108 高普考高考三級 土木工程 土壤力學（包括基礎工程） 考古題詳解

108 年・高普考・高考三級・土木工程
試題代碼 土壤力學（包括基礎工程）

第 一 題25 分

對某飽和黏土，進行一系列三次不壓密不排水試驗（UU），得到如下表之結果：

試體編號123
圍壓應力（kPa）200400600
軸差應力（kPa）222218220

（一）試繪此 UU 試驗之應力莫爾圓圖。（10 分）

（二）試求此黏土之不排水剪力強度 SuS_u 為何？（15 分）

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核心觀念

UU 試驗（不壓密不排水試驗）以總應力繪製莫爾圓。每個試體破壞時：

  • 最小主應力：σ3\sigma_3，即圍壓應力。
  • 最大主應力：σ1=σ3+(σ1−σ3)\sigma_1=\sigma_3+(\sigma_1-\sigma_3)，即圍壓應力加上軸差應力。
  • 莫爾圓圓心：σ1+σ32\dfrac{\sigma_1+\sigma_3}{2}。
  • 莫爾圓半徑：σ1−σ32\dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}。

飽和黏土的 UU 試驗在總應力分析下，通常採用不排水摩擦角 ϕu=0\phi_u=0。因此破壞包絡線為水平線，且不排水剪力強度 SuS_u 等於莫爾圓半徑。

解題方法

先由各試體的圍壓與軸差應力求出破壞時的主應力，再計算莫爾圓圓心及半徑。

試體σ3\sigma_3（kPa）軸差應力（kPa）σ1\sigma_1（kPa）圓心（kPa）半徑（kPa）
1200222200+222=422200+222=422422+2002=311\dfrac{422+200}{2}=311422−2002=111\dfrac{422-200}{2}=111
2400218400+218=618400+218=618618+4002=509\dfrac{618+400}{2}=509618−4002=109\dfrac{618-400}{2}=109
3600220600+220=820600+220=820820+6002=710\dfrac{820+600}{2}=710820−6002=110\dfrac{820-600}{2}=110

（一）莫爾圓圖

以橫軸為正向應力 σ\sigma、縱軸為剪應力 τ\tau，三個莫爾圓分別為：

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第 二 題25 分

如圖所示，有一連續壁將構築在土層中。土層其單位重 γ=18 kN/m3\gamma=18\ \text{kN/m}^3（地下水位以上和以下都是相同此單位重），剪力強度參數 c′=0c'=0、ϕ′=34∘\phi'=34^\circ。

這溝槽深度 H=3.50 mH=3.50\ \text{m}，穩定液的深度為 h1=3.35 mh_1=3.35\ \text{m}，地下水位在溝槽底面以上 h2=1.85 mh_2=1.85\ \text{m}。若穩定液側壓力 PP 會抵抗潛在滑動楔形土塊 WW，以保持壁體安全。潛在滑動面與水平面夾角：

α=45∘+ϕ′2\alpha=45^\circ+\frac{\phi'}{2}

（一）當安全係數採用 22 時，試計算穩定液單位重 γs\gamma_s 及滑動面上之正力 NN 各為多少？（15 分）

（二）當安全係數採用 11 時，試計算穩定液單位重 γs\gamma_s 及滑動面上之正力 NN 各為多少？（10 分）

提示：

P+T\cos\alpha-N\sin\alpha=0\tag{1}

W-T\sin\alpha-N\cos\alpha=0\tag{2}

P=12γsh12P=\frac{1}{2}\gamma_s h_1^2

U=12γwh22sin⁡αU=\frac{1}{2}\frac{\gamma_w h_2^2}{\sin\alpha}

T=(N−U)tan⁡ϕm′T=(N-U)\tan\phi'_m

ϕm′=tan⁡−1(tan⁡ϕ′FS)\phi'_m=\tan^{-1}\left(\frac{\tan\phi'}{FS}\right)

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核心觀念

本題以連續壁旁的潛在滑動楔體作受力平衡，計算穩定液提供的水平合力 PP，以及滑動面上的正力 NN。滑動面抗剪力為

T=(N−U)tan⁡ϕm′T=(N-U)\tan\phi'_m

其中 UU 是滑動面上的水壓合力，ϕm′\phi'_m 是依安全係數折減後的摩擦角：

ϕm′=tan⁡−1(tan⁡ϕ′FS)\phi'_m=\tan^{-1}\left(\frac{\tan\phi'}{FS}\right)

