107 高普考高考三級 測量製圖 測量平差法（包括誤差理論及實務） 考古題詳解

核心觀念

本題旨在考驗考生對「非線性平差線性化模型」、「法方程式（Normal Equations）之數值特性」以及「非線性迭代收斂判據（Convergence Criteria）」的理解。

1. 法矩陣之正定性與結構特性 在間接觀測平差（參數平差法）中，法方程式表示為： $N\Delta = t$ 其中，法矩陣為 $N = A^T P A$。若幾何模型無秩虧（即滿秩，$\text{rank}(A) = u$），且各獨立觀測量之權均為正（權矩陣 $P$ 為對稱正定矩陣），則法矩陣 $N$ 必具備以下性質：

• 對稱性（Symmetry）：$N^T = (A^T P A)^T = A^T P A = N$。
• 正定性（Positive Definiteness）：對任意非零向量 $x$，滿足 $x^T N x = (Ax)^T P (Ax) > 0$。
• 主對角線元素必為正值： $n_{ii} = \sum_{k=1}^{n} a_{ki}^2 P_k > 0$
• 各階主子式與行列式必為正值：$\det(N) > 0$。

2. 非線性平差之迭代收斂性 非線性觀測方程式經泰勒級數展開線性化後，以高斯－牛頓法（Gauss-Newton Method）逐次迭代求解參數更正量 $\Delta^{(k)} = (N^{(k)})^{-1} t^{(k)}$，並更新參數值 $\hat{X}^{(k+1)} = \hat{X}^{(k)} + \Delta^{(k)}$。 當平差計算達成「收斂」時：

• 參數更正量向量 $\Delta$ 應極小化，滿足收斂容許門檻（如 $\|\Delta\| \le \epsilon$）。
• 右端常數項向量 $t = A^T P l$（其中 $l$ 為觀測量常數向量）亦必趨近於微小量（$t \approx 0$），代表目標函數之梯度趨近於零。

解題方法

判斷數值成果是否合理，應從以下兩大物理與數值檢驗切入：

1. 法矩陣 $N$ 的數學檢驗：檢驗矩陣是否滿足對稱性、正定性（檢查對角線元素符號與行列式）。
2. 收斂狀態的量級檢驗：檢驗更正量向量 $\Delta$ 與常數項向量 $t$ 是否符合收斂終止時的數值特徵（量級應趨近於微小容差）。

選項分析

• (A) 明顯不合理 給定法矩陣： $N = \begin{bmatrix} 2.05 & -1.08 \\ -1.08 & -5.23 \end{bmatrix}$
• 主對角線元素出現負值：矩陣之 $n_{22} = -5.23 < 0$。

核心觀念

本題的核心在於「非線性函數之線性化」以及「一般共變方傳播定律（誤差傳播定律）」。主要涵蓋以下定義與公式：

1. 先驗共變方矩陣（協方差矩陣）之建構： 已知標準差 $\sigma_{x_1}, \sigma_{x_2}$ 與相關係數 $\rho_{x_1x_2}$，變異數為 $\sigma^2$，共變異數（Covariance）定義為： $\sigma_{x_1x_2} = \rho_{x_1x_2} \sigma_{x_1} \sigma_{x_2}$ 自變數向量 $x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}^T$ 之共變方矩陣為： $\Sigma_{xx} = \begin{bmatrix} \sigma_{x_1}^2 & \sigma_{x_1x_2} \\ \sigma_{x_1x_2} & \sigma_{x_2}^2 \end{bmatrix}$

2. 非線性函數線性化與雅可比矩陣（Jacobian Matrix, $J$）： 在指定點 $(x_1, x_2)$ 展開泰勒級數並取一階截斷，導出偏微分係數矩陣： $J = \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} \end{bmatrix}$

3. 共變方傳播定律：

• 應變數向量 $y = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 \end{bmatrix}^T$ 與自變數向量 $x$ 之互共變方矩陣： $\Sigma_{yx} = J \Sigma_{xx}$ 其中第一列即為 $y_1$ 與 $x$ 之間的互共變方矩陣 $\Sigma_{y_1x}$。
• 應變數向量 $y$ 之共變方矩陣： $\Sigma_{yy} = J \Sigma_{xx} J^T = \Sigma_{yx} J^T$

