107 高普考高考三級 土木工程 結構學 考古題詳解

依民國 107 年公務人員高等考試三級考試（土木工程類科）《結構學》試卷圖一，梁之跨度與載重設定如下：

• 梁全長為 $L$，梁中央為 $C$ 點（即半跨長度 $AC = CB = L/2$），梁之抗彎剛度 $EI$ 為常數。
• 兩端 $A$ 點與 $B$ 點均置放於勁度係數為 $k$ 之垂直彈簧上，且皆為導向支承（guide support），其邊界條件為轉角被完全束制（$\theta_A = 0, \theta_B = 0$），但允許沿垂直方向產生位移。
• 全梁承受向下之均勻分佈載重 $q$（若試卷原圖標示載重為 $w$，對應將 $q$ 代換為 $w$ 即可）。

核心觀念

1. 導向支承（Guide Support）之力學特性： 導向支承完全限制斷面轉角（$\theta = 0$），能提供端力矩反力；垂直向置於彈簧上，其剪力完全由下方的線性彈簧提供，垂直反力與垂直位移成正比：$R = k\Delta$。
2. 對稱結構受對稱載重性質： 幾何形狀、支承剛度與外加載重皆對中央截面 $C$ 對稱，由垂直靜力平衡可直接求得兩端彈簧的反力與沉陷量。由於兩端沉陷量相等，梁無相對沉陷差（弦轉角為零）。
3. 諧合變位法（Method of Consistent Deformations / 力法）：

• 贅力選定：題目指定選取梁中央 $C$ 點處之彎矩 $M_C$ 為贅力。
• 基本靜定結構：於 $C$ 點切開並釋放彎矩束制（置入內部鉸接 internal hinge），使結構在對稱受力下退化為可利用靜力平衡求解之基本結構。
• 諧合變位條件：實際連續梁在中央 $C$ 點之轉角連續，故該處左、右兩側之相對轉角開口量必須為零（$\theta_{C, \text{rel}} = 0$）。

解題方法

一、求 $A$ 點之垂直方向變位 $\Delta_A$

1. 全梁垂直靜力平衡： 全梁所承受之總垂直向下載重為 $W = qL$。 由結構與外力之對稱性，兩端彈簧支承所承受之向上垂直反力必然相等： $R_A = R_B = \frac{qL}{2} \quad (\uparrow)$

2. 彈簧變位推導： 導向支承僅限制轉角，垂直方向完全由勁度為 $k$ 之彈簧承載。依虎克定律，彈簧壓縮量即為 $A$ 點之垂直變位： $\Delta_A = \frac{R_A}{k} = \frac{qL}{2k} \quad (\downarrow)$

二、以諧合變位法求梁中央 $C$ 點處之彎矩 $M_C$

1. 選定基本靜定結構與贅力：

• 於中央 $C$ 點切斷彎矩連續性，置入一內部鉸接（internal hinge）。
• 令中央截面之正彎矩（使下側受拉）為贅力 $M_C$。此時在 $C$ 點左側斷面施加逆時針力矩 $M_C$、右側斷面施加順時針力矩 $M_C$。
• 諧合變位方程式為： $\theta_{C0} - f_{CC} M_C = 0$ 其中 $\theta_{C0}$ 為外載重作用下 $C$ 點的相對轉角開口量，$f_{CC}$ 為承受成對單位贅力 $M_C = 1$ 時所產生之相對轉角閉合量（柔度係數）。

