107 高普考高考三級 土木工程 工程力學（包括材料力學） 考古題詳解

依考卷原題圖一所示，均勻桿件 $AB$ 長度設為 $L$，桿件與水平地面之夾角為 $\theta = 60^\circ$（底端 $B$ 接觸地面，頂端 $A$ 靠於垂直牆面），水平力 $P$ 作用於地面 $B$ 點且指向牆面（向左）。 均勻桿件之重心 $G$ 位於桿件中點（距離 $B$ 點 $\frac{L}{2}$ 處），其重量為： $W = mg = 15\ \mathrm{kg} \times 9.81\ \mathrm{m/s^2} = 147.15\ \mathrm{N}$

核心觀念

1. 剛體靜力平衡方程式： 系統處於二維靜力平衡時，必須同時滿足： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M = 0$
2. 庫侖最大靜摩擦力定律（Coulomb's Law of Friction）： 當接觸面處於臨界滑動（Impending Motion）狀態時，靜摩擦力達到最大極限值： $f_{\max} = \mu N$ 摩擦力的方向恆與接觸點之相對運動（或相對滑動趨勢）方向相反。
3. 臨界運動趨勢之判定：

• $P$ 力最小值 $P_{\min}$：外力不足以支撐桿件，桿件即將發生「向下崩塌滑動」，此時 $A$ 點趨向向下移動（牆面摩擦力 $f_A$ 向上），$B$ 點趨向向右背離牆面滑動（地面摩擦力 $f_B$ 向左）。
• $P$ 力最大值 $P_{\max}$：外力過大將桿件「向上推擠」，桿件即將發生「向上推移滑動」，此時 $B$ 點趨向向左朝牆面推進（地面摩擦力 $f_B$ 向右），$A$ 點趨向向上滑動（牆面摩擦力 $f_A$ 向下）。

解題方法

(一) 計算 $P$ 力最小值 $P_{\min}$（15 分）

當 $P = P_{\min}$ 時，桿件處於即將向下、向外滑動的臨界狀態：

1. 受力方向確立：

• 垂直牆面 $A$ 點：正向力 $N_A$ 水平向右；摩擦力 $f_A = \mu_A N_A = 0.20 N_A$ 鉛直向上。
• 水平地面 $B$ 點：正向力 $N_B$ 鉛直向上；摩擦力 $f_B = \mu_B N_B = 0.25 N_B$ 水平向左。
• 桿件重心 $G$：重力 $W = 147.15\ \mathrm{N}$ 鉛直向下。
• 推力 $P_{\min}$：水平向左作用於 $B$ 點。

2. 對 $B$ 點取力矩平衡（$\sum M_B = 0$，以逆時針為正）： $N_A (L \sin 60^\circ) + f_A (L \cos 60^\circ) - W \left(\frac{L}{2} \cos 60^\circ\right) = 0$ 兩邊同除以 $L \cos 60^\circ$： $N_A \tan 60^\circ + f_A = \frac{1}{2} W$ 將 $f_A = 0.20 N_A$ 及 $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.73205$ 代入： $N_A (\sqrt{3} + 0.20) = \frac{1}{2} (147.15) = 73.575$ $N_A = \frac{73.575}{1.73205 + 0.20} = \frac{73.575}{1.93205} \approx 38.081\ \mathrm{N}$

3. 鉛直方向力平衡（$\sum F_y = 0$，向上為正）： $N_B + f_A - W = 0$ $N_B = W - 0.20 N_A = 147.15 - 0.20 \times 38.081 = 147.15 - 7.616 = 139.534\ \mathrm{N}$ 地面最大靜摩擦力為： $f_B = \mu_B N_B = 0.25 \times 139.534 \approx 34.884\ \mathrm{N}$

4. 水平方向力平衡（$\sum F_x = 0$，向右為正）： $N_A - f_B - P_{\min} = 0$ $P_{\min} = N_A - f_B = 38.081 - 34.884 = 3.197\ \mathrm{N} \approx 3.20\ \mathrm{N}$

核心觀念

本題考查材料力學中一次超靜定軸向受力桿件（Statically Indeterminate Axially Loaded Members）的平衡、變形諧和與降伏強度判定。 雖然題幹敘述使用「梁」字，但依圖二受力標示，$B$ 點與 $C$ 點所承受的集中載重為沿桿軸方向之水平軸向力（$3P$ 向右、$P$ 向右），兩端 $A$ 與 $D$ 為軸向固定端。

