108 高普考高考三級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

108 年・高普考・高考三級・農業技術
試題代碼 試驗設計

第 一 題25 分

某研究團隊擬測驗在不同海拔高度佛甲草屬植物的平均密度是否不同，於 3 個不同海拔地區中，隨機各抽樣等大的 5 個方格面積（#1～#5），調查臺灣佛甲草（SedumformosanumSedum formosanum）原生種的密度（株／單位面積），結果如下：

重複地區 1地區 2地區 3
#1151414
#2161613
#3151513
#4171515
#5151313
平均值15.614.613.6
合計787368

（假設株數呈常態分布。）

（一）請寫出 H0H_0 及 H1H_1，並計算完成變方分析表，回答當顯著水準在 5% 時的結論為何？（15 分）

（二）請利用最小顯著差異（LSD）來比較那一個地區海拔高度的植物平均密度最大？（10 分）

註：總平方和（SStotalSS_{\mathrm{total}}）=21.6=21.6；F0.05,3,12=3.49F_{0.05,3,12}=3.49；F0.05,3,13=3.41F_{0.05,3,13}=3.41；F0.05,3,14=3.34F_{0.05,3,14}=3.34；F0.05,3,15=3.29F_{0.05,3,15}=3.29；F0.05,2,12=3.88F_{0.05,2,12}=3.88；F0.05,2,13=3.81F_{0.05,2,13}=3.81；F0.05,2,14=3.74F_{0.05,2,14}=3.74；F0.05,2,15=3.68F_{0.05,2,15}=3.68；F0.05,3,5=5.41F_{0.05,3,5}=5.41；F0.05,5,3=9.01F_{0.05,5,3}=9.01；t0.05,2=2.92t_{0.05,2}=2.92；t0.05,3=2.35t_{0.05,3}=2.35；t0.05,12=1.78t_{0.05,12}=1.78；t0.05,14=1.76t_{0.05,14}=1.76；t0.05,15=1.75t_{0.05,15}=1.75；t0.025,2=4.30t_{0.025,2}=4.30；t0.025,3=3.18t_{0.025,3}=3.18；t0.025,12=2.17t_{0.025,12}=2.17；t0.025,14=2.14t_{0.025,14}=2.14；t0.025,15=2.13t_{0.025,15}=2.13。

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核心觀念

本題以單因子變方分析（one-way ANOVA）比較三個海拔地區的平均植物密度。每個地區各有 5 個觀測值，總樣本數為 15。檢定的虛無假設是三地區平均數相等；若拒絕虛無假設，表示至少一個地區的平均數不同。

解題方法與變方分析表

設定假設：

H0:μ1=μ2=μ3H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3 H1:三地區平均數不全相等H_1:\text{三地區平均數不全相等}

總合計為 G=78+73+68=219G=78+73+68=219，樣本數 N=15N=15，修正因子為：

CF=G2N=219215=3197.4CF=\frac{G^2}{N}=\frac{219^2}{15}=3197.4

地區間平方和：

SS地區=∑j=13Tj2nj−CF=782+732+6825−3197.4=10SS_{\text{地區}} =\sum_{j=1}^{3}\frac{T_j^2}{n_j}-CF =\frac{78^2+73^2+68^2}{5}-3197.4 =10

題目給定 SStotal=21.6SS_{\text{total}}=21.6，因此誤差平方和為：

SS誤差=SStotal−SS地區=21.6−10=11.6SS_{\text{誤差}}=SS_{\text{total}}-SS_{\text{地區}} =21.6-10=11.6

自由度分別為地區間 3−1=23-1=2、誤差 15−3=1215-3=12、總和 15−1=1415-1=14。均方與 FF 值如下：

變異來源平方和 SS自由度 df均方 MSFF 值
地區間10.025.05.0/(11.6/12)=5.175.0/(11.6/12)=5.17
誤差11.6120.967
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第 二 題25 分

某研究人員施用氮肥（NN）及磷肥（PP）進行新品系大豆之產量比較試驗。氮肥每公頃分別施用 10 公斤（N1N1）及 20 公斤（N2N2）兩種用量；磷肥則分成 5 公斤（P1P1）及 50 公斤（P2P2）兩種施用量。4 種處理採用完全隨機設計（CRD）進行試驗，重複 3 次，各試驗區所得到的產量資料（kg／plot）如下：

