112 高普考高考三級 航海技術 航海學 考古題詳解

核心觀念

1. 球面三角形的邊餘弦律（Law of Cosines for Sides） 設球面三角形之三頂點角為 $A, B, C$，其所對應的球心角（大圓弧長邊長）分別為 $a, b, c$。邊餘弦律為： $\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C$
2. 半正矢函數（Haversine Function）之定義 半正矢（Haversine）源自「Half Versed Sine」（半正矢），其數學定義為： $\text{hav}(\theta) = \frac{1 - \cos\theta}{2} = \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$ 由定義可得其與餘弦函數的互換關係： $\cos\theta = 1 - 2\text{hav}(\theta)$
3. 平面三角的兩角差之餘弦公式 $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
4. 航海學之大圓航海與天文三角形（PZX 三角形）應用 將一般球面三角公式代入航海座標（出發地與目的地之緯度 $L_1, L_2$、經度差 $\text{DLo}$、大圓距離 $D$），可直接計算兩點間的大圓弧長。

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解題方法

第一部分：直接推導半正矢公式（Haversine Formula）

1. 出發點：列出邊餘弦律 在任意球面三角形 $ABC$ 中，針對求邊 $c$ 列出邊餘弦律： $\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C$

2. 代換夾角 $C$ 的餘弦項 根據半正矢定義，$\cos C = 1 - 2\text{hav}(C)$，代入上式： $\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \left(1 - 2\text{hav}(C)\right)$ 展開右式： $\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b - 2\sin a \sin b \text{hav}(C)$

3. 利用差角公式合併前兩項 由平面三角恆等式 $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$，將前兩項替換： $\cos c = \cos(a - b) - 2\sin a \sin b \text{hav}(C)$

4. 代換兩邊長之餘弦項 $\cos c$ 與 $\cos(a - b)$ 再次利用餘弦與半正矢的代換關係：

• $\cos c = 1 - 2\text{hav}(c)$
• $\cos(a - b) = 1 - 2\text{hav}(a - b)$

將兩者代入方程式： $1 - 2\text{hav}(c) = 1 - 2\text{hav}(a - b) - 2\sin a \sin b \text{hav}(C)$

5. 移項化簡 兩邊消去 $1$： $-2\text{hav}(c) = -2\text{hav}(a - b) - 2\sin a \sin b \text{hav}(C)$ 同除以 $-2$，即得一般球面三角半正矢公式： $\text{hav}(c) = \text{hav}(a - b) + \sin a \sin b \text{hav}(C)$

6. 航海學座標代換（大圓距離計算型式） 在航海實務中，以天極（Pole）為頂角 $C = \text{DLo}$（兩船位經度差），兩邊長為出發點與目的地的餘緯（Co-latitude）：

• $a = 90^\circ - L_1$
• $b = 90^\circ - L_2$
• 則 $a - b = (90^\circ - L_1) - (90^\circ - L_2) = L_2 - L_1 = \text{DLat}$（緯度差）
• $\sin a = \sin(90^\circ - L_1) = \cos L_1$
• $\sin b = \sin(90^\circ - L_2) = \cos L_2$
• $c = D$（大圓距離，以角分或浬計）

代入後即得航海常用的大圓距離半正矢公式： $\text{hav}(D) = \text{hav}(\text{DLat}) + \cos L_1 \cos L_2 \text{hav}(\text{DLo})$

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第二部分：早期航海者喜用半正矢公式製表計算之原因

在電子計算機尚未發明的時代，航海者進行大圓航法或天文定位計算高度時，皆依賴紙本對數表（Logarithmic Tables）進行人手查表。早期航海者廣泛採用半正矢公式製表計算（如編制 Natural and Logarithmic Haversine Tables），主要基於以下四大優勢：