2. 計算外力載重 $q$ 引起之相對轉角 $\theta_{C0}$：

• 在基本結構中，外載重為對稱均佈載重，由對稱性可知 $C$ 點鉸接處之垂直剪力 $V_C = 0$。
• 左半跨 $AC$ 段長度為 $a = L/2$，左端 $A$ 為導向支承（$\theta_A = 0$），右端 $C$ 為自由端（$V_C = 0, M_C = 0$）。
• 此受力狀態完全等同於「長度為 $L/2$、固定端在 $A$ 點之懸臂梁承受均佈載重 $q$」。
• 由力矩面積法或懸臂梁標準公式，自由端 $C$ 點之斷面轉角為： $\theta_{C0}^L = \frac{q(L/2)^3}{6EI} = \frac{qL^3}{48EI} \quad (\text{順時針 } \circlearrowright)$
• 同理，右半跨 $CB$ 段為對稱配置，其左側 $C$ 點之斷面轉角為： $\theta_{C0}^R = \frac{q(L/2)^3}{6EI} = \frac{qL^3}{48EI} \quad (\text{逆時針 } \circlearrowleft)$

核心觀念

本題旨在考驗考生對平面結構之「穩定性（Stability）」與「靜定／超靜定性（Determinacy / Indeterminacy）」之判別能力。核心理論與判定公式如下：

1. 結構穩定性（Stability）判別準則：

• 外部穩定：支承反力不得全體平行，亦不得全體共線或匯交於同一點（否則無法抵抗轉動或特定方向之平移，形成幾何瞬變機構）。
• 內部穩定：結構各構件間之幾何排布必須具備足夠幾何拘束。若存在未受拘束之相對位移自由度（如四鉸四邊形機構、作用線共點或共線之連桿機構），即為幾何可變（幾何不穩定）結構。

2. 靜不定度（超靜定次數 $D$）計算公式：

• 梁與剛架結構（無閉合迴路時）： $D = R - 3 - \sum c$ 其中 $R$ 為支承反力數（含彈簧支承提供之獨立反力），$\sum c$ 為內部釋放條件數（例如單一內鉸提供 $\sum c = 1$）。若 $D < 0$ 或局部為機構，結構不穩定；若 $D = 0$ 且幾何穩定，為靜定結構；若 $D > 0$ 且幾何穩定，為 $D$ 次超靜定結構。
• 平面桁架結構： $D = m + R - 2j$ 其中 $m$ 為桁架桿件數，$R$ 為外支承反力數，$j$ 為節點數。注意：數值 $D \ge 0$ 僅為穩定的「必要條件」，非充分條件，必須同時檢驗各區域是否具備完整三角形幾何不可變形性。

3. 彈簧元件（Spring）之處理法則：

• 支承彈簧（外彈簧）：線彈簧提供 1 個沿彈簧軸向之外反力未知數（$R_s = k \Delta$），使反力數 $R$ 增加 1。
• 構件間連線彈簧（內彈簧）：軸向線彈簧僅能傳遞軸向拉壓內力，無法傳遞橫向剪力與彎矩，等同於該處斷面之剪力與彎矩皆釋放為零。

解題方法與各小題詳細分析

(a) 小題

• 構件與支承配置分析： 若依原卷常見圖形配置，水平梁分為兩段：左段梁 $AB$（長度 $a$）左端 $A$ 為固定端；右段梁 $CD$（長度 $b$）右端 $D$ 為鉸支承；$B$ 點與 $C$ 點間水平串聯一勁度係數為 $k$ 之軸向彈簧。
• 幾何穩定性檢驗：

1. 左段懸臂梁 $AB$ 因 $A$ 端為固定端，自身可獨立平衡，為穩定構件。
2. 檢視右段梁 $CD$：$D$ 端為鉸支承（提供反力 $D_x, D_y$），$C$ 端僅由水平軸向彈簧與 $B$ 點相連。該水平彈簧之作用線沿水平基準線延伸，恰通過支承點 $D$。
3. 軸向彈簧無法傳遞剪力（垂直力），且其水平彈簧力對 $D$ 點之力臂為零，完全無法提供對 $D$ 點的抗轉矩阻抗。
4. 當梁 $CD$ 承受橫向（垂直）載重時，對 $D$ 點取力矩平衡 $\sum M_D \neq 0$，構件 $CD$ 將繞 $D$ 點發生自由剛體旋轉，形成單自由度之幾何瞬變機構。

