108 高普考高考三級 土木工程 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考三角高程測量的高程計算，以及不相關觀測量的誤差傳播。以天頂距 $z$、斜距 $S$ 表示垂直分量時：

$$H_Q=H_P+i+S\cos z-r$$

其中 $i$ 為儀器高、$r$ 為稜鏡高。天頂距自鉛直方向起算，因此 $S\cos z$ 是高差的垂直分量。

若各觀測量互不相關，函數 $H_Q=f(x_1,\ldots,x_n)$ 的變異數可用一階誤差傳播公式：

$$\sigma_{H_Q}^2=\sum_j\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)^2\sigma_{x_j}^2$$

角度的標準偏差須先換成弧度，才能代入微分公式。

（一）三角高程測量

高程最或然值

代入觀測值：

$$\begin{aligned} H_Q &=10.000+1.600+60.000\cos89^\circ-1.500\\ &=11.147593\ \mathrm{m} \end{aligned}$$

故高程最或然值為 $11.148\ \mathrm{m}$。

標準偏差

對 $H_Q=H_P+i+S\cos z-r$ 分別微分：

$$\frac{\partial H_Q}{\partial H_P}=1,\quad \frac{\partial H_Q}{\partial i}=1,\quad \frac{\partial H_Q}{\partial S}=\cos z,\quad \frac{\partial H_Q}{\partial r}=-1,\quad \frac{\partial H_Q}{\partial z}=-S\sin z$$

天頂距標準偏差換算為弧度：

$$\sigma_z=20''\frac{\pi}{180^\circ\times3600''} =9.6963\times10^{-5}\ \mathrm{rad}$$

因此：

核心觀念

本題考查 TWD97 的大地基準定義，以及如何將大地經緯度投影為二度分帶橫麥卡托平面座標。解題時須先說明坐標框架與參考橢球，再依題目給定的經緯度及投影參數計算。

(一) 所使用之坐標框架

TWD97 採用國際地球參考框架 ITRF94，參考時刻為 1997.0 曆元。其坐標原點位於地球質心，屬於地心地固坐標框架；坐標軸方位依國際時間局 BIH 在 1984.0 時刻所定義的方位。

需區分「ITRF94」與「1997.0」：前者是所採用的參考框架，後者是框架坐標所對應的參考時刻。

(二) 所採用之參考橢球體橢球參數

TWD97 採用 GRS80 參考橢球體，其長半徑與扁率為：

$$a=6\,378\,137\ \text{m},\qquad f=\frac{1}{298.257222101}$$

短半徑為 $b=a(1-f)$，第一偏心率平方為：

$$e^2=2f-f^2\approx 0.0066943800229$$

橢球參數用於計算卯酉圈曲率半徑、子午線弧長及投影座標。

(三) 二度分帶橫麥卡托投影座標

解題方法與投影參數

依臺灣 TWD97 TM2 二度分帶常用設定：

• 中央經線：$\lambda_0=121^\circ$
• 原點緯度：$\phi_0=0^\circ$
• 中央經線尺度因子：$k_0=0.9999$
• 東坐標假東距：$E_0=250\,000\ \text{m}$
• 北坐標假北距：$N_0=0\ \text{m}$
• 參考橢球：GRS80

題目位置為 $\lambda=121^\circ$、$\phi=23.5^\circ$。其經度恰等於中央經線，因此中央經線上的橫向距離項為零；東坐標可直接由假東距決定。北坐標則以中央經線上的子午線弧長乘上尺度因子估算。

東坐標 $E$ 的精確計算

橫麥卡托投影在中央經線上，東坐標為：

$$E=E_0+k_0\,\Delta E$$

其中 $\Delta E$ 是相對中央經線的橫向投影距離。本題 $\lambda-\lambda_0=0$，故 $\Delta E=0$：

$$E=250\,000+0.9999(0) =\boxed{250\,000\ \text{m}}$$

北坐標 $N$ 的估算

在中央經線上，北坐標可用子午線弧長 $M$ 計算：

$$N=N_0+k_0M$$

GRS80 橢球的子午線弧長可用下式估算。令 $\phi$ 以弧度表示：

核心觀念

本題考查誤差傳播定律：由觀測量計算函數時，若各觀測量彼此獨立，函數的變異數可由各觀測量的變異數依偏微分係數加權相加。

矩形周長為長、寬各兩倍之和。計算周長標準偏差時，須先寫出周長函數，再依各邊長的標準偏差傳播誤差。

解題方法

方式（一）：量測一長及一寬

設長、寬的觀測值分別為 $a$、$b$，則周長為

$$P_1=2a+2b$$

若長、寬觀測誤差彼此獨立，且標準偏差分別為 $\sigma_a$、$\sigma_b$，則

$$\sigma_{P_1}^2 =\left(\frac{\partial P_1}{\partial a}\right)^2\sigma_a^2 +\left(\frac{\partial P_1}{\partial b}\right)^2\sigma_b^2$$