1. 數值恆為非負數（$0 \le \text{hav}\theta \le 1$），免除負號與對數計算困擾

核心觀念

本題涵蓋航海天文學與航海計算的核心概念，主要考查以下四大要素：

1. 緯度航法與經度差（DLo）轉換： 船舶在特定緯度沿正東或正西（航向 $090^\circ$ 或 $270^\circ$）航行時，其東西距（Departure, $p$）與經度差（Difference of Longitude, $\text{DLo}$）之幾何關係為： $p = \text{DLo} \times \cos L \iff \text{DLo} = \frac{p}{\cos L}$
2. 天體追及之相對運動（Relative Motion）： 地球自西向東自轉，使天體看似自東向西運行（太陽每小時之視運動率約為 $15^\circ$）。當船舶向西航行時，其自身之天子午線亦向西移動，兩者同向運行，太陽由東向西追趕船舶之天子午線，相對角速度等於兩者角速度之差： $\omega_{\text{rel}} = \omega_{\odot} - \omega_{\text{ship}}$
3. 地方時角（LHA）與格林威治時角（GHA）之關係： $\text{LHA} = \text{GHA} \pm \lambda \quad (\text{東經 } \lambda_{\text{E}} \text{ 取 } + \text{，西經 } \lambda_{\text{W}} \text{ 取 } -)$ 當太陽抵達船舶當地天子午線（上中天，即當地視正午 LAN）時，其地方時角 $\text{LHA} = 0^\circ$（或 $360^\circ$）。
4. 航海曆之內插增量與時差（Equation of Time, EqT）：

• 太陽 GHA 隨時間之平均變化率為每小時 $15^\circ$（每分鐘 $15'$、每秒 $0.25'$），其增量（Increment）可按時間比例線性內插。
• 時差為「視時（Apparent Time, AT）」與「平時（Mean Time, MT）」之差值。平太陽（Mean Sun）在天赤道上等速運行，午夜（GMT 00-00-00）其 GHA 為 $180^\circ$、正午（GMT 12-00-00）其 GHA 為 $0^\circ$（或 $360^\circ$），即平太陽之時角為： $\text{GHA}_{\text{mean}} = \text{GMT} \times 15^\circ/\text{hr} \pm 180^\circ$ 藉由比較真太陽（視太陽）之 $\text{GHA}_{\text{app}}$ 與平太陽之 $\text{GHA}_{\text{mean}}$，即可求得出時差。

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解題方法

（一）太陽追上航行中船舶天子午線之時間推導

步驟 1：求船舶向西航行之經度變化率（船舶天子午線移動角速度）

• 船舶緯度 $L = 60^\circ\text{ S}$，航向 $270^\circ$（正西），航速 $12\text{ 節}$（即每小時航行 $12\text{ 浬}$）。
• 每小時之東西距 $p = 12\text{ nmi}$。
• 依緯度航法計算船舶每小時之經度差變化率： $\text{DLo} = \frac{p}{\cos L} = \frac{12'}{\cos 60^\circ} = \frac{12'}{0.5} = 24'/\text{hr} = 0.4^\circ/\text{hr}$
• 船舶向西航行，故其當地天子午線以每小時 $0.4^\circ$ 的速度向西移動： $\omega_{\text{ship}} = 0.4^\circ/\text{hr}$

步驟 2：求太陽追趕船舶天子午線之相對角速度

• 太陽之周日視運動自東向西運行，每小時變化率為： $\omega_{\odot} = 15^\circ/\text{hr}$
• 船舶天子午線同向向西移動，兩者同向，太陽相對船舶天子午線之相對角速度為： $\omega_{\text{rel}} = \omega_{\odot} - \omega_{\text{ship}} = 15^\circ/\text{hr} - 0.4^\circ/\text{hr} = 14.6^\circ/\text{hr}$

步驟 3：求太陽追上天子午線所需跨越的角距離

• 船舶推測位置經度 $\lambda = 120^\circ\text{ E}$，太陽當前 $\text{GHA} = 094^\circ$。
• 太陽目前在船舶當地的時角（LHA）： $\text{LHA} = \text{GHA} + \lambda_{\text{E}} = 094^\circ + 120^\circ = 214^\circ$
• 太陽追上當地天子午線上中天時，$\text{LHA} = 360^\circ$（或 $0^\circ$）。
• 太陽尚需運行的角距離 $\Delta\theta$ 為： $\Delta\theta = 360^\circ - \text{LHA} = 360^\circ - 214^\circ = 146^\circ$ (亦可由 GHA 觀點分析：東經 $120^\circ$ 之天子午線上中天對應之格林威治時角 $\text{GHA}_M = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$，太陽自 $094^\circ$ 追至 $240^\circ$，距離為 $240^\circ - 094^\circ = 146^\circ$)。