• 結論：不穩定結構。

(b) 小題

• 構件與支承配置分析： 若依原卷常見圖形配置，結構為跨長 $a + b$ 之連續單跨梁 $ABC$。$A$ 點設為鉸支承（提供水平及垂直反力 $A_x, A_y$），$C$ 點設為滾支承（提供垂直反力 $C_y$），中段 $B$ 點下方連接一垂直接地線彈簧，勁度係數為 $k$（提供彈性垂直反力 $R_B$）。
• 幾何穩定性檢驗： 梁身為一體成型之連續剛體，無內部鉸接。支承反力共 4 個，反力方向未全體平行，亦無匯交於同一點，結構整體幾何穩定。
• 超靜定次數計算：
• 反力數 $R = 2 (A\text{點}) + 1 (C\text{點}) + 1 (B\text{點彈簧}) = 4$
• 平面剛體靜力平衡方程式數 $n = 3$（$\sum F_x = 0, \sum F_y = 0, \sum M = 0$）
• 內部釋放條件數 $c = 0$ $D = R - 3 - c = 4 - 3 - 0 = 1$
• 結論：穩定結構，為 1 次超靜定結構。

(c) 小題

• 構件與支承配置分析： 若依原卷常見圖形配置，結構為門型對稱剛架 $A-B-C-D-E$。水平總寬度為 $2L$（左半段 $BC$ 寬 $L$，右半段 $CD$ 寬 $L$），柱底 $A$ 點與 $E$ 點均為鉸支承（各提供 2 個反力），角隅 $B$、$D$ 為剛接點，梁頂中央 $C$ 點設有一內鉸（三鉸剛架配置）。
• 幾何穩定性檢驗： 結構由兩片剛體構件（左半單元 $ABC$ 與右半單元 $CDE$）組成。兩單元分別以基底鉸 $A$、$E$ 接地，頂部以共同內鉸 $C$ 相互鉸接。

核心觀念

本題屬於外力與彈性支承耦合之對稱靜不定桁架結構分析，考驗考生對於能量法及虛功原理的綜合應用能力，涵蓋兩大核心原理：

1. 卡氏第二定理（Castigliano's Second Theorem）： 在線彈性系統中，總應變能 $U$（含桁架桿件軸向應變能與彈簧彈性變形能）對贅力 $X$ 的一階偏微分等於該贅力作用點沿其作用方向之相對變位。因彈簧 $BC$ 為一連續構件，依諧合變位條件，相對變位為零： $\frac{\partial U}{\partial X} = \sum_{bars} \frac{N_i L_i}{E_i A_i} \frac{\partial N_i}{\partial X} + \sum_{springs} \frac{F_{s, j}}{k_j} \frac{\partial F_{s, j}}{\partial X} = 0$

2. 單位力法（Unit Load Method / 虛功原理）： 求特定節點之位移時，在該點沿欲求變位方向施加一虛擬單位力 $\bar{P} = 1$。依虛功原理： $\Delta = \sum_{bars} \frac{N_i \bar{n}_i L_i}{E_i A_i} + \sum_{springs} \frac{F_{s, j} \bar{f}_{s, j}}{k_j}$ 其中虛力系統（$\bar{n}_i, \bar{f}_{s, j}$）僅需滿足與虛擬單位力平衡之靜力平衡條件（Statically Admissible），選取贅力為零（$\bar{X} = 0$）之基本靜定系統計算最為簡捷。

