107 高普考高考三級 土木工程 鋼筋混凝土學與設計 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量「鋼筋混凝土圓形螺旋箍筋柱」之斷面配筋檢核與軸壓承載能力分析，依據命題當年（民國 107 年）適用之《混凝土結構設計規範》（土木 401-100）進行檢核（現行規範雖於民國 112 年修正，惟螺旋箍筋柱之基本配筋限制與計算公式實質維持一致）：

1. 主鋼筋比（$\rho_g$）規定：受壓構材之主鋼筋比限制為 $0.01 \le \rho_g \le 0.08$，且螺旋箍筋柱之縱向主筋最少須配置 6 支。主筋淨間距不得小於 $1.5 d_b$、$4.0\ \mathrm{cm}$ 及 $4/3$ 粗骨材最大粒徑。
2. 螺旋箍筋體積比（$\rho_s$）規定：規範要求實配之螺旋箍筋體積比 $\rho_s$ 不得小於最小螺旋箍筋比 $\rho_{s,\min}$： $\rho_{s,\min} = 0.45 \left( \frac{A_g}{A_c} - 1 \right) \frac{f'_c}{f_{yt}}$ 螺旋箍筋淨間距應在 $2.5\ \mathrm{cm}$ 至 $7.5\ \mathrm{cm}$ 之間。
3. 最大設計軸力（$\phi P_{n,\max}$）計算：

• 純軸心受壓公稱強度：$P_0 = 0.85 f'_c A_{\text{conc}} + f_y A_{st}$
• 意外偏心折減：螺旋箍筋構材取 $P_{n,\max} = 0.85 P_0$（橫箍筋構材則取 $0.80 P_0$）。
• 強度折減因數：螺旋箍筋構材於受壓控制斷面取 $\phi = 0.75$（橫箍筋構材為 $0.65$）。
• 最大設計軸力：$\phi P_{n,\max} = 0.85 \phi P_0$。

4. 混凝土剝落前與剝落後之物理機制：

• 剝落前：混凝土全斷面 $A_g$ 完整，混凝土承載面積為 $A_g - A_{st}$，橫向螺旋筋尚未發揮高壓圍束效果。
• 剝落後：外圍保護層剝落，有效混凝土面積縮減為核心面積 $A_c$；但橫向螺旋筋因核心混凝土向外膨脹而達到降伏強度，對核心產生三向側向圍束應力 $f_2 = \frac{2 A_{sp} f_{yt}}{D_c s}$，使核心混凝土強度提升至 $f'_{cc} = 0.85 f'_c + 4.1 f_2$（Richart 三向受壓圍束理論）。

解題方法

依原卷圖一所示斷面尺寸：圓柱全斷面直徑為 $D = 50\ \mathrm{cm}$，鋼筋淨保護層取規範標準之 $4.0\ \mathrm{cm}$，對應螺旋箍筋外緣直徑（核心直徑）為 $D_c = 50 - 2 \times 4 = 42\ \mathrm{cm}$。

解題切入步驟如下：

1. 計算總斷面積 $A_g$、核心面積 $A_c$ 及主筋總面積 $A_{st}$，檢核主鋼筋比及根數限制。
2. 計算螺旋箍筋之實配體積比 $\rho_s$ 與規範下限值 $\rho_{s,\min}$，並檢核螺距之淨間距。
3. 計算剝落前之最大設計軸力 $\phi P_{n,\max}$（採用全斷面混凝土淨面積 $A_g - A_{st}$）。
4. 計算剝落後之最大設計軸力 $\phi P_{n,\max}'$（依規範學理推導，計入螺旋筋提供之側向圍束應力 $f_2$ 提高核心強度 $f'_{cc}$；另附上未計圍束增益之過渡下限值供閱卷對照）。

選項分析

本題為計算申論題，無選項，故免除選項分析。

詳細計算步驟與推導

一、 斷面幾何與材料特性

• 圓柱全直徑：$D = 50\ \mathrm{cm}$，全斷面積： $A_g = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (50)^2 = 1963.50\ \mathrm{cm^2}$
• 核心直徑（至螺筋外緣）：$D_c = 50 - 2 \times 4.0 = 42\ \mathrm{cm}$，核心面積： $A_c = \frac{\pi}{4} D_c^2 = \frac{\pi}{4} (42)^2 = 1385.44\ \mathrm{cm^2}$
• 主筋配置 8 支 $\mathrm{D25}$： $A_{st} = 8 \times 5.07 = 40.56\ \mathrm{cm^2}$
• 螺旋筋配置 $\mathrm{D13}$，間距 $s = 5\ \mathrm{cm}$： $A_{sp} = 1.27\ \mathrm{cm^2}, \quad d_b = 1.27\ \mathrm{cm}$
• 材料強度：$f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，$f_y = f_{yt} = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$。

