四個品種平均穗長的 95% 信賴區間

（二）變方分析表與假設檢定

第 二 題10 分

第 三 題18 分

核心觀念

誤差來源

解題方法：運用試驗設計三原則

一、重複：降低誤差影響並估計誤差

二、隨機化：避免偏差並使誤差可估

三、局部控制：分組後降低誤差變異

第 四 題37 分

核心觀念

（一）完成變方分析表

（二）在 α=0.05\alpha=0.05α=0.05 下的假設檢定

氮肥主效應

其他考古題

110 年農業技術的其他科目

農業技術《試驗設計》其他年度

110 高普考高考三級農業技術試驗設計考古題詳解

第一題35 分

第二題10 分

第三題18 分

第四題37 分

（二）在 $\alpha=0.05$ 下的假設檢定