107 高普考高考三級 土木工程 測量學 考古題詳解

核心觀念

1. 水準儀主要幾何軸線關係：

• 圓水準器軸平行於垂直軸（豎軸 $V-V$）。
• 十字絲橫絲應垂直於垂直軸。
• 水準管水準軸（$L-L$）應平行於望遠鏡視準軸（$Z-Z$）（自動安平水準儀則為補償器工作狀態下視準軸應水平）。

2. 視準軸誤差（$i$ 角誤差）： 當視準軸與水準管軸不平行時，兩者在垂直面內所夾的微小夾角稱為傾斜角（或稱視準軸傾角、$i$ 角）。
3. 誤差補償與對稱觀測原理： 水準儀望遠鏡視線偏離水平線所引起的標尺讀數誤差 $\varepsilon$，與視距長度 $S$ 及傾斜角 $i$ 成正比（$\varepsilon = S \cdot \tan i \approx S \cdot i$）。利用「等距觀測可消除誤差」與「不等距觀測顯露誤差」之幾何特性，即可分離出真高差並檢定出 $i$ 角。

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解題方法

一、檢驗原理（定鏡檢驗法 / 兩樁法，Two-Peg Test）

1. 第一次安置（對稱觀測求真高差）： 在平坦地面選定相距 $D$（通常約 $40\sim60\text{ m}$）的兩固定點 $A$ 與 $B$，並豎立水準尺。將水準儀安置於 $A$、$B$ 的正中央點 $O$（即前、後視距相等：$S_{A1} = S_{B1} = D/2$）。 氣泡居中後，讀取 $A$ 尺讀數 $a_1$ 與 $B$ 尺讀數 $b_1$。

• 設 $i$ 角使視線向上傾斜（$i > 0$），則標尺讀數誤差分別為： $\varepsilon_{a1} = S_{A1} \cdot i = \frac{D}{2} \cdot i, \quad \varepsilon_{b1} = S_{B1} \cdot i = \frac{D}{2} \cdot i$
• 兩點之真高差為： $\Delta H_{AB} = (a_1 - \varepsilon_{a1}) - (b_1 - \varepsilon_{b1}) = a_1 - b_1$ 原理：因前後視距相等，兩尺讀數之視準軸誤差量大小相等、符號相同，相減時自動抵消（同時消除地球曲率與大氣折光差），觀測高差即等於兩點間之真高差 $\Delta H_{AB}$。

2. 第二次安置（非對稱觀測顯露 $i$ 角）： 將水準儀移至線段外側（或靠近其中一點，如置於距 $A$ 點外側距離 $d$ 處）。 此時，至 $A$ 尺之後視距為 $S_{A2} = d$，至 $B$ 尺之前視距為 $S_{B2} = D + d$（前後視距明顯不同）。 氣泡居中後，讀取 $A$ 尺讀數 $a_2$ 與 $B$ 尺讀數 $b_2$。

• 此時兩尺讀數之視準軸誤差分別為： $\varepsilon_{a2} = S_{A2} \cdot i, \quad \varepsilon_{b2} = S_{B2} \cdot i$
• 觀測高差為： $\Delta h' = a_2 - b_2 = (a_{2,\text{真}} + \varepsilon_{a2}) - (b_{2,\text{真}} + \varepsilon_{b2}) = \Delta H_{AB} + (S_{A2} - S_{B2}) \cdot i$ 因前後視距不等，誤差無法抵消，將此觀測值與第一次所得之真高差比較，即可檢定出傾斜角 $i$。

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二、傾斜角 $i$ 之計算公式

由第二次安置所得的關係式： $(a_2 - b_2) - \Delta H_{AB} = (S_{A2} - S_{B2}) \cdot i$

代入真高差 $\Delta H_{AB} = a_1 - b_1$，得： $(a_2 - b_2) - (a_1 - b_1) = (S_{A2} - S_{B2}) \cdot i$

解出傾斜角 $i$（以弧度 $\text{rad}$ 表示）： $i = \frac{(a_2 - b_2) - (a_1 - b_1)}{S_{A2} - S_{B2}}$

若換算為角度秒值（$''$），需乘上弧度轉秒係數 $\rho'' \approx 206265''$： $i'' = \frac{(a_2 - b_2) - (a_1 - b_1)}{S_{A2} - S_{B2}} \times 206265''$

特別配置：若第二次置鏡極接近 $A$ 點（$d \approx 0$），儀器至 $A$ 尺距離視為 $0$（讀數無誤差，或直接量取儀器高 $a_2 = i_{\text{inst}}$），至 $B$ 尺之距離為 $D$（$S_{A2} - S_{B2} = -D$），公式簡化為： $i = \frac{(a_1 - b_1) - (a_2 - b_2)}{D} = \frac{\Delta H_{AB} - (a_2 - b_2)}{D}$