二、 主鋼筋比檢核

1. 主鋼筋比計算： $\rho_g = \frac{A_{st}}{A_g} = \frac{40.56}{1963.50} = 0.02066 = 2.07\%$
2. 規範規定檢核：

• 鋼筋比限制：$0.01 \le \rho_g \le 0.08$（即 $1\% \le \rho_g \le 8\%$），$1\% \le 2.07\% \le 8\%$，合於規定。
• 鋼筋支數限制：圓形螺旋箍筋柱至少配置 6 支主筋，本題配置 8 支 $\ge 6$ 支，合於規定。
• 主筋淨間距檢核： 主筋中心所在圓直徑 $D_b = D_c - 2 d_{sp} - d_b = 42 - 2(1.27) - 2.54 = 36.92\ \mathrm{cm}$。 主筋中心間距 $s_c = \frac{\pi \times 36.92}{8} \approx 14.50\ \mathrm{cm}$。 主筋淨間距 $s_{\text{net}} = 14.50 - 2.54 = 11.96\ \mathrm{cm} > \max(1.5 d_b = 3.81\ \mathrm{cm},\ 4.0\ \mathrm{cm})$，合於規定。
• 結論：主鋼筋比與配置【符合規範】。

三、 螺旋箍筋比檢核

1. 實配螺旋箍筋體積比 $\rho_s$： $\rho_s = \frac{4 A_{sp}}{D_c s} = \frac{4 \times 1.27}{42 \times 5} = \frac{5.08}{210} = 0.02419 = 2.42\%$ (若按螺旋筋中心直徑之精確體積比計算，$\rho_s = \frac{4 A_{sp} (D_c - d_b)}{D_c^2 s} = \frac{4 \times 1.27 \times (42 - 1.27)}{42^2 \times 5} = 2.35\%$)
2. 規範規定之最小螺旋箍筋比 $\rho_{s,\min}$： $\frac{A_g}{A_c} = \left(\frac{50}{42}\right)^2 = 1.4172$ $\rho_{s,\min} = 0.45 \left( \frac{A_g}{A_c} - 1 \right) \frac{f'_c}{f_{yt}} = 0.45 \times (1.4172 - 1) \times \frac{280}{4200} = 0.45 \times 0.4172 \times \frac{1}{15} = 0.01252 = 1.25\%$
3. 螺旋箍筋構造限制檢核：

核心觀念

本題以命題當年（民國 107 年）適用之內政部《建築物混凝土結構設計規範》（100 年版）及中國土木水利工程學會《混凝土工程設計規範》（土木 401-100）為準；現行規範後續已針對混凝土抗剪強度引入尺寸效應等重要修正，解題仍以命題當年規定為準。

本題評量重點為「鋼筋混凝土簡支梁之剪力強度檢核與最大載重推求」，核心觀念與公式包括：

1. 極限設計載重組合： 依規範規定，基本載重組合為 $U = 1.2D + 1.6L$。梁中央承受集中活載重 $P_L$，其因數化設計剪力為 $V_u$。
2. 斷面設計剪力強度： $\phi V_n = \phi (V_c + V_s) \ge V_u$ 其中剪力強度折減因數 $\phi = 0.75$。
3. 混凝土提供之剪力強度（簡化式）： $V_c = 0.53 \sqrt{f'_c} b_w d$
4. 剪力鋼筋提供之剪力強度： $V_s = \frac{A_v f_{yt} d}{s}$ 垂直剪力筋 $A_v$ 為雙肢箍筋截面積之和（$A_v = 2 A_b$），$f_{yt}$ 為剪力筋降伏強度，$s$ 為剪力筋間距。
5. 規範剪力上限與間距檢核：

• 斷面抗剪上限值：$V_s \le 2.12 \sqrt{f'_c} b_w d$。
• 最大間距限制：當 $V_s \le 1.06 \sqrt{f'_c} b_w d$ 時，$s_{max} \le \min\left(\dfrac{d}{2}, 60\ \mathrm{cm}\right)$；且須滿足最小剪力筋量 $A_{v,min} = \max\left(0.2 \dfrac{\sqrt{f'_c}}{f_{yt}} b_w s, 3.5 \dfrac{b_w s}{f_{yt}}\right)$。

6. 剪力臨界截面與檢核控制點：

• 簡支梁臨界截面位於距離支承面 $d$ 處。
• 若剪力筋採分段不同間距配置，在間距變大之交界斷面（轉換點）亦為潛在之抗剪控制點，兩者均須檢核。

解題方法

一、配筋與幾何條件整理

對照圖二配置：

• 簡支梁淨跨度 $L = 8\ \mathrm{m}$，中央受集中載重 $P_L$。

核心觀念

本題旨在考驗考生對「單向版（One-way Slab）彎矩設計」與「收縮及溫度鋼筋配置」之規範掌握度。 以命題當年（民國 107 年）適用之內政部《混凝土結構設計規範》（民 100 年修正版）為準（註：現行法已於民國 112 年修正發布，但單向版之單寬梁設計模式與收縮溫度鋼筋基本原則未變）。

