107 高普考高考三級 測量製圖 航空測量學與遙感探測 考古題詳解

核心觀念

本題為「航空測量學與遙感探測」中雷達（主動式微波遙測 / SAR）的經典核心題型，主要考查兩大主軸：

1. 微波散射物理機制：背向散射（Backscatter）與雷達截面積（Radar Cross Section, RCS, $\sigma$）、背向散射係數（$\sigma^0$）的定義，以及雷達方程式（Radar Equation）如何將地表散射能量轉換為雷達影像的強度（Intensity / Digital Number, DN）。
2. 地形幾何與輻射調變效應：地形起伏（坡度 Slope、坡向 Aspect）如何改變局部入射角（Local Incidence Angle, $\theta_{loc}$）、地面散射單元投影面積，進而引發前縮（Foreshortening）、伏臥（Layover）、雷達陰影（Shadow）等幾何畸變，並顯著左右影像的亮暗強度。

相關核心公式包括：

• 雷達方程式（Radar Equation）： $P_r = \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4}$ 其中 $P_r$ 為接收功率、$P_t$ 為發射功率、$G$ 為天線增益、$\lambda$ 為波長、$R$ 為斜距（Slant Range）、$\sigma$ 為目標之雷達散射截面積。
• 局部入射角（Local Incidence Angle, $\theta_{loc}$）： 地表法向量 $\mathbf{n}$ 與雷達視線向量（Look Vector）反方向 $\mathbf{s}$ 之間的夾角： $\cos\theta_{loc} = \mathbf{n} \cdot \mathbf{s}$ 在簡化的一維坡面情況下（迎雷達坡面）：$\theta_{loc} = \theta - \alpha$（$\theta$ 為視角 / 標稱入射角，$\alpha$ 為坡度）。

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解題方法

本題為申論題，作答結構應分成「背向散射與雷達成像機制」與「地形對影像強度之具體影響」兩部分，條理清晰地由物理定義推導至影像成像特徵：

1. 第一部分（背向散射與成像關係）：

• 闡明主動式微波遙測原理：感測器發射微波並接收地表反射之回波。
• 嚴格定義「背向散射」：散射電磁波中，僅沿入射路徑「反向散射回雷達天線」的分量。
• 說明能量轉換機制：透過雷達方程式，將接收到的回波功率 $P_r$ 轉換為像元的振幅（Amplitude）、強度（Intensity, $I \propto A^2$）與數位值（DN）。
• 歸納影響背向散射強弱的物理特性（粗糙度、介電常數、結構幾何）。

2. 第二部分（地形對強度的影響）：

• 輻射效應（局部入射角調變）：迎坡面與背坡面的局部入射角差異如何大幅改變散射強度。
• 幾何壓縮效應（有效散射面積變化）：前縮（Foreshortening）與伏臥（Layover）如何將大面積地表的散射能量壓縮至少數甚至單一距離像元中，形成異常高亮帶。
• 遮蔽效應（雷達陰影）：當背坡坡度大於雷達仰角時，微波無法照射，訊號中斷形成全黑（No Signal）區域。

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選項分析

本題為申論題，非選擇題，無選項分析。作答時應以具體分項、圖解思維與精準專有名詞呈現標準完整答案。

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【答案】

一、背向散射（Backscatter）與雷達成像之關係

(一) 背向散射之物理定義 主動式微波遙測系統（如合成孔徑雷達，SAR）朝地表發射微波脈衝訊號，當電磁波與地表介質相互作用時，會產生穿透、吸收與散射現象。在全方位散射的電磁波中，恰好沿著原入射路徑反方向散射回雷達接收天線的微波能量，稱為「背向散射」（Backscatter）。在定量遙測中，常以單位地面面積的雷達微波散射截面積表示，稱為微分背向散射係數（Differential Backscattering Coefficient，記為 $\sigma^0$ 或 Sigma-0，單位為 $m^2/m^2$ 或以分貝 $dB$ 表示）。

(二) 背向散射與像元強度的轉換機制

1. 雷達方程式決定接收功率：雷達天線接收到的回波功率 $P_r$ 遵循雷達方程式： $P_r = \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4}$ 由此可知，在雷達系統參數（$P_t, G, \lambda$）與距離（$R$）確定時，接收回波功率大小完全取決於目標物的雷達散射截面積 $\sigma$（即背向散射能量總量）。
2. 影像強度與灰階呈現：雷達系統將接收到的回波訊號經解調、合成孔徑處理與聚焦後，轉換為二維像元矩陣。像元的數值（Digital Number, DN）與背向散射強度（Intensity, $I$）成正比：

核心觀念

本題旨在評量考生對於現代空間資訊技術中兩大三維空間資料獲取主流——光達技術（LiDAR）​與影像密集匹配技術（Dense Image Matching, DIM / SfM-MVS）​之學理基礎、工作流程與成果特性的綜合比較能力。

涉及的核心觀念與理論包括：

1. 主動式遙測 vs. 被動式遙測：

• 光達屬於主動式感測，利用測距儀主動發射雷射脈衝（波長多為近紅外光 $1064\text{ nm}$ 或 $1550\text{ nm}$，測深則用綠光 $532\text{ nm}$），依據飛行時間（Time-of-Flight, $\text{ToF}$）原理直接獲取測距值 $R$： $R = \frac{c \cdot \Delta t}{2}$ （$c$ 為光速，$\Delta t$ 為雷射脈衝往返時間），並結合航姿儀（IMU）與衛星定位（GNSS）進行直接地理定位（Direct Georeferencing, DG）。
• 影像技術屬於被動式感測，接收太陽輻射之地表反射光，利用中心投影幾何原理與共線條件式（Collinearity Equation）： $x - x_0 = -f \frac{m_{11}(X-X_L) + m_{12}(Y-Y_L) + m_{13}(Z-Z_L)}{m_{31}(X-X_L) + m_{32}(Y-Y_L) + m_{33}(Z-Z_L)}$