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三、前後視距離不同時之影響與繪圖說明

核心觀念

輻射導線法（Radial Traversing，又稱極坐標法）是碎部測量與地形測繪中最常用的方法。其核心在於：將全站儀架設於已知坐標與高程的控制點上，照準另一已知點進行方向基準（方位角）設定後，對任意地面特徵點觀測水平角、天頂距（或垂直角）​與斜距，配合量取之儀器高與稜鏡高，利用極坐標與三角高程測量原理，直接解算待測點的三維空間坐標 $(E, N, H)$。

所依據之核心原理與公式包括：

1. 極坐標平面轉換：測線方位角推算與坐標正算（Coordinate Computation）。
2. 電磁波測距（EDM）幾何投影：斜距化算為平距與視線高差。
3. 三角高程測量（Trigonometric Leveling）：結合儀器高、稜鏡高及視線高差推算地面點高程。

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解題方法

一、測量示意圖

本法須同時推算平面位置與高程，解題時分為「平面示意圖」與「高程斷面示意圖」說明：

【平面示意圖】 【高程斷面示意圖】
 N (北) 望遠鏡中心
 ↑ ●──┐
 │ │Z │ ＼ 斜距 S
 │ B (後視點) 儀器高 │ │ ＼
 │ / i │ │ ＼
 │ / 後視方位角 φ_AB │ └─── 平距 D ───● 稜鏡中心
 │ / 測站 A ▲ │
 │/ β (水平夾角) ───────┴──────── │ 稜鏡高 t
 A ──────────────────→ P (待測點) 高程 H_A │
 (測站點) 測線方位角 φ_AP ▼
 ────────┴────────
 待測點 P (高程 H_P)

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二、施測步驟

1. 測站整置（已知點 $A$）：

• 於已知點 $A(E_A, N_A, H_A)$ 架設全站儀，進行精確定心與整平。
• 用鋼捲尺或專用測桿精確量取「儀器高」$i$（自標石中心點垂直量至望遠鏡旋轉水平軸中心），並記錄之。

2. 後視定向（已知點 $B$）：

• 於已知後視點 $B(E_B, N_B, H_B)$ 架設觇標或反射稜鏡。
• 望遠鏡照準點 $B$，於儀器內輸入 $A$ 與 $B$ 之坐標以自動計算後視方位角 $\phi_{AB}$，或將水平度盤讀數配置為 $\phi_{AB}$（亦可配置為 $0^\circ 00' 00''$ 作為起始方向）。

3. 特徵點觀測（待測點 $P$）：

• 於待測地面特徵點 $P$ 豎立稜鏡桿，記錄「稜鏡高」（觇標高）$t$。
• 轉動全站儀照準稜鏡中心，測量下列觀測值：
• 水平角 $\beta$（或照準 $P$ 點之水平度盤讀數 $HR_P$）。
• 天頂距 $Z$（望遠鏡垂直度盤讀數，垂直角為 $\alpha = 90^\circ - Z$）。
• 斜距 $S$。

4. 檢核作業：

• 同一測站施測多個碎部點後，或作業告一段落時，應「歸零照準後視點 $B$」，檢驗水平度盤讀數之閉合差（歸零差），以防儀器受碰動或腳架微沉造成定向偏轉。

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三、計算公式

設測站點為 $A(E_A, N_A, H_A)$，後視點為 $B(E_B, N_B, H_B)$，觀測量為水平夾角 $\beta$（順時針）、天頂距 $Z$、斜距 $S$、儀器高 $i$、稜鏡高 $t$。

1. 空間幾何量計算

• 水平距離 $D$： $D = S \cdot \sin Z$ (若垂直度盤為垂直角 $\alpha$，則 $D = S \cdot \cos \alpha$)

• 視線垂直高差 $V$： $V = S \cdot \cos Z$ (若垂直度盤為垂直角 $\alpha$，則 $V = S \cdot \sin \alpha$)

核心觀念

本題屬於平面控制測量與支距法放樣之綜合題型，評量考生對於坐標正算（Forward Computation of Coordinates）​與獨立觀測量之誤差傳播定律（Law of Error Propagation）​之整合計算能力。

1. 基準線方位角與距離計算（坐標反算）： 若已知兩點坐標 $(E_A, N_A)$ 與 $(E_B, N_B)$，其距離與方位角分別為： $S_{AB} = \sqrt{(E_B - E_A)^2 + (N_B - N_A)^2}$ $\phi_{AB} = \arctan\left(\frac{E_B - E_A}{N_B - N_A}\right)$