因為 $\frac{\partial P_1}{\partial a}=2$、$\frac{\partial P_1}{\partial b}=2$，所以

$$\sigma_{P_1}^2=4\sigma_a^2+4\sigma_b^2$$

因此，方式（一）的周長標準偏差為

$$\boxed{\sigma_{P_1}=2\sqrt{\sigma_a^2+\sigma_b^2}}$$

方式（二）：四個邊長均量測

設兩長、兩寬的觀測值分別為 $a_1,a_2,b_1,b_2$，周長為

$$P_2=a_1+a_2+b_1+b_2$$

四次量測彼此獨立，且 $\sigma_{a1}=\sigma_{a2}=\sigma_a$、$\sigma_{b1}=\sigma_{b2}=\sigma_b$，故

核心觀念

本題考衛星定位測量的兩種基本解算方式，以及衛星幾何分布對定位精度的影響。

• 單點定位：利用接收機對多顆衛星的觀測量，直接求解接收機在地心地固座標系中的位置與接收機鐘差。
• 相對定位：利用兩部以上接收機同時觀測共同衛星，組成差分觀測方程，消去或削弱衛星與接收機的共同誤差，求解基線向量。
• 精度因子（DOP）：描述衛星幾何分布對定位解算精度的放大程度。衛星配置愈有利，DOP 愈小。

（一）單點定位及相對定位

1. 單點定位

觀測量

單點定位可使用：

• 偽距觀測量：由衛星訊號傳播時間換算而得，包含幾何距離、鐘差及各項誤差。
• 載波相位觀測量：量測載波相位變化，精度高，但含有整數週波未定值；通常須進行模糊度解算。

基本單點定位通常以偽距觀測量說明。

未知數

接收機位置及接收機鐘差為四個主要未知數：

$$X_r,\quad Y_r,\quad Z_r,\quad \delta t_r$$

其中 $X_r,Y_r,Z_r$ 為接收機地心地固座標，$\delta t_r$ 為接收機鐘差。若使用載波相位觀測，還須加入各衛星的整數週波未定值等未知數。

解算方程式

對第 $i$ 顆衛星，偽距觀測方程可寫為：

$$P_i=\rho_i+c(\delta t_r-\delta t_i)+I_i+T_i+\varepsilon_i$$

其中：

• $P_i$：偽距觀測量；
• $\rho_i$：衛星至接收機的幾何距離；
• $c$：光速；
• $\delta t_r,\delta t_i$：接收機與衛星鐘差；
• $I_i,T_i$：電離層與對流層延遲；
• $\varepsilon_i$：多路徑、接收雜訊及其他誤差。

幾何距離為：

$$\rho_i=\sqrt{(X_i-X_r)^2+(Y_i-Y_r)^2+(Z_i-Z_r)^2}$$

式中 $X_i,Y_i,Z_i$ 為衛星座標。衛星鐘差及大氣延遲可依觀測資料與改正模型處理。對已知衛星位置及改正量的基本解算，至少須有四顆衛星，才能解出三個位置分量與一個接收機鐘差。

因方程式含有平方根，屬非線性方程，通常先以近似位置線性化，再以最小二乘法反覆改正。令接收機位置改正量為 $\Delta X_r,\Delta Y_r,\Delta Z_r$，鐘差改正量為 $\Delta t_r$，線性化後可寫成：

$$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{A}\Delta\boldsymbol{x}-\boldsymbol{l}$$

其中 $\Delta\boldsymbol{x}=[\Delta X_r,\Delta Y_r,\Delta Z_r,c\Delta t_r]^T$，$\boldsymbol{A}$ 為設計矩陣，$\boldsymbol{l}$ 為觀測量與計算值之差。以最小二乘法求得改正量後更新近似值，直至收斂。

2. 相對定位

觀測量

相對定位使用兩部接收機在同一時段對共同衛星的同步觀測量，常見觀測量為偽距及載波相位。設基準站座標已知、流動站座標未知，兩站同時觀測衛星後，先形成站間單差，再視需要形成衛星間雙差或三差。

未知數

主要未知數為兩站間的基線向量：

$$\Delta X=X_B-X_A,\quad \Delta Y=Y_B-Y_A,\quad \Delta Z=Z_B-Z_A$$

若採用載波相位雙差解算，還須解算雙差整數週波未定值。基準站座標已知時，流動站座標可由基準站座標加上基線向量求得。

解算方程式

以第 $i$ 顆衛星為例，接收機 $A$、$B$ 的偽距方程相減，形成站間單差：

$$\nabla P_{AB}^{\,i}=P_B^i-P_A^i$$

單差可消去同一衛星的衛星鐘差。再以兩顆衛星 $i,j$ 相減，形成雙差：