解題涉及之核心原理與公式如下：

1. 靜力平衡方程式： $\sum F_x = 0$
2. 虎克定律與軸向變形公式： $\delta = \frac{N L}{E_0 A}$ 其中 $N$ 為桿件軸力（拉力為正、壓力為負），$L$ 為區段長度，$E_0$ 為彈性模數，$A$ 為斷面積。
3. 變形諧和條件（Compatibility Condition）： 因 $A$、$D$ 兩端固定，全桿總伸長量必須為零： $\delta_{AD} = \delta_{AB} + \delta_{BC} + \delta_{CD} = 0$
4. 降伏準則（Yield Criterion）： 在彈性範圍內，各區段之正應力均勻分佈為 $\sigma = \frac{N}{A}$。構件尚未發生任何降伏之臨界條件為全桿最大應力值達到材料之降伏強度： $\sigma_{\max} = \max\left( |\sigma_{AB}|, |\sigma_{BC}|, |\sigma_{CD}| \right) \le \sigma_y$

解題方法

1. 基本斷面幾何性質計算： 圓形斷面直徑 $d = 300\ \mathrm{mm}$： $A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (300)^2}{4} = 22,500\pi\ \mathrm{mm}^2$ 彈性模數 $E_0 = 200\ \mathrm{GPa} = 200,000\ \mathrm{MPa} = 200,000\ \mathrm{N/mm}^2$。 降伏強度 $\sigma_y = 180\ \mathrm{MPa} = 180\ \mathrm{N/mm}^2$。 各段長度：$L_{AB} = 1000\ \mathrm{mm}$、$L_{BC} = 2500\ \mathrm{mm}$、$L_{CD} = 1500\ \mathrm{mm}$。

2. 建立超靜定力法方程式求解反力： 設 $A$ 端與 $D$ 端之水平反力分別為 $R_A$ 與 $R_D$（均假設方向向左 $\leftarrow$）。 由水平平衡條件： $\sum F_x = 0 \implies R_A + R_D = 3P + P = 4P$

以切面法表示各區段內力（拉力為正）：

• $AB$ 段（$0 \le x < 1000\ \mathrm{mm}$）：$N_{AB} = R_A$
• $BC$ 段（$1000\ \mathrm{mm} < x < 3500\ \mathrm{mm}$）：$N_{BC} = R_A - 3P$
• $CD$ 段（$3500\ \mathrm{mm} < x \le 5000\ \mathrm{mm}$）：$N_{CD} = R_A - 3P - P = R_A - 4P = -R_D$

由兩端固定變形諧和條件 $\delta_{AD} = 0$： $\delta_{AD} = \frac{N_{AB} L_{AB}}{E_0 A} + \frac{N_{BC} L_{BC}}{E_0 A} + \frac{N_{CD} L_{CD}}{E_0 A} = 0$ 因全斷面材料與尺寸均勻，$E_0 A$ 為常數，化簡為： $N_{AB} L_{AB} + N_{BC} L_{BC} + N_{CD} L_{CD} = 0$ $R_A (1000) + (R_A - 3P)(2500) + (R_A - 4P)(1500) = 0$ $1000 R_A + 2500 R_A - 7500 P + 1500 R_A - 6000 P = 0$ $5000 R_A = 13500 P \implies R_A = 2.7 P \quad (\leftarrow)$ 進一步求得 $D$ 端反力： $R_D = 4P - 2.7 P = 1.3 P \quad (\leftarrow)$

3. 求各段內力與應力分佈：

• $AB$ 段內力：$N_{AB} = 2.7 P$（受拉，Tension）
• $BC$ 段內力：$N_{BC} = 2.7 P - 3P = -0.3 P$（受壓，Compression）
• $CD$ 段內力：$N_{CD} = 2.7 P - 4P = -1.3 P$（受壓，Compression）

詳細計算步驟

(一) 求解尚未發生任何降伏前之最大載重 $P_{\max}$

各段之應力絕對值分別為： $|\sigma_{AB}| = \frac{|N_{AB}|}{A} = \frac{2.7 P}{A}$ $|\sigma_{BC}| = \frac{|N_{BC}|}{A} = \frac{0.3 P}{A}$ $|\sigma_{CD}| = \frac{|N_{CD}|}{A} = \frac{1.3 P}{A}$