1. 單向版分析模型：單向版在載重作用下主要於跨度方向產生單向彎曲，設計時通常取「單位寬度」（$b = 100\ \mathrm{cm} = 1.0\ \mathrm{m}$）之矩形梁斷面進行計算。
2. 極限彎矩設計（強度設計法 USD）：

• 設計彎矩強度必須滿足：$\phi M_n \ge M_u$。
• 等效矩形應力塊受壓深度 $a$ 與受拉鋼筋量 $A_s$ 關係： $C = T \implies 0.85 f'_c b a = A_s f_y \implies a = \frac{A_s f_y}{0.85 f'_c b}$
• 名義彎矩強度： $M_n = A_s f_y \left(d - \frac{a}{2}\right)$

3. 拉力控制斷面與強度折減係數：

• 鋼筋淨拉應變 $\epsilon_t \ge 0.005$ 時屬於拉力控制斷面，彎矩強度折減係數 $\phi = 0.90$。

4. 主筋配置限制：

• 最小受彎鋼筋量（規範第 13.5.3 節）：等厚結構版之主彎矩鋼筋比不得小於收縮與溫度鋼筋量（$f_y = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時為 $0.0018 b h$）。
• 主筋最大間距（規範第 13.4.2 節）：$s_{\max} \le \min(3h, 45\ \mathrm{cm})$。

5. 收縮與溫度鋼筋（次筋）配置：

• 垂直於主筋方向需配置收縮與溫度鋼筋，當採用 SD420（$f_y = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$）鋼筋時： $A_{st} = 0.0018 b h$
• 次筋最大間距（規範第 13.5.4 節）：$s_{\max} \le \min(5h, 45\ \mathrm{cm})$。

解題方法

題目基本資料與預設條件：

• 淨跨度 $L_n = 4.5\ \mathrm{m}$
• 版厚 $h = 20\ \mathrm{cm}$，有效深度 $d = 17\ \mathrm{cm}$
• 設計彎矩 $M_u = 2.7\ \mathrm{tf\cdot m/m} = 2.7 \times 10^5\ \mathrm{kgf\cdot cm/m}$
• 取單位設計寬度 $b = 100\ \mathrm{cm}$
• 題目未另行註明材料強度，依公職國家考試試卷通則，假設： 混凝土規定抗壓強度 $f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，鋼筋規定降伏強度 $f_y = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$（SD420）。

步驟一：主筋方向（平行跨度方向）設計

1. 計算所需鋼筋量 $A_s$： 假設斷面為拉力控制（$\phi = 0.90$），所需名義彎矩強度為： $M_n = \frac{M_u}{\phi} = \frac{2.7 \times 10^5}{0.90} = 300,000\ \mathrm{kgf\cdot cm/m}$

由 $M_n = 0.85 f'_c b a \left(d - \frac{a}{2}\right)$： $300,000 = 0.85 \times 280 \times 100 \times a \left(17 - 0.5 a\right)$ $300,000 = 23,800 a (17 - 0.5 a) \implies a (17 - 0.5 a) = 12.605$ $0.5 a^2 - 17 a + 12.605 = 0 \implies a^2 - 34 a + 25.21 = 0$

解一元二次方程式： $a = \frac{34 - \sqrt{34^2 - 4 \times 1 \times 25.21}}{2} = \frac{34 - 32.483}{2} \approx 0.76\ \mathrm{cm}$

計算所需鋼筋面積 $A_s$： $A_s = \frac{0.85 f'_c b a}{f_y} = \frac{0.85 \times 280 \times 100 \times 0.76}{4200} = 4.31\ \mathrm{cm^2/m}$

2. 檢核拉力控制斷面（確認 $\phi = 0.90$ 之假設）： 對於 $f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，$\beta_1 = 0.85$。 中性軸深度 $c$ 為： $c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{0.76}{0.85} = 0.894\ \mathrm{cm}$ 最外拉層鋼筋淨拉應變： $\epsilon_t = \frac{d - c}{c} \times 0.003 = \frac{17 - 0.894}{0.894} \times 0.003 = 0.054 \gg 0.005$ 確定為拉力控制斷面，原假設 $\phi = 0.90$ 正確。

3. 檢核最小鋼筋量 $A_{s,\min}$： $A_{s,\min} = 0.0018 b h = 0.0018 \times 100 \times 20 = 3.60\ \mathrm{cm^2/m}$ 因 $A_s = 4.31\ \mathrm{cm^2/m} > A_{s,\min} = 3.60\ \mathrm{cm^2/m}$，取 $A_s = 4.31\ \mathrm{cm^2/m}$。