處理組合重複 1重複 2重複 3處理總和
N1P122191960
N1P223202063
N2P125232472
N2P230242781

請列出變方分析表，並回答當顯著水準在 5% 以下之氮肥、磷肥及其交感效應的結論各為何？

註：處理總和 =276=276；總平方和（SStotalSS_{\mathrm{total}}）=122=122；處理平方和（SStreatmentSS_{\mathrm{treatment}}）=90=90；交感平方和（SSinteractionSS_{\mathrm{interaction}}）=3=3；F0.05,1,11=4.84F_{0.05,1,11}=4.84；F0.05,3,11=3.58F_{0.05,3,11}=3.58；F0.05,1,8=5.31F_{0.05,1,8}=5.31；F0.05,3,8=4.06F_{0.05,3,8}=4.06；F0.05,8,11=2.94F_{0.05,8,11}=2.94；F0.05,4,12=3.26F_{0.05,4,12}=3.26。

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核心觀念

本題是 2×22\times2 因子試驗，採完全隨機設計（CRD），每個氮肥與磷肥處理組合重複 33 次。變方分析將處理平方和拆成氮肥主效應、磷肥主效應及氮肥與磷肥的交互作用，再以誤差均方作為各效應的檢定分母。

解題方法

總觀測數為 N=2×2×3=12N=2\times2\times3=12。校正項為

CF=276212=6348CF=\frac{276^2}{12}=6348

四個處理組合的總和依序為 60、63、72、8160、63、72、81，因此處理平方和為

SS處理=602+632+722+8123−CF=90SS_{\text{處理}} =\frac{60^2+63^2+72^2+81^2}{3}-CF =90

氮肥平方和

氮肥 N1N1、N2N2 的邊際總和分別為 60+63=12360+63=123、72+81=15372+81=153，各包含 2×3=62\times3=6 個觀測值：

SSN=1232+15326−CF=75SS_N=\frac{123^2+153^2}{6}-CF=75

磷肥平方和

磷肥 P1P1、P2P2 的邊際總和分別為 60+72=13260+72=132、63+81=14463+81=144，各包含 66 個觀測值：

SSP=1322+14426−CF=12SS_P=\frac{132^2+144^2}{6}-CF=12

交互作用平方和由題目提供為 SSN×P=3SS_{N\times P}=3。誤差平方和為

SSE=SStotal−SS處理=122−90=32SS_E=SS_{\text{total}}-SS_{\text{處理}}=122-90=32

各平方和符合分解關係：

SSN+SSP+SSN×P=75+12+3=90SS_N+SS_P+SS_{N\times P}=75+12+3=90

變方分析表

| 變異來源 | 自由度 | 平方和（SS） | 均方（MS） | FF 值 | 5%5\% 臨界值 | 檢定結論 |

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第 三 題25 分

請回答下列有關裂區設計的 2 個問題：

（一）某研究人員想了解在淹水處理對甘藷塊根抗氧化系統之影響，於是使用 2 種甘藷品種（V1V1、V2V2）進行 3 種淹水處理（不淹、50% 田間溶水量、100% 田間溶水量），田間試驗採用裂區設計（split plot design）並重複 3 區集（B1B1、B2B2、B3B3，每個區塊均為 280 m2280\ \mathrm{m^2}）。淹水處理（WW）與品種（VV）分別為大區（whole plots）及小區（subplots，小區內有 5 株植株）。請寫出該試驗的變方分析表之各項變因及其自由度。（10 分）

（二）某研究人員想了解在淹水處理之前施用鈣肥對甘藷塊根抗氧化系統之影響，施用 4 種不同濃度（00、6060、120120、180 kg ha−1180\ \mathrm{kg\ ha^{-1}}）之鈣肥（CaCl2\mathrm{CaCl_2}）於 2 種甘藷品種（V1V1、V2V2）進行 3 種淹水處理（不淹、50% 田間溶水量、100% 田間溶水量）。田間試驗採用裂裂區設計（雙重裂區設計）（split-split plot design）並重複 3 區集（B1B1、B2B2、B3B3，每個區塊均為 280 m2280\ \mathrm{m^2}）。淹水處理（WW）、品種（VV）、鈣肥（FF）分別為大區（whole plots）、中區（subplots）及小區（sub-sub-plots，小區內有 5 株植株）。請寫出該試驗的變方分析表之各項變因及其自由度。（15 分）