結構幾何與力學模型

依原卷試題圖形與國家考試結構學命題慣例：

• 節點幾何：$A$ 點為頂部鉸支承；$B$ 點與 $C$ 點對稱分佈於 $A$ 點兩側下方。水平跨度投影各為 $L$（$B$ 至對稱軸為 $L$，$C$ 至對稱軸為 $L$），垂直高度亦為 $L$。
• $AB$ 桿件長度 $L_{AB} = \sqrt{L^2 + L^2} = \sqrt{2}L$，與水平夾角 $\theta = 45^\circ$。
• $AC$ 桿件長度 $L_{AC} = \sqrt{L^2 + L^2} = \sqrt{2}L$，與水平夾角 $\theta = 45^\circ$。
• 桿件軸向勁度均為 $EA$。
• 彈簧配置：
• 水平彈簧 $BC$ 連接 $B$ 點與 $C$ 點，彈性係數 $k = \frac{2AE}{L}$。
• 垂直彈簧 $BD$ 於 $B$ 點下方支承至地盤 $D$ 點，彈性係數 $k = \frac{2AE}{L}$。
• 垂直彈簧 $CE$ 於 $C$ 點下方支承至地盤 $E$ 點，彈性係數 $k = \frac{2AE}{L}$。
• 外力作用：$C$ 點承受一垂直向下外力 $P$。

解題方法

(一) 取彈簧 $BC$ 內力為贅力，以卡氏第二定理求彈簧 $BC$ 之內力

1. 靜力平衡分析（以贅力 $X$ 表示各桿件與彈簧內力）： 設彈簧 $BC$ 之內力為 $X$，並以拉力為正（$X > 0$）。

• 分析節點 $B$： 節點 $B$ 受彈簧 $BC$ 之水平向右拉力 $X$、桿件 $AB$ 軸力 $N_{AB}$（設拉力）、垂直彈簧 $BD$ 內力 $F_{BD}$（設拉力向下，拉扯節點 $B$）。 $\sum F_x = 0 \implies X + N_{AB} \cos 45^\circ = 0 \implies N_{AB} = -\frac{X}{\cos 45^\circ} = -\sqrt{2}X$ $\sum F_y = 0 \implies N_{AB} \sin 45^\circ - F_{BD} = 0 \implies F_{BD} = N_{AB} \sin 45^\circ = (-\sqrt{2}X)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -X$ （負號表示彈簧 $BD$ 實質受壓，向節點 $B$ 提供向上推力 $X$）

• 分析節點 $C$： 節點 $C$ 受彈簧 $BC$ 之水平向左拉力 $X$、桿件 $AC$ 軸力 $N_{AC}$（設拉力）、垂直彈簧 $CE$ 內力 $F_{CE}$（設拉力向下）、垂直向下外力 $P$。 $\sum F_x = 0 \implies -X - N_{AC} \cos 45^\circ = 0 \implies N_{AC} = -\frac{X}{\cos 45^\circ} = -\sqrt{2}X$ $\sum F_y = 0 \implies N_{AC} \sin 45^\circ - F_{CE} - P = 0$ $F_{CE} = N_{AC} \sin 45^\circ - P = (-\sqrt{2}X)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - P = -(P + X)$ （負號表示彈簧 $CE$ 實質受壓，壓力大小為 $P + X$）

2. 整理各構件內力與偏微分：

3. 應用卡氏第二定理建立諧合方程式： $\frac{\partial U}{\partial X} = \sum_{bars} \frac{N L}{EA} \frac{\partial N}{\partial X} + \sum_{springs} \frac{F_s}{k} \frac{\partial F_s}{\partial X} = 0$

核心觀念

本題旨在考查對稱性結構分析（Symmetry Analysis）​與傾角變位法（Slope-Deflection Method）​之綜合應用：

1. 結構對稱性與半結構邊界條件：

• 對稱面（Symmetric Plane）：結構在此面上之變形呈現鏡射對稱。其物理邊界條件為：法向（側向）位移 $\Delta = 0$、斷面轉角 $\theta = 0$、剪力 $V = 0$；軸向位移與彎矩不為零。等效邊界條件為定向支承（Sliding / Guided Support）。
• 反對稱面（Anti-symmetric Plane）：結構在此面上之變形呈現反對稱（反向扭轉）。其物理邊界條件為：切向（軸向）位移 $= 0$、彎矩 $M = 0$；斷面轉角 $\theta \neq 0$、剪力 $V \neq 0$。等效邊界條件為鉸支承或滾產支承（Hinge / Roller Support）。

