109 高普考高考三級 土木工程 測量學 考古題詳解
第 一 題25 分
請試述偶然誤差和系統誤差的差異性，又儀器誤差、讀數誤差、縱角指標差、水準尺長誤差、瞄準誤差各可歸類為何種誤差？並請說明如何減低或消除偶然誤差或系統誤差對測量成果的影響。
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核心觀念
本題考查測量誤差的分類、各種誤差的性質，以及削弱誤差對測量成果影響的方法。測量觀測值可表示為：
依誤差的發生特性，主要分為偶然誤差與系統誤差：
- 偶然誤差：由許多微小、難以完全控制的因素造成，正負方向與大小不固定，單次觀測難以預測。觀測次數增加時，正負誤差通常互相抵消，觀測值的算術平均可作為較可靠的估值。
- 系統誤差：由固定或可辨識的原因造成，常依一定方向、規律或比例影響觀測值；例如每次都偏大、偏小，或隨觀測距離、時間而規律改變。增加相同條件下的觀測次數，不能自行消除系統誤差。
解題方法：判斷誤差性質
判斷各類誤差時，應看它是否具有穩定、規律的偏差來源，而不是只看它由人或儀器造成。具有固定偏差或可依規律改正者，歸為系統誤差；每次大小與方向不定者，歸為偶然誤差。
| 誤差種類 | 分類 | 判斷理由 |
|---|---|---|
| 儀器誤差 | 系統誤差為主 | 儀器校正不良、軸線關係不正確或零點偏差，會造成固定或規律偏差；儀器讀值的微小不穩定則可表現為偶然誤差。 |
| 讀數誤差 | 偶然誤差 | 人員估讀刻度時，受視覺判讀與注意力等影響，誤差方向與大小通常不固定。若讀數習慣持續偏大或偏小，則會帶入系統性偏差。 |
| 縱角指標差 | 系統誤差 | 垂直角指標未正確歸零，會使縱角觀測產生固定的指標偏差，可藉正倒鏡觀測或檢校改正。 |
| 水準尺長誤差 | 系統誤差 | 水準尺實際長度與標稱長度不符時，讀數會依尺長比例產生規律偏差；高程差觀測中前後視距相等，可使其影響互相抵消。 |
| 瞄準誤差 | 偶然誤差 | 照準目標時的細微偏差通常每次不一，方向與大小不固定；改善照準條件、重複觀測可降低其影響。 |
降低或消除誤差的方法
偶然誤差主要以提高觀測品質及增加觀測次數降低影響：
第 二 題25 分
克羅梭曲線（clothoid curve）上，某一點的曲率半徑 和從曲線起點（和直線段接壤處）到該點的曲線長 之乘積為一個常數 的平方，即 ，它常做為緩和曲線使用。
今一條公路（示意圖如下），在圓弧曲線 兩端各設置一條克羅梭曲線做為緩和曲線，兩條克羅梭曲線 和 的參數 分別為 公尺和 公尺， 點為其中一條克羅梭曲線的起點，其里程數為 ，而圓弧曲線的切線長 等於 公尺，圓弧曲線兩切線的交角 為 ， 為圓心， 和 為直線段，其中 點的里程數為 。
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
試求：
- 圓弧曲線半徑。
- 和 克羅梭曲線長度。
- 、、、 四點的里程數。
（註：所有長度計算至公分，公分以下四捨五入。）
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核心觀念
克羅梭曲線上，曲率半徑 與自起點量起的曲線長 滿足：
克羅梭曲線接上半徑為 的圓弧時，曲線終點的曲率半徑等於圓弧半徑，因此緩和曲線長度為：
圓弧兩端切線與交角 的幾何關係為：
其中 。圓弧長則為 ， 須以弧度表示。
解題方法
1. 求圓弧半徑
已知 公尺、：
取至公分：
2. 求兩段克羅梭曲線長度
的參數 公尺：
的參數 公尺：
3. 求各點里程數
T 點里程為 ，沿路線經過 。
P 點：
第 三 題25 分
如圖所示，、 為已知平面坐標的控制點。 點為欲測設的橋墩中心點，其設計的平面坐標已知。今以全測站儀由 、 兩點欲定出 點的平面位置，請從計算、施測方法等說明如何放樣 點？
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
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核心觀念
本題考查已知控制點與設計點的坐標放樣。先由已知坐標反算控制點至設計點的方位角與水平距離，再用全測站儀依方向、距離放出橋墩中心點。圖示水域位於控制點與 點之間，現場不宜用鋼尺量距，可用全測站儀跨越水面觀測。
題目未提供 、、 的實際坐標數值，因此以下以符號列出計算及施測流程。
解題方法與計算
設平面坐標以 表示， 為東坐標、 為北坐標。對任一控制點 （ 或 ），由坐標差計算至 的增量：
水平距離為：
以北方向為起算方向、順時針為正，方位角為：
計算後將方位角化為 至 ，並依坐標差所在象限判定方向。另由 、 坐標反算基線方位角 及基線長度 。在 站應轉的水平角為：
在 站以 為後視方向時，應轉的水平角為：
施測與放樣步驟
- 架設與定向：全測站儀架設於已知點 ，整平、定心後輸入 坐標；以已知點 為後視，輸入 坐標完成定向。
第 四 題25 分
何謂地形測量？並請從儀器設備和定位方法中論述 雷射掃描儀使用於地形測量的可行性。
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核心觀念
地形測量是以適當的測量儀器與方法，測定地表上地物、地貌的位置、形狀、大小及高程，再依規定比例尺與圖式製成地形圖，或建立數值地形模型（DTM），供工程規劃、設計與施工參考。地形測量的成果須同時呈現地物的平面位置與地貌的高低起伏；地貌常以等高線或數值高程資料表達。
本題考查兩個重點：一是地形測量的目的與成果，二是 3D 雷射掃描儀能否提供足以製圖或建模的三維位置資料。判斷可行性時，須分別說明儀器取得資料的能力，以及掃描點如何定位到測量基準座標系。
解題方法
先說明地形測量所要測定與呈現的內容，再從「儀器能否快速取得足夠的三維資料」及「點雲能否轉換至法定座標系」兩方面論述。掃描儀原始觀測通常以儀器為原點，須利用控制點或其他定位資訊進行座標轉換，才能形成可供地形測量使用的成果。
地形測量的定義與目的
地形測量係測定地表地物及地貌的平面位置與高程，並依比例尺及規定圖式繪製地形圖，或建立數值地形模型的作業。其主要內容包括：
- 地物：道路、建築物、河川、橋梁等自然或人工物的位置、形狀與範圍。
- 地貌：地表高低起伏與坡度變化，常以等高線或數值高程模型表示。
- 測量成果：地形圖、點位座標資料及 DTM 等，提供各項工程使用。
3D 雷射掃描儀用於地形測量的可行性
一、儀器設備與資料取得
3D 雷射掃描儀由雷射掃描及測距系統取得目標點資料；實際作業設備可搭配 GPS/GNSS、慣性導航系統（INS）及掃描載具，以支援掃描位置、姿態或航跡的測定。地面型掃描儀也可架設於測站，搭配控制點進行定位。
掃描儀向目標發射雷射，量得斜距與掃描角度，再計算目標點的三維座標。它可在短時間內取得大量且密集的點雲，記錄地表及地物的空間形狀，適合用於地形測量的資料蒐集與地形建模。
二、定位方法與座標轉換