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核心觀念

本題評量農業試驗中最經典的多因子試驗配置：**裂區設計（Split-Plot Design）與裂裂區設計（Split-Split Plot Design，又稱雙重裂區設計）**之變方分析（ANOVA）結構與自由度（df\mathrm{df}）推導。

其核心觀念與統計原理包含：

  1. 處理因子之階層性（Hierarchy of Experimental Units）：
  • 裂區設計具有兩種大小不同的試驗單元：大區（主區，Whole plot）與小區（副區，Subplot）。
  • 裂裂區設計具有三種階層的試驗單元：大區（主區，Whole plot）、中區（副區，Subplot）與小區（雙重副區／次副區，Sub-sub-plot）。
  1. 多重誤差項（Multiple Error Terms）：
  • 不同階層的處理因子施加在不同大小的試驗單元上，因此各階層擁有專屬的試驗機差（Experimental Error）：
  • 大區部分對應大區機差（主區誤差，Error a），用於檢定大區處理。
  • 中區（副區）部分對應副區機差（副區誤差，Error b），用於檢定副區處理及其與主區之交互作用。
  • 小區（次副區）部分對應次副區機差（雙重副區誤差，Error c），用於檢定小區處理及其各級交互作用。
  1. 試驗單元（Experimental Unit）與取樣單元（Sampling Unit）之釐清：
  • 農業田間試驗常以「小區平均值或總值」作為一個觀察值進行變異數分析，此時小區為最小試驗單元。
  • 若試驗以「小區內個別植株」為測定單位，則小區內株間變異即為取樣誤差（Sampling Error）。在公職考試中，標準答案均以**試驗單元基準（Plot basis）**為骨幹，並可附帶說明取樣單元基準之延伸。

解題方法

（一）裂區設計（Split-Plot Design）之變方分析表推導

  1. 參數定義與因子水準數：
  • 區集數（Blocks, BB）：r=3r = 3（B1,B2,B3B1, B2, B3）
  • 大區因子（淹水處理, WW）：a=3a = 3（不淹、50%、100%）
  • 小區因子（品種, VV）：b=2b = 2（V1,V2V1, V2）
  • 總試驗小區數（觀察值數）：N=r×a×b=3×3×2=18N = r \times a \times b = 3 \times 3 \times 2 = 18
  1. 各變因自由度推導：
  • 大區部分（Whole plots）：
  • 區集（BB）：dfB=r−1=3−1=2\mathrm{df}_B = r - 1 = 3 - 1 = 2
  • 淹水處理（WW）：dfW=a−1=3−1=2\mathrm{df}_W = a - 1 = 3 - 1 = 2
  • 大區機差（Error a，即 B×WB \times W 交互作用）： dfError a=(r−1)(a−1)=(3−1)(3−1)=2×2=4\mathrm{df}_{\text{Error a}} = (r - 1)(a - 1) = (3 - 1)(3 - 1) = 2 \times 2 = 4 註：大區單元自由度合計 =ra−1=3×3−1=8=2+2+4= ra - 1 = 3 \times 3 - 1 = 8 = 2 + 2 + 4。
  • 小區部分（Subplots）：
  • 品種（VV）：dfV=b−1=2−1=1\mathrm{df}_V = b - 1 = 2 - 1 = 1
  • 交互作用（W×VW \times V）： dfW×V=(a−1)(b−1)=(3−1)(2−1)=2×1=2\mathrm{df}_{W \times V} = (a - 1)(b - 1) = (3 - 1)(2 - 1) = 2 \times 1 = 2
  • 小區機差（Error b，即 B×VB \times V 與 B×W×VB \times W \times V 之合併項）： dfError b=a(r−1)(b−1)=3×(3−1)(2−1)=3×2×1=6\mathrm{df}_{\text{Error b}} = a(r - 1)(b - 1) = 3 \times (3 - 1)(2 - 1) = 3 \times 2 \times 1 = 6
  • 總自由度（Total）： dfTotal=rab−1=18−1=17\mathrm{df}_{\text{Total}} = rab - 1 = 18 - 1 = 17 驗算：2+2+4+1+2+6=172 + 2 + 4 + 1 + 2 + 6 = 17，完全吻合。