4. 主筋配置與間距計算：

• 主筋最大允許間距：

本題以命題當年（民國 107 年）適用之內政部《結構混凝土設計規範》第十五章「耐震設計之特別規定」為準。（現行法規於民國 112 年進行通盤修訂，章節架構已與 ACI 318-19 接軌，但核心耐震力學觀念完全相同，解題仍以命題當年規定為準）。

核心觀念

耐震鋼筋混凝土結構物係採取「容量設計法」（Capacity Design）之哲理，其核心目標為確保結構在遭遇設計地震時，能透過預先設定之結構構件特定區域（即塑性鉸區）發展非彈性大變形來消散地震能量，並嚴格杜絕任何提前發生之脆性破壞（如剪力破壞、握裹錨定破壞或主筋挫屈）。

本題涉及之三大規範核心概念與條文依據如下：

1. 混凝土強度規定（《結構混凝土設計規範》第 15.2.4 節）：規定主要抗震構材所使用混凝土之抗壓強度下限（及輕質混凝土之上限）。
2. 鋼筋降伏強度上限限制（《結構混凝土設計規範》第 15.2.5 節）：限制鋼筋實際降伏強度與規定降伏強度之差距不得過大，以維持容量設計的強度階層（Strength Hierarchy）。
3. 塑性鉸區之橫向圍束機制（《結構混凝土設計規範》第 15.4 節、第 15.5 節）：藉由閉合橫向鋼筋提供側壓圍束效應，改善混凝土脆性並防止構材提前破壞。

解題方法

本題為耐震設計核心觀念之申論題，答題切入點應分為三部分，並針對各項規定寫出「條文數字標準」與「力學力理／破壞機制」：

一、混凝土強度之相關規定及其理由

1. 法規相關規定：

• 常重混凝土：主要抗震構材（如特殊抗彎矩構架之梁、柱及特殊結構牆）之規定抗壓強度 $f'_c$ 不得小於 $210\text{ kgf/cm}^2$（$21\text{ MPa}$）。
• 輕質混凝土：規定抗壓強度 $f'_c$ 不得小於 $210\text{ kgf/cm}^2$，且不得大於 $350\text{ kgf/cm}^2$（$35\text{ MPa}$）。

2. 制定規定之理由：

• 設置下限（$f'_c \ge 210\text{ kgf/cm}^2$）之理由：
• 確保足夠剪力與握裹剪力強度：耐震構件在往復載重作用下會產生反覆開裂，若基材強度不足，斜裂縫擴展迅速且粒料互鎖效應（Aggregate Interlock）大幅衰退，容易造成提前之剪力脆性破壞與主筋握裹滑移。
• 提供足夠之微觀韌性與延展性：低強度混凝土內部孔隙率大、基質疏鬆，在反覆大變形下過早壓碎崩解，無法配合圍束鋼筋發揮應有之應變容量。
• 設置上限（輕質混凝土 $f'_c \le 350\text{ kgf/cm}^2$）之理由：
• 輕質骨材本身強度有限且脆性較高，當輕質混凝土設計強度過高時，其力學行為會趨於極端脆性（應力-應變曲線下降段極為陡峭），一旦受壓破裂幾乎缺乏塑性變形前兆，難以滿足耐震構件所需之高韌性耗能需求。

二、鋼筋降伏強度不得超出規定降伏強度之理由

1. 法規相關規定： 主要抗震結構構材之抗彎及抗軸力縱向鋼筋，其實際降伏強度不得超出規定降伏強度 $f_y$ 達 $1,200\text{ kgf/cm}^2$（約 $120\text{ MPa}$），且鋼筋實際抗拉強度與實際降伏強度之比值不得小於 $1.25$（即 $f_u / f_y \ge 1.25$）。
2. 限制鋼筋降伏強度上限之理由（容量設計法之核心機制）：

• 避免誘發剪力脆性破壞（確保「強剪弱彎」）： 耐震設計中，梁柱等構件之設計剪力需求 $V_e$ 並非直接取自彈性地震力分析，而是依據構材兩端形成塑性鉸時所能發揮的最大可能彎矩強度（Probable Flexural Strength, $M_{pr}$）推算求得。若縱向主筋之實際降伏強度過高（大幅超出預期值 $f_y$），構件實際發展出的塑性彎矩 $M_{pr}$ 將遠大於設計預估值，致使伴隨產生的實際剪力需求巨幅增加。若剪力配筋不及負擔此超額剪力，構材將在彎矩充分發揮延性前，先發生突發性的剪力脆性破壞。
• 避免破壞「強柱弱梁」機制： 抗震構架通常設計為梁端先降伏形成塑性鉸、柱維持彈性之「強柱弱梁」消能機制。