採用 γw=9.81 kN/m3\gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3 計算。

解題方法

圖示楔體的垂直高度為 HH，滑動面與水平面夾角為 α\alpha，因此楔體水平寬度為 H/tan⁡αH/\tan\alpha。每公尺連續壁長度的楔體重量為

W=12(HHtan⁡α)γ=12γH2cot⁡αW=\frac{1}{2}\left(H\frac{H}{\tan\alpha}\right)\gamma =\frac{1}{2}\gamma H^2\cot\alpha

代入 α=45∘+34∘/2=62∘\alpha=45^\circ+34^\circ/2=62^\circ：

W=12(18)(3.50)2cot⁡62∘=58.621 kN/mW=\frac{1}{2}(18)(3.50)^2\cot62^\circ =58.621\ \text{kN/m}

滑動面上的水壓合力依題目提示計算：

U=12γwh22sin⁡α=12(9.81)(1.85)2sin⁡62∘=19.013 kN/mU=\frac{1}{2}\frac{\gamma_w h_2^2}{\sin\alpha} =\frac{1}{2}\frac{(9.81)(1.85)^2}{\sin62^\circ} =19.013\ \text{kN/m}

令 q=tan⁡ϕm′=tan⁡34∘/FSq=\tan\phi'_m=\tan34^\circ/FS，將 T=(N−U)qT=(N-U)q 代入題目兩個平衡式：

P+(N−U)qcos⁡α−Nsin⁡α=0P+(N-U)q\cos\alpha-N\sin\alpha=0 W−(N−U)qsin⁡α−Ncos⁡α=0W-(N-U)q\sin\alpha-N\cos\alpha=0

由第二式解出 NN，再代回第一式求 PP：

N=W+Uqsin⁡αcos⁡α+qsin⁡αN=\frac{W+Uq\sin\alpha}{\cos\alpha+q\sin\alpha} P=Nsin⁡α−(N−U)qcos⁡αP=N\sin\alpha-(N-U)q\cos\alpha

穩定液的單位重則由 P=12γsh12P=\frac{1}{2}\gamma_s h_1^2 求得：

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第 三 題25 分

如圖所示，有一黏土層 8 m8\ \text{m} 厚，位於兩層砂土中間，地下水位於地表面。這黏土層的體積壓縮係數為 0.83 m2/MN0.83\ \text{m}^2/\text{MN}，壓密係數為 1.4 m2/年1.4\ \text{m}^2/\text{年}。

若地表增加超載重 20 kN/m220\ \text{kN/m}^2：

（一）試計算由於壓密產生的最後壓密沉陷量為何？（10 分）

（二）增加超載重兩年後沉陷量是多少？（15 分）

註：

ΔH=mvΔσ′H\Delta H=m_v\Delta\sigma' H

Tv=CvtH2T_v=\frac{C_v t}{H^2}

當 U≤60%U\leq 60\% 時：

Tv=π4U2T_v=\frac{\pi}{4}U^2

當 U>60%U>60\% 時：

Tv=1.781−0.933log⁡[100(1−U)]T_v=1.781-0.933\log[100(1-U)]

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核心觀念

本題考一維壓密沉陷與平均壓密度。黏土層上下皆為砂土，砂土可作為排水層，因此黏土為雙向排水。計算時間因子時，排水距離取黏土厚度的一半：

Hd=82=4 mH_d=\frac{8}{2}=4\ \text{m}

解題方法

地表施加超載重 Δσ′=20 kN/m2\Delta\sigma'=20\ \text{kN/m}^2，換算為：

20 kN/m2=0.02 MN/m220\ \text{kN/m}^2=0.02\ \text{MN/m}^2

（一）最後壓密沉陷量

依題目所給公式：

ΔHf=mvΔσ′H\Delta H_f=m_v\Delta\sigma'H

代入 mv=0.83 m2/MNm_v=0.83\ \text{m}^2/\text{MN}、黏土層厚度 H=8 mH=8\ \text{m}：

ΔHf=0.83×0.02×8=0.1328 m\Delta H_f=0.83\times0.02\times8=0.1328\ \text{m}

因此，最後壓密沉陷量為 0.1328 m0.1328\ \text{m}，約 13.3 cm。

（二）超載兩年後的沉陷量

先計算時間因子 TvT_v。題目公式中的 HH 在此應採排水距離 Hd=4 mH_d=4\ \text{m}：

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第 四 題25 分

（一）試述樁載重試驗有何目的？（10 分）

（二）列舉兩種加載方式，及如何施作此項試驗？（15 分）

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核心觀念

本題旨在評核考生對基樁工程現場驗證試驗之核心理解，依據內政部《建築物基礎構造設計規範》（以命題當年民國 108 年法規為準）及 ASTM D1143（標準樁靜載重試驗規範），基樁承載力理論公式受地層變異與施工擾動影響甚鉅，必須藉由現地全尺寸「樁載重試驗」（Pile Load Test）進行力學行為之實證檢驗。