全桿之最大應力發生於 $AB$ 段： $\sigma_{\max} = |\sigma_{AB}| = \frac{2.7 P}{A}$

構件尚未發生降伏前，最大應力不得超過降伏應力 $\sigma_y$：

核心觀念

本題屬於外靜不定（或內外靜不定）桁架結構分析，核心在於同時滿足靜力平衡條件、幾何諧和條件（變形相容）​與材料組成律（虎克定律）。

1. 靜不定度判斷：節點 $A$ 匯交三根共面軸力桿件，僅能列出 2 個獨立平面靜力平衡方程式（$\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$），但有 3 個未知桿力，靜不定度為 $3 - 2 = 1$ 度。
2. 桿件變形與虎克定律：各桿承受均勻軸力，軸向伸長量與軸力之關係為： $\delta = \frac{N L}{E A_0}$
3. 節點位移法（剛度法）：將節點 $A$ 的位移設為基本未知數（水平位移 $\Delta_H$ 與垂直位移 $\Delta_V$），利用小變形幾何投影求出各桿之伸長量，再以虎克定律表示各桿內力，代入節點平衡方程式，可直接聯立解出位移與各桿力量。

解題方法

1. 幾何尺寸與方向餘弦

由圖三尺寸關係，取節點 $A$ 為坐標原點 $(0, 0)$，右側固定鉸支承 $B, C, D$ 位於同一垂直線上，其坐標分別為：

• $D$ 點：$(4, 0)\ \mathrm{m}$，故桿件 $AD$ 為水平桿
• $C$ 點：$(4, 3)\ \mathrm{m}$
• $B$ 點：$(4, 6)\ \mathrm{m}$

各桿件長度及與水平線（$+x$ 軸）之夾角資訊如下：

• 桿件 $AD$： $L_{AD} = 4\ \mathrm{m}$ $\cos\theta_D = 1,\quad \sin\theta_D = 0$
• 桿件 $AC$： $L_{AC} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ \mathrm{m}$ $\cos\theta_C = \frac{4}{5} = 0.8,\quad \sin\theta_C = \frac{3}{5} = 0.6$
• 桿件 $AB$： $L_{AB} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\ \mathrm{m} \approx 7.2111\ \mathrm{m}$ $\cos\theta_B = \frac{4}{\sqrt{52}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \approx 0.5547,\quad \sin\theta_B = \frac{6}{\sqrt{52}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \approx 0.8321$

各桿軸向剛度常數： $E A_0 = (80 \times 10^9\ \mathrm{N/m^2}) \times (100 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^2}) = 8 \times 10^6\ \mathrm{N} = 8000\ \mathrm{kN}$

2. 幾何諧和關係（以 $A$ 點位移表示桿件伸長量）

設節點 $A$ 受載重作用後之變形位移為：

• 水平位移 $\Delta_H$（方向向右為正）
• 垂直位移 $\Delta_V$（方向向下為正）

固定端 $B, C, D$ 位移均為零。小變形理論下，各桿件之伸長量 $\delta_i$（拉長為正）由幾何投影可得： $\delta_i = -\Delta_H \cos\theta_i + \Delta_V \sin\theta_i$

具體代入各桿： $\delta_{AD} = -\Delta_H$ $\delta_{AC} = -0.8 \Delta_H + 0.6 \Delta_V$ $\delta_{AB} = -\frac{2}{\sqrt{13}} \Delta_H + \frac{3}{\sqrt{13}} \Delta_V$

3. 桿件內力（物理關係式）

各桿內力（以拉力為正）依虎克定律表示為 $N_i = \frac{E A_0}{L_i} \delta_i$： $N_{AD} = \frac{E A_0}{4} (-\Delta_H) = E A_0 (-0.25 \Delta_H)$ $N_{AC} = \frac{E A_0}{5} (-0.8 \Delta_H + 0.6 \Delta_V) = E A_0 (-0.16 \Delta_H + 0.12 \Delta_V)$ $N_{AB} = \frac{E A_0}{\sqrt{52}} \left( -\frac{4}{\sqrt{52}} \Delta_H + \frac{6}{\sqrt{52}} \Delta_V \right) = E A_0 \left( -\frac{16}{52\sqrt{52}} \Delta_H + \frac{24}{52\sqrt{52}} \Delta_V \right)$

數值化各係數（保留 8 位有效運算）： $\frac{16}{52\sqrt{52}} = \frac{2}{13\sqrt{13}} \approx 0.04266925\ \mathrm{m^{-1}}$ $\frac{24}{52\sqrt{52}} = \frac{3}{13\sqrt{13}} \approx 0.06400387\ \mathrm{m^{-1}}$ $\frac{36}{52\sqrt{52}} = \frac{9}{26\sqrt{13}} \approx 0.09600580\ \mathrm{m^{-1}}$