2. 傾角變位法基本公式（依題意，桿端彎矩以順鐘向為正）：

• 兩端剛接桿件 $ij$（長度 $L$，撓曲剛度 $EI$）： $M_{ij} = \frac{2EI}{L}\left(2\theta_i + \theta_j - 3\psi_{ij}\right) + FEM_{ij}$
• 遠端為鉸支承（$M_{ji} = 0$）之修正公式： $M_{ij} = \frac{3EI}{L}\left(\theta_i - \psi_{ij}\right) + FEM_{ij}^*$

3. 側移自由度判定：

• 外圍 $A, D, E, H$ 為固定鉸支承，在忽略桿件軸向變形之標準假設下，節點 $B, C, F, G$ 之水平位移皆被完全束制（$u_B = u_F = 0$），各桿弦轉角均為零（$\psi = 0$），結構無側移（No sidesway）。

解題方法

依考卷原題圖三，各桿長度均為 $L$、撓曲剛度均為 $EI$，且於梁 $BC$ 與 $FG$ 分別承受對稱向下之垂直集中載重 $P$（若為均布載重 $w$ 則置換固端彎矩即可）；以下基於國考標準題型進行完整解析與定案推導。

一、 剛架結構之對稱面與反對稱面判定

此平面剛架幾何與支承配置具備雙軸對稱性（垂直中心軸與水平中心軸）：

1. 對稱面（Symmetric Plane）：

• 位置：通過跨度 $BC$ 及 $FG$ 中點之垂直平分切面（設為 $Y-Y'$ 軸）。
• 邊界條件：梁跨中點處轉角 $\theta = 0$、水平位移 $u = 0$、剪力 $V = 0$。此處等效為垂直定向支承（Vertical Sliding Support）。

2. 反對稱面（Anti-symmetric Plane）：

• 位置：通過柱 $BF$ 及 $CG$ 中點之水平平分切面（設為 $X-X'$ 軸）。
• 邊界條件：柱中點處水平位移受束制、彎矩 $M = 0$。此處等效為鉸支承或垂直滾產支承（Roller Support）。

 [對稱面 Y-Y']
 │
A ───(B)───────┼───────(C)─── D (上梁)
 │ │ │ │ │
─┼─────┼───[反對稱面 X-X']───┼─
 │ │ │ │ │
E ───(F)───────┼───────(G)─── H (下梁)
 │

二、 傾角變位法建立桿端彎矩方程式

考慮對稱性與反對稱性之變形特徵：

• 對稱面（垂直軸）兩側轉角相反：$\theta_C = -\theta_B$、$\theta_G = -\theta_F$
• 反對稱面（水平軸）上下轉角相同：$\theta_F = \theta_B$、$\theta_G = \theta_C = -\theta_B$
• 各桿弦轉角均受支承束制：$\psi = 0$

令桿件剛度 $K = \frac{EI}{L}$，各桿固端彎矩為 $FEM$：

1. 外伸懸臂端桿件 $BA$ 與 $FE$（遠端為鉸支承，$M_{AB} = M_{EF} = 0$）： $M_{BA} = 3K\theta_B$ $M_{FE} = 3K\theta_F = 3K\theta_B$

2. 跨間橫梁 $BC$ 與 $FG$（兩端剛接，且 $\theta_C = -\theta_B$）： $M_{BC} = 2K(2\theta_B + \theta_C) + FEM_{BC} = 2K(2\theta_B - \theta_B) + FEM_{BC} = 2K\theta_B + FEM_{BC}$ $M_{FG} = 2K(2\theta_F + \theta_G) + FEM_{FG} = 2K(2\theta_B - \theta_B) + FEM_{FG} = 2K\theta_B + FEM_{FG}$ （若梁 $BC$ 與 $FG$ 受相同中央向下集中載重 $P$，則 $FEM_{BC} = FEM_{FG} = -\frac{PL}{8}$）

3. 垂直柱桿 $BF$（兩端剛接，且 $\theta_F = \theta_B$）： $M_{BF} = 2K(2\theta_B + \theta_F) = 2K(2\theta_B + \theta_B) = 6K\theta_B$