步驟 4：計算所需時間

• 所需追及時間 $t$ 為： $t = \frac{\Delta\theta}{\omega_{\text{rel}}} = \frac{146^\circ}{14.6^\circ/\text{hr}} = 10\text{ 小時}$

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（二）GMT 10-31-56 太陽 GHA 及時差計算

步驟 1：計算 GMT 10-31-56 太陽之 GHA

• 基準時間：GMT 10-00-00，$\text{GHA}_{\odot} = 328^\circ 56.1'$。
• 歷經時間：$\Delta t = 31\text{ 分 } 56\text{ 秒}$。
• 太陽時角每小時增加 $15^\circ$ 之內插增量（Increment）：
• 31 分鐘之增量：$31 \times 15' = 465' = 7^\circ 45.0'$

核心觀念

本題以我國「彰化風場航道」（性質上為依分道通航原理劃設之法定航道與分道通航制 TSS）為實務場景，全面考驗考生對《1972 年國際海上避碰規則》（COLREG 1972，本題以命題當年民國 112 年法規為準）的綜合整合與條文連動能力。核心觀念涵蓋以下四項主要規定：

1. 分道通航制之通航巷道航行義務（第 10 條 b 款）：包含航向順向、避離分隔帶、進出巷道之夾角限制等。
2. 規則適用優先順序（第 10 條 a 款）：分道通航制之規定並不免除任何船舶遵守其他任何條款（包含互見避碰規則）的責任。
3. 互見中之追越責任（第 13 條、第 16 條、第 17 條）：追越船負有絕對讓路責任，直至「完全駛過讓清」為止；被追越船負有保向保速之義務，並保有在緊迫情勢下的操縱權限與義務。
4. 操縱與警告音響信號（第 34 條 a、c、d 款）：互見中改變航向之操縱聲號、狹窄水道／航道內追越之意向與同意聲號，以及對他方意圖存疑時之警告聲號。

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解題方法

本題為標準的航海學申論題，答題關鍵在於**「定性情勢 $\rightarrow$ 引據條號 $\rightarrow$ 列出要件」**：

1. 子題（一）切入點：專注於第 10 條 (b) 款「使用通航巷道之船舶（A vessel using a traffic lane shall...）」，將規範分條列舉，並補充巷道內禁止錨泊與避碰通則，展示完整法規素養。
2. 子題（二）切入點：先打破「在 TSS 內是否改變避碰責任」之迷思。引述第 10 條 (a) 款破題，指明本情勢仍應完全適用第 13 條（追越）；接著分別剖析「追越船（讓路船）」之義務（第 13、16 條）及「被追越船（直航船）」之義務與處置（第 17 條）。
3. 子題（三）切入點：聲號題最忌漏網。實務上在航道內追越可能涉及「自由轉向超車」或「需被追越船協調配合」。作答時應同時涵蓋：(1) 第 34 條 (a) 款之轉向操縱聲號、(2) 第 34 條 (c) 款之航道追越專用聲號與同意回覆、(3) 第 34 條 (d) 款之疑問與警告聲號（至少五短聲），以確保獲取滿分。

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申論破題與配分剖析

本題非選擇題，無選項分析，各子題之評分重點與得分架構如下：

（一）船舶航行於航行巷道內應注意之事項（配分 8 分）

評分標準在於條文準確度，應精準依據 COLREG 第 10 條 (b) 款及相關規定列出五大重點：

1. 順向航行：應在相應之通航巷道內，沿該巷道之一般船舶通航方向航行（Rule 10(b)(i)）。
2. 遠離分隔界線：在安全可行範圍內，儘可能避開分道通航線或分道通航區（Rule 10(b)(ii)）。
3. 進出巷道之夾角：通常應在通航巷道之端點進入或駛出；若由巷道之兩側進出，應與一般通航方向形成儘可能小之夾角駛入或駛出（Rule 10(b)(iii)）。
4. 避免橫越與垂直穿行：航行巷道內之船舶應儘可能避免橫越通航巷道；如因任務或避難必須橫越，其航向應儘可能與一般通航方向成直角（$90^\circ$）橫越（Rule 10(c)）。
5. 避免錨泊與妨礙安全：在航行巷道內及其端點附近，應儘量避免錨泊（Rule 10(h)）；不使用通航巷道之船舶應儘可能遠離該區（Rule 10(d)）。