解題方法

步驟一：求自變數之共變方矩陣 $\Sigma_{xx}$

由題意已知：

• $\sigma_{x_1} = \pm 2 \implies \sigma_{x_1}^2 = 2^2 = 4$
• $\sigma_{x_2} = \pm 1 \implies \sigma_{x_2}^2 = 1^2 = 1$
• $\rho_{x_1x_2} = 0.6 \implies \sigma_{x_1x_2} = 0.6 \times 2 \times 1 = 1.2$

代入矩陣： $\Sigma_{xx} = \begin{bmatrix} 4 & 1.2 \\ 1.2 & 1 \end{bmatrix}$

步驟二：函數化簡並計算雅可比矩陣 $J$

將 $y_1$ 與 $y_2$ 表示為 $x_1, x_2$ 的顯函數： $y_1 = 4x_1^2 + 2x_2 - 9$ $y_2 = 2y_1 + 3x_1 - 5x_2 = 2(4x_1^2 + 2x_2 - 9) + 3x_1 - 5x_2 = 8x_1^2 + 3x_1 - x_2 - 18$

在給定參數值 $x_1 = 3, x_2 = 1$ 處求一階偏微分：

1. 對 $y_1$ 偏微分： $\frac{\partial y_1}{\partial x_1} = 8x_1 = 8(3) = 24$ $\frac{\partial y_1}{\partial x_2} = 2$
2. 對 $y_2$ 偏微分： $\frac{\partial y_2}{\partial x_1} = 16x_1 + 3 = 16(3) + 3 = 51$ $\frac{\partial y_2}{\partial x_2} = -1$

建立雅可比矩陣 $J$： $J = \begin{bmatrix} 24 & 2 \\ 51 & -1 \end{bmatrix}$

步驟三：計算互共變方矩陣 $\Sigma_{yx}$ 與 $\Sigma_{y_1x}$

根據共變方傳播公式計算 $\Sigma_{yx}$： $\Sigma_{yx} = J \Sigma_{xx} = \begin{bmatrix} 24 & 2 \\ 51 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1.2 \\ 1.2 & 1 \end{bmatrix}$

核心觀念

本題測驗平差理論中之基本要素分析，涵蓋水準網的必要觀測數、多餘觀測數（自由度），以及兩種古典平差模型（條件平差法與間接觀測平差法）中獨立方程式數量的判定原則。

1. 基本計數定義：

• 總觀測數（$n$）：網絡中測得之獨立觀測值總數。
• 點位總數（$P$）與基準點數（$P_k$）：決定全網幾何架構之點數。
• 待定點高程數（未知數個數 $u$）：$u = P - P_k$。
• 必要觀測數（$n_0$）：唯一確定所有待定點高程所需的最小獨立觀測量數，在連通水準網中 $n_0 = u$。

2. 自由度（多餘觀測數 $r$）： $r = n - n_0 = n - u$

3. 平差模型之獨立方程式數量原則：

• 條件平差法（Condition Adjustment）：觀測值必須滿足的幾何閉合幾何條件，方程式中不含未知參數。獨立條件方程式之數量等於自由度 $r$。
• 間接觀測平差法（Indirect Adjustment / Parameter Adjustment）：將每一獨立觀測值表達為選定未知參數之函數。獨立觀測方程式之數量等於觀測值總數 $n$。

解題方法

步驟一：計算必要觀測數與未知參數個數

1. 水準網總點位數 $P = 9$。
2. 已知高程點位數 $P_k = 1$（提供網形高程基準，消除高程平移自由度）。
3. 待求之未知點高程個數 $u$ 為： $u = P - P_k = 9 - 1 = 8$
4. 水準網只要連通，決定這 $8$ 個待定點高程所需之最少獨立高程差觀測數即為必要觀測數： $n_0 = u = 8$