2. 平面坐標正算公式： 由已知點 $(E_0, N_0)$，已知距離 $S$ 與方位角 $\phi$，推算未知點坐標： $E = E_0 + S \sin\phi, \quad N = N_0 + S \cos\phi$

3. 誤差傳播定律： 若未知量為多個獨立觀測量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 之非線性函數 $F(x_1, x_2, \dots, x_n)$，其中誤差為： $\sigma_F^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial F}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2$ 未知點之點位中誤差（Point Position Error） $\sigma_P$ 定義為兩坐標分量中誤差之幾何合成： $\sigma_P = \sqrt{\sigma_E^2 + \sigma_N^2}$

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解題方法

步驟一：計算基準線 $AB$ 之長度與方向餘弦

已知 $A(20.00, 10.00)\ \mathrm{m}$、$B(100.00, 70.00)\ \mathrm{m}$ 為無誤差之已知控制點（$\sigma_A = 0, \sigma_B = 0$）： $\Delta E_{AB} = 100.00 - 20.00 = 80.00\ \mathrm{m}$ $\Delta N_{AB} = 70.00 - 10.00 = 60.00\ \mathrm{m}$ $S_{AB} = \sqrt{80.00^2 + 60.00^2} = 100.00\ \mathrm{m}$

方位角 $\phi_{AB}$ 位於第一象限，其三角函數值為： $\sin\phi_{AB} = \frac{\Delta E_{AB}}{S_{AB}} = \frac{80.00}{100.00} = 0.8$ $\cos\phi_{AB} = \frac{\Delta N_{AB}}{S_{AB}} = \frac{60.00}{100.00} = 0.6$

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步驟二：計算 $D$ 點坐標及其誤差

$D$ 點位於 $AB$ 基準線上，$AD = s_1 = 30.00\ \mathrm{m}$，$\sigma_{s_1} = \pm 0.05\ \mathrm{m}$。

1. 坐標計算： $E_D = E_A + s_1 \sin\phi_{AB} = 20.00 + 30.00 \times 0.8 = 44.00\ \mathrm{m}$ $N_D = N_A + s_1 \cos\phi_{AB} = 10.00 + 30.00 \times 0.6 = 28.00\ \mathrm{m}$ 得 $D$ 點坐標為 $(44.00\ \mathrm{m}, 28.00\ \mathrm{m})$。

2. 坐標中誤差與點位中誤差： 因 $A$ 點與方位角 $\phi_{AB}$ 無誤差，對 $s_1$ 微分： $\frac{\partial E_D}{\partial s_1} = \sin\phi_{AB} = 0.8 \implies \sigma_{E_D} = |\sin\phi_{AB}| \cdot \sigma_{s_1} = 0.8 \times 0.05 = \pm 0.040\ \mathrm{m}$ $\frac{\partial N_D}{\partial s_1} = \cos\phi_{AB} = 0.6 \implies \sigma_{N_D} = |\cos\phi_{AB}| \cdot \sigma_{s_1} = 0.6 \times 0.05 = \pm 0.030\ \mathrm{m}$ $D$ 點點位中誤差： $\sigma_D = \sqrt{\sigma_{E_D}^2 + \sigma_{N_D}^2} = \sqrt{0.040^2 + 0.030^2} = \pm 0.050\ \mathrm{m}$

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步驟三：計算 $C$ 點坐標及其誤差

$C$ 點位於 $AB$ 測線右側垂直方向，即相對於 $AB$ 方向順時針旋轉偏角 $\alpha = 90^\circ$，支距 $DC = s_2 = 40.00\ \mathrm{m}$，$\sigma_{s_2} = \pm 0.05\ \mathrm{m}$，直角放樣中誤差 $\sigma_\alpha = \pm 10''$。

1. 坐標計算： $DC$ 方向之方位角 $\phi_{DC} = \phi_{AB} + 90^\circ$： $\sin\phi_{DC} = \sin(\phi_{AB} + 90^\circ) = \cos\phi_{AB} = 0.6$ $\cos\phi_{DC} = \cos(\phi_{AB} + 90^\circ) = -\sin\phi_{AB} = -0.8$ $E_C = E_D + s_2 \sin\phi_{DC} = 44.00 + 40.00 \times 0.6 = 68.00\ \mathrm{m}$ $N_C = N_D + s_2 \cos\phi_{DC} = 28.00 + 40.00 \times (-0.8) = -4.00\ \mathrm{m}$ 得 $C$ 點坐標為 $(68.00\ \mathrm{m}, -4.00\ \mathrm{m})$。