（二）兩船應採取的避碰措施（配分 8 分）

評分標準在於釐清「TSS 與追越的競合關係」以及「讓路船 vs. 直航船」的具體行為：

1. 法規適用原則：

• 依第 10 條 (a) 款規定，分道通航制之規定並未免除任何船舶遵守其他任何條款之義務。兩船互見形成追越，應嚴格適用第 13 條（追越）、第 16 條（讓路船行動）與第 17 條（直航船行動）。

2. 追越船（讓路船）之避碰措施：

• 負絕對讓路責任：依第 13 條 (a) 款，任何追越他船之船舶，應避開被追越船之航道（Keep out of the way）。
• 及早且大幅度行動：依第 16 條，追越船應儘早採取積極果斷之避碰操縱（如適當變向或減速），保持足夠安全距離通過。在航行巷道內轉向時，應注意不得過度偏離而跨越中央分隔區或侵入對向車道。
• 義務之延續性：依第 13 條 (d) 款，方位隨後之任何改變，均不得免除追越船之讓路義務，直至其「最終駛過並完全讓清（Finally past and clear）」為止。

3. 被追越船（直航船）之避碰措施：

• 保向保速：依第 17 條 (a)(i) 款，在追越船採取避碰措施之過程中，被追越船原則上應「保持航向與航速」。
• 協助操縱權限：依第 17 條 (a)(ii) 款，若發現追越船未採取適當避碰作為，被追越船得單獨採取操縱行動以協助避碰。
• 最後緊急避碰義務：依第 17 條 (b) 款，若情勢演變為兩船逼近至單憑讓路船（追越船）之行動已無法避免碰撞時，被追越船應立即採取最能有助於避免碰撞之行動。

（三）兩船在採取避碰措施時應鳴放之音響信號（配分 9 分）

音響信號之標準包含「短聲（Short blast，約 1 秒）」與「長聲（Prolonged blast，4 至 6 秒）」。依據第 34 條，應分類完整列出：

1. 轉向避讓時之操縱聲號（第 34 條 a 款）： 互見中動力船舶依規則改變航向操縱時，應以號笛鳴放：

核心觀念

本題評量航海天文學（Nautical Astronomy）中「天球坐標系統」、「天體周日視運動（Diurnal Motion）」以及「導航天文三角形（PZX 三角形）」的基礎幾何與三角推導。核心依據包含：

1. 基本坐標與圈線定義：

• 測者子午圈（Celestial Meridian）：通過天頂（$Z$）、天底（$Na$）及天極（$P$）的大圓。
• 真地平（Rational Horizon）：以天頂與天底為極的大圓，其交測者子午圈於正北（$N$）與正南（$S$）。
• 卯酉圈（Prime Vertical Circle, PV）：通過天頂（$Z$）且垂直於測者子午圈的大圓，交真地平於正東（$E$）與正西（$W$）。天體位於卯酉圈時，其方位角 $Z = 90^\circ$（真方位 $Zn = 090^\circ$ 或 $270^\circ$）。
• 天赤道（Celestial Equator, $Q\text{-}Q'$）：以天極為極的大圓，垂直於天軸（$P\text{-}P'$）。

2. 基本幾何要素：

• 測者緯度為 $L$（北緯為正，南緯為負；天極高度等於測者緯度，即弧 $NP = L$）。
• 天體赤緯為 $d$（或稱 $Dec$，北赤緯為正，南赤緯為負）。
• 天體高度為 $h$（地平上為正，出沒地平瞬時 $h = 0^\circ$）。
• 極距 $p = 90^\circ - d$；餘緯度 $co\text{-}L = 90^\circ - L$；餘高度（天頂距）$z = 90^\circ - h$。