4. 節點 $A$ 靜力平衡方程式

載重 $P = 5\ \mathrm{kN}$ 垂直向下。

1. 水平方向平衡 ($\sum F_x = 0$，向右為正)： $N_{AD} + N_{AC} \cos\theta_C + N_{AB} \cos\theta_B = 0$ 代入內力式： $E A_0 \left[ (-0.25 - 0.16 \times 0.8 - 0.04266925) \Delta_H + (0.12 \times 0.8 + 0.06400387) \Delta_V \right] = 0$ $(-0.42066925) \Delta_H + (0.16000387) \Delta_V = 0$

核心觀念

本題屬於材料力學中「梁之撓曲應力（Flexural Stress）」與「斷面幾何性質最佳化（Section Modulus Optimization）」的經典考題，核心概念涵蓋：

1. 撓曲公式（Flexure Formula）：梁在承受純彎矩 $M$ 下，斷面最大拉／壓應力為： $\sigma_{\max} = \frac{M \cdot c}{I} = \frac{M}{S}$ 其中 $I$ 為斷面二次矩（慣性矩），$c$ 為中性軸至最外緣之距離，$S = \frac{I}{c}$ 定義為斷面模數（Section Modulus）。在相同材料與容許應力下，斷面抵抗彎矩的能力直接取決於斷面模數 $S$，因此「最強矩形斷面」即代表「斷面模數 $S$ 達最大值」之斷面。
2. 幾何約束條件（Geometric Constraint）：矩形內接於直徑為 $d$ 的圓形，由畢氏定理可知其幾何關係為： $b^2 + h^2 = d^2$
3. 極值求法（微積分應用）：將多變數目標函數藉由約束條件轉化為單變數函數，透過一階導數為零（$\frac{dS}{db} = 0$）求得極值，並由二階導數確認為最大值。

解題方法

(一) 求最強矩形斷面之最佳 $b$ 與 $h$ 值

1. 建立斷面模數目標函數： 矩形斷面對中性軸（水平軸）之斷面二次矩 $I$ 及斷面模數 $S$ 分別為： $I = \frac{b h^3}{12}, \quad c = \frac{h}{2}$ $S = \frac{I}{c} = \frac{\frac{1}{12} b h^3}{\frac{h}{2}} = \frac{1}{6} b h^2$

2. 代入幾何約束條件： 矩形內接於直徑 $d$ 之圓，滿足： $h^2 = d^2 - b^2$ 將 $h^2$ 代入斷面模數 $S$： $S(b) = \frac{1}{6} b (d^2 - b^2) = \frac{1}{6} (d^2 b - b^3)$

3. 求極值（最佳化）： 對 $b$ 微分並令一階導數為零： $\frac{dS}{db} = \frac{1}{6} (d^2 - 3b^2) = 0$ $3b^2 = d^2 \implies b = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} d$

驗證二階導數： $\frac{d^2 S}{db^2} = -b < 0 \quad (\text{因 } b > 0 \text{，確認為極大值})$

4. 求對應之高度 $h$： $h = \sqrt{d^2 - b^2} = \sqrt{d^2 - \frac{d^2}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} d = \frac{\sqrt{6}}{3} d$ （幾何關係：$h = \sqrt{2} b$）

5. 代入直徑 $d = 500\ \mathrm{mm}$ 計算數值： $b = \frac{500}{\sqrt{3}} \approx 288.68\ \mathrm{mm}$ $h = \frac{500\sqrt{6}}{3} \approx 408.25\ \mathrm{mm}$

(二) 撓曲應力比值與材料節省百分比

在承受相同設計彎矩 $M$ 之條件下：

1. 原圓形斷面之幾何性質與撓曲應力：

• 直徑 $d = 500\ \mathrm{mm}$
• 面積：$A_{\text{circle}} = \frac{\pi d^2}{4}$
• 斷面模數：$S_{\text{circle}} = \frac{\pi d^3}{32}$
• 撓曲應力：$\sigma_{\text{circle}} = \frac{M}{S_{\text{circle}}} = \frac{32 M}{\pi d^3}$

2. 最強矩形斷面之幾何性質與撓曲應力：

• 寬 $b = \frac{d}{\sqrt{3}}$，高 $h = \sqrt{\frac{2}{3}} d$
• 面積：$A_{\text{rect}} = b \cdot h = \left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right) \left(\sqrt{\frac{2}{3}} d\right) = \frac{\sqrt{2}}{3} d^2$
• 斷面模數：$S_{\text{rect}} = \frac{1}{6} b h^2 = \frac{1}{6} \left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{2}{3} d^2\right) = \frac{\sqrt{3}}{27} d^3 = \frac{d^3}{9\sqrt{3}}$
• 撓曲應力：$\sigma_{\text{rect}} = \frac{M}{S_{\text{rect}}} = \frac{9\sqrt{3} M}{d^3}$