2. 坐標中誤差與點位中誤差推導： 為避免忽略 $D$ 點與 $C$ 點坐標間的協方差（Covariance），應直接將 $C$ 點坐標表示為獨立觀測量 $s_1$、$s_2$、$\alpha$ 之函數： $E_C = E_A + s_1 \sin\phi_{AB} + s_2 \sin(\phi_{AB} + \alpha)$ $N_C = N_A + s_1 \cos\phi_{AB} + s_2 \cos(\phi_{AB} + \alpha)$

核心觀念

本題為測量學中「平面多邊形面積計算」與「誤差傳播定律（Law of Error Propagation）」的經典整合題，主要考核以下兩大觀念：

1. 坐標法計算多邊形面積（高斯面積公式／鞋帶公式）： 在平面直角坐標系中，閉合多邊形頂點按順時針或逆時針依序排列為 $(X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \dots, (X_n, Y_n)$，其兩倍面積 $2A$ 可由下列公式計算： $2A = \sum_{i=1}^n X_i (Y_{i+1} - Y_{i-1}) = \sum_{i=1}^n (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i)$ 其中註標具循環性（當 $i=1$ 時，$i-1=n$；當 $i=n$ 時，$i+1=1$）。計算結果若為負值，取絕對值即為面積。

2. 多邊形面積之誤差傳播定律： 面積 $A$ 為各頂點坐標之非線性函數 $A = f(X_1, Y_1, \dots, X_n, Y_n)$。依據多變數偏微分： $\frac{\partial A}{\partial X_i} = \frac{1}{2}(Y_{i+1} - Y_{i-1}), \quad \frac{\partial A}{\partial Y_i} = \frac{1}{2}(X_{i-1} - X_{i+1})$ 在各點觀測相互獨立且各坐標分量中誤差皆相同（$\sigma_{X_i} = \sigma_{Y_i} = \sigma$）之條件下，面積中誤差 $\sigma_A$ 為： $\sigma_A = \sqrt{\sum_{i=1}^n \left[ \left(\frac{\partial A}{\partial X_i}\right)^2 \sigma_{X_i}^2 + \left(\frac{\partial A}{\partial Y_i}\right)^2 \sigma_{Y_i}^2 \right]} = \frac{\sigma}{2} \sqrt{\sum_{i=1}^n \left[ (X_{i+1} - X_{i-1})^2 + (Y_{i+1} - Y_{i-1})^2 \right]}$ 根號內之幾何意義即為各點前、後兩頂點間連線長度（對角線）之平方和 $\sum D_{i-1, i+1}^2$。

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解題方法

一、計算五邊形 $ABCDE$ 之面積 $A$

頂點依序為：

• $A(0.00, 391.78)$
• $B(225.72, 747.78)$
• $C(616.54, 592.01)$
• $D(423.21, 0.00)$
• $E(225.10, 110.00)$

採用坐標法公式 $2A = \left| \sum_{i=1}^5 X_i (Y_{i+1} - Y_{i-1}) \right|$ 展開計算：

1. 頂點 $A$ 項： $X_A (Y_B - Y_E) = 0.00 \times (747.78 - 110.00) = 0.00\ \mathrm{m}^2$

2. 頂點 $B$ 項： $X_B (Y_C - Y_A) = 225.72 \times (592.01 - 391.78) = 225.72 \times 200.23 = +45195.9156\ \mathrm{m}^2$

3. 頂點 $C$ 項： $X_C (Y_D - Y_B) = 616.54 \times (0.00 - 747.78) = 616.54 \times (-747.78) = -461036.2812\ \mathrm{m}^2$

4. 頂點 $D$ 項： $X_D (Y_E - Y_C) = 423.21 \times (110.00 - 592.01) = 423.21 \times (-482.01) = -203991.4521\ \mathrm{m}^2$

5. 頂點 $E$ 項： $X_E (Y_A - Y_D) = 225.10 \times (391.78 - 0.00) = 225.10 \times 391.78 = +88189.6780\ \mathrm{m}^2$

將各項加總求得 $2A$： $2A = |0.00 + 45195.9156 - 461036.2812 - 203991.4521 + 88189.6780| = |-531642.1397| = 531642.1397\ \mathrm{m}^2$

故五邊形面積為： $A = \frac{531642.1397}{2} = 265821.06985 \approx 265821.07\ \mathrm{m}^2$

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二、推導並計算面積中誤差 $\sigma_A$

依誤差傳播定律，當坐標分量獨立且中誤差 $\sigma_{X_i} = \sigma_{Y_i} = \sigma = 0.05\ \mathrm{m}$ 時： $\sigma_A^2 = \frac{\sigma^2}{4} \sum_{i=1}^5 \left[ (X_{i+1} - X_{i-1})^2 + (Y_{i+1} - Y_{i-1})^2 \right]$