（二）裂裂區設計（Split-Split Plot Design）之變方分析表推導

  1. 參數定義與因子水準數：
  • 區集數（Blocks, BB）：r=3r = 3（B1,B2,B3B1, B2, B3）
  • 大區因子（淹水處理, WW）：a=3a = 3（不淹、50%、100%）
  • 中區因子（品種, VV）：b=2b = 2（V1,V2V1, V2）
  • 小區因子（鈣肥, FF）：c=4c = 4（0,60,120,180 kg ha−10, 60, 120, 180\ \mathrm{kg\ ha^{-1}}）
  • 總試驗單元數：N=r×a×b×c=3×3×2×4=72N = r \times a \times b \times c = 3 \times 3 \times 2 \times 4 = 72
  1. 各變因自由度推導：
  • 大區部分（Whole plots）：
  • 區集（BB）：dfB=r−1=3−1=2\mathrm{df}_B = r - 1 = 3 - 1 = 2
  • 淹水處理（WW）：dfW=a−1=3−1=2\mathrm{df}_W = a - 1 = 3 - 1 = 2
  • 大區機差（Error a）： dfError a=(r−1)(a−1)=(3−1)(3−1)=4\mathrm{df}_{\text{Error a}} = (r - 1)(a - 1) = (3 - 1)(3 - 1) = 4
  • 中區部分（Subplots）：
  • 品種（VV）：dfV=b−1=2−1=1\mathrm{df}_V = b - 1 = 2 - 1 = 1
  • 淹水 ×\times 品種（W×VW \times V）： dfW×V=(a−1)(b−1)=(3−1)(2−1)=2\mathrm{df}_{W \times V} = (a - 1)(b - 1) = (3 - 1)(2 - 1) = 2
  • 中區機差（Error b）： dfError b=a(r−1)(b−1)=3×(3−1)(2−1)=6\mathrm{df}_{\text{Error b}} = a(r - 1)(b - 1) = 3 \times (3 - 1)(2 - 1) = 6
  • 小區部分（Sub-sub-plots）：
  • 鈣肥（FF）：dfF=c−1=4−1=3\mathrm{df}_F = c - 1 = 4 - 1 = 3
  • 淹水 ×\times 鈣肥（W×FW \times F）： dfW×F=(a−1)(c−1)=(3−1)(4−1)=2×3=6\mathrm{df}_{W \times F} = (a - 1)(c - 1) = (3 - 1)(4 - 1) = 2 \times 3 = 6
  • 品種 ×\times 鈣肥（V×FV \times F）：
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第 四 題25 分

某學者正在研究灌溉方式與甘藷葉黃化之關聯性，他發現 3 種不同灌溉方式對新品種甘藷葉片變黃的情形如下表所示：

灌溉方式綠色葉片數黃色葉片數枯葉片數合計
溝灌水5627790
滴灌水931913125
噴灌水622416102
合計2117036317

請寫出 H0H_0 及 H1H_1，並回答當顯著水準在 5% 時的結論為何？（25 分）

註：χ0.05,12=3.84\chi^2_{0.05,1}=3.84；χ0.05,22=5.99\chi^2_{0.05,2}=5.99；χ0.05,32=7.81\chi^2_{0.05,3}=7.81；χ0.05,42=9.48\chi^2_{0.05,4}=9.48；χ0.05,52=11.07\chi^2_{0.05,5}=11.07；χ0.05,62=12.59\chi^2_{0.05,6}=12.59；χ0.05,72=14.06\chi^2_{0.05,7}=14.06；χ0.05,82=15.50\chi^2_{0.05,8}=15.50；χ0.05,92=16.91\chi^2_{0.05,9}=16.91；χ0.05,102=18.30\chi^2_{0.05,10}=18.30。

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核心觀念

本題以列聯表檢定「灌溉方式」與「葉片狀態」是否彼此獨立，使用卡方獨立性檢定。題目有 3 種灌溉方式、3 種葉片狀態，因此是 3×33\times3 列聯表。

  • H0H_0：灌溉方式與葉片狀態彼此獨立；不同灌溉方式的葉片狀態比例相同。
  • H1H_1：灌溉方式與葉片狀態不獨立；至少一種灌溉方式的葉片狀態比例不同。

解題方法

先在 H0H_0 成立的假設下，計算各格的期望次數：

Eij=第 i 列合計×第 j 欄合計總數E_{ij}=\frac{\text{第 }i\text{ 列合計}\times\text{第 }j\text{ 欄合計}}{\text{總數}}

依序為「綠葉、黃葉、枯葉」的期望次數：

灌溉方式綠色葉片數黃色葉片數枯葉片數
溝灌水59.9119.8710.22
滴灌水83.2027.6014.20
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農業技術《試驗設計》其他年度

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