3. 導航天文三角形（$\triangle PZX$）球面三角公式：

• 球面三角餘弦定律（Cosine Formula for sides）： $\sin d = \sin L \sin h + \cos L \cos h \cos Z$
• 奈氏定則（Napier's Rules）應用於直角球面三角形。

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解題方法與推導

在考卷作答上，建議統一以「北半球測者（$L > 0$）之子午圈平面投影圖（由東向西看天球）」或「天球立體透視圖」作為標準示意圖輔助推導。

 天頂 Z
 │
 Q │ P (北天極)
 \ │ /
 \ │ /
W(西) ───┼─── E(東) [地平線投影軸]
S(南) │ N(北)
 │
 天底 Na
註：天赤道面 Q-Q' 與天極軸 P-P' 垂直；天極 P 距地平高度為 L。

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（一）天體由正東升起而正西沒下之條件（7分）

1. 幾何繪圖與物理意義 天體出沒地平時，其真高度 $h = 0^\circ$。正東升起之真方位 $Zn = 090^\circ$，正西沒下之真方位 $Zn = 270^\circ$，即出沒時天體恰位於卯酉圈與真地平的交點（$E$ 點與 $W$ 點）。

2. 數學推導 在天文三角形 $\triangle PZX$ 中，依球面三角邊之餘弦定律： $\sin d = \sin L \sin h + \cos L \cos h \cos Z$

當天體升起與沒下時，高度 $h = 0^\circ$： $\sin h = \sin 0^\circ = 0, \quad \cos h = \cos 0^\circ = 1$ 代入上式得： $\sin d = \sin L \cdot 0 + \cos L \cdot 1 \cdot \cos Z = \cos L \cos Z$

天體由正東升起、正西沒下時，其方位角 $Z = 90^\circ$： $\cos Z = \cos 90^\circ = 0$ 因此： $\sin d = \cos L \times 0 = 0 \implies d = 0^\circ$

幾何驗證： 天赤道（$d = 0^\circ$）為天球大圓，天赤道面與測者真地平面之交線即為天球的正東點（$E$）與正西點（$W$）。天體的日周視運動圈平行於天赤道，當赤緯 $d = 0^\circ$ 時，其運動軌跡恰與天赤道重合，必自真地平之正東點升起、正西點落下（測者緯度 $|L| \neq 90^\circ$ 時皆成立）。

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（二）天體過卯酉圈（Prime Vertical Circle）且可見之條件（8分）

1. 幾何繪圖與物理意義 卯酉圈為過天頂 $Z$ 與正東 $E$、正西 $W$ 之大圓。天體過卯酉圈時，其方位角 $Z = 90^\circ$。「可見」的物理意義為：天體過卯酉圈時必須位於測者真地平線之上，即高度 $h > 0^\circ$。

 天頂 Z
 / │
 (M:天體) / │ 卯酉圈 (Z=90°)
 M │
 / │
 / │
──────E─────────O─────────W (地平線)

2. 數學推導 當天體位於卯酉圈時，$Z = 90^\circ$，此時導航天文三角形 $\triangle PZX$ 為直角球面三角形（直角在頂點 $Z$）。 依球面三角餘弦定律： $\sin d = \sin L \sin h + \cos L \cos h \cos Z$ 因為 $Z = 90^\circ \implies \cos Z = 0$，公式簡化為： $\sin d = \sin L \sin h$ 解出高度正弦值： $\sin h = \frac{\sin d}{\sin L}$

3. 條件分析 天體要「在地平線上可見」，其高度必須滿足 $0^\circ < h \le 90^\circ$，亦即： $0 < \sin h \le 1$

• 同名條件： $\sin h = \frac{\sin d}{\sin L} > 0$ 因為分式值必須大於 0，故 $\sin d$ 與 $\sin L$ 必須正負號一致。 $\implies$ 天體赤緯（$d$）必須與測者緯度（$L$）同名（Same Name）。若一北一南（異名），則 $\sin h < 0$，天體僅能在地平線下過卯酉圈，肉眼不可見。
• 大小限制條件：