步驟二：計算測量之自由度（多餘觀測數）

題目給定獨立高程差觀測值數 $n = 15$。依自由度定義： $r = n - n_0 = 15 - 8 = 7$ 因此，本測量之自由度為 $7$。

步驟三：判別獨立條件平差觀測方程式數量

• 在條件平差模型中，條件方程式係描述觀測值之間應滿足的幾何制約（如環線高差閉合差應為零、兩已知點間路線高差閉合差應為已知差值）。
• 每一條多餘觀測皆能構成一個相互獨立的幾何閉合環或路線條件。
• 獨立條件方程式之個數嚴格等於自由度 $r$：

核心觀念

本題所給定之數學方程式為： $Bv + A\Delta = f$ 此模型在測量平差中稱為綜合平差法（Gauss-Helmert 模型，亦稱含有未知數的條件觀測平差法）。

解題所涉及的核心理論與公式包含：

1. 最小二乘法準則（Least Squares Principle）： 在觀測量權係數矩陣為 $Q$（權矩陣 $P = Q^{-1}$）條件下，目標函數為二次型極小化： $\Phi = v^T P v = v^T Q^{-1} v \to \min$
2. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）： 引入聯繫數（Lagrange Multipliers）向量 $k$，藉由求偏導建立法方程式以求解平差參數。
3. 方差－共變方傳播定律（Variance-Covariance Propagation Law）： 未知參數之權係數矩陣 $Q_{\Delta\Delta}$ 可由線性函數之權係數傳播定律推得；平差後未知參數的協方差矩陣（Covariance Matrix）為 $\Sigma_{\Delta\Delta} = \sigma_0^2 Q_{\Delta\Delta}$。

解題方法

步驟一：定義變數維度與符號

設觀測量個數為 $n$、條件方程式個數為 $c$、獨立未知參數個數為 $u$：

• $v$：殘差向量，維度為 $n \times 1$
• $\Delta$：未知參數改正數向量，維度為 $u \times 1$
• $B$：觀測量係數矩陣，維度為 $c \times n$
• $A$：未知數係數矩陣，維度為 $c \times u$（要求 $\text{rank}(A) = u$）
• $f$：閉合差（常數）向量，維度為 $c \times 1$
• $Q$：觀測量權係數矩陣，維度為 $n \times n$（對稱正定，$P = Q^{-1}$）

步驟二：建立極值條件式與求解未知參數 $\Delta$

構造拉格朗日函數： $\Phi(v, \Delta, k) = v^T P v - 2k^T (Bv + A\Delta - f)$ 其中 $k$ 為 $c \times 1$ 的聯繫數向量。對各變數求偏導數並令其為零：

1. $\frac{1}{2} \frac{\partial \Phi}{\partial v} = P v - B^T k = 0 \implies v = P^{-1} B^T k = Q B^T k$
2. $\frac{1}{2} \frac{\partial \Phi}{\partial \Delta} = -A^T k = 0 \implies A^T k = 0$
3. $\frac{1}{2} \frac{\partial \Phi}{\partial k} = -(Bv + A\Delta - f) = 0 \implies Bv + A\Delta = f$

將 $v = Q B^T k$ 代入條件方程式： $B(Q B^T k) + A\Delta = f \implies (B Q B^T) k + A\Delta = f$

令等效權係數矩陣 $M = B Q B^T$（$M$ 為 $c \times c$ 對稱正定矩陣），則： $M k + A\Delta = f \implies k = M^{-1}(f - A\Delta)$

將 $k$ 代入 $A^T k = 0$： $A^T M^{-1} (f - A\Delta) = 0$ $(A^T M^{-1} A) \Delta = A^T M^{-1} f$

令法方程式係數矩陣 $N = A^T M^{-1} A = A^T (B Q B^T)^{-1} A$（$N$ 為 $u \times u$ 對稱正定矩陣），解得未知參數： $\Delta = N^{-1} A^T M^{-1} f = \left[ A^T (B Q B^T)^{-1} A \right]^{-1} A^T (B Q B^T)^{-1} f$

步驟三：推導未知參數之權係數矩陣 $Q_{\Delta\Delta}$

在綜合平差模型中，閉合差向量 $f$ 為觀測量之線性函數，其權係數矩陣為： $Q_{ff} = B Q B^T = M$

將 $\Delta$ 表示為 $f$ 之線性組合： $\Delta = J f$ 其中轉換矩陣 $J = N^{-1} A^T M^{-1}$。