本題之關鍵觀念涵蓋：

  1. 試驗目的：驗證設計容許承載力、決定極限承載力、建立載重與沉陷關係曲線、分離側摩擦力與端阻力、評估施工品質及檢討設計經濟性。
  2. 加載方式：工程實務與規範中最主要的兩大加載機制為「慢速維持載重法」（Maintained Load, ML）及「快速載重法」（Quick Test）或「等速貫入法」（Constant Rate of Penetration, CRP）。
  3. 施作流程與系統架構：包含反力系統（錨樁、壓重平台、地錨）、加載與監測設備（油壓千斤頂、獨立基準梁、位移計）、加載及卸載觀測步驟，以及承載力判定準則。

解題方法

  1. 子題（一）切入點：從「力學驗證」、「沉陷控制」、「阻力分佈機制」、「施工品質控管」及「設計最佳化」五大維度條列論述，既展現理論深度又貼合規範要求。
  2. 子題（二）切入點：
  • 加載方式：選取實務與考題最常見之「慢速維持載重法（ML 法）」與「等速貫入法（CRP 法）」，對比兩者在加載率控制、時間效應及判定極限承載力上的物理意義。
  • 施作流程：依循標準現地試驗流程，依序說明「試驗前準備與反力系統」、「設備組裝與量測儀表配置」、「分級加載與量測觀測步驟」及「成果判讀準則」。

【答案】

（一）樁載重試驗之目的

樁載重試驗（以軸向壓載重試驗為代表）為深基礎設計與施工過程中最直接、可靠之現場力學驗證手段，主要目的如下：

  1. 決定極限承載力與驗證容許承載力： 理論計算公式受土層取樣擾動、經驗參數假設影響甚大。現地試驗可直接求得試驗樁之實際破壞承載力或極限承載力（Ultimate Bearing Capacity, QuQ_u），並除以適當之安全係數（通常取 FS=2.0∼3.0FS = 2.0 \sim 3.0），驗證設計容許承載力（Allowable Bearing Capacity, QaQ_a）是否符合規範安全標準。
  2. 建立載重－沉陷關係曲線（Q−sQ-s 曲線）： 量測各級載重作用下樁頭之彈性變形與塑性沉陷量，以確認在設計工作載重（Working Load）作用下，基礎結構之沉陷量及角變量均在容許變形限值內。
  3. 分離樁身側摩擦力與樁端承載力： 若於試驗樁身內部預先埋設應變計（Strain Gauges）或沉陷滑落計（Tell-tales），可量測樁身軸力沿深度之傳遞與遞減情形，進而分別求得樁身側表面摩擦阻力（Skin Friction, QsQ_s）與樁端支承阻力（End Bearing, QbQ_b），以校正土層力學分析參數。
  4. 檢驗施工工法與施工品質完整性： 鑽掘樁（場鑄樁）常面臨孔壁崩塌、縮頸、斷樁或樁底沉泥弱化；打入樁則可能發生樁身破裂或偏折。載重試驗可反映施工品質對基樁力學性能之實質影響。
  5. 最佳化基礎配置與提升工程經濟性： 於工程先期針對代表性地層施作試驗樁（Preliminary Test Pile），可依據試驗結果適度縮減設計樁長、縮減樁徑或減少總樁數，達到兼顧結構安全與節省工程造價之效益。

（二）兩種加載方式及試驗施作方式

1. 兩種加載方式列舉與說明
  • 方式一：慢速維持載重法（Maintained Load Test, 簡稱 ML 法 / 標準加載法）
  • 原理與加載率：以設計載重（QdQ_d）為基準，採階梯式分級加載。通常每級加載增量為設計載重的 25%25\%（即 25%→50%→75%→100%→125%→150%→175%→200%25\% \to 50\% \to 75\% \to 100\% \to 125\% \to 150\% \to 175\% \to 200\%），一般加載至設計載重之 200%200\%（或直至地層破壞為止）。
  • 持載與判讀基準：每級載重施加後必須維持一定時間，待樁頭沉陷速率小於特定閾值（例如沉陷率小於 0.25 mm/hr0.25\text{ mm/hr}，或維持 1∼2 小時1 \sim 2\text{ 小時}）達到相對穩定狀態後，記錄該級最終沉陷量，方可施加下一級載重；最後一級載重通常需維持 12∼24 小時12 \sim 24\text{ 小時}。
  • 特性：能充分反映土壤在荷重下的隨時間沉陷特性（固結與潛變行為），為各國設計規範所普遍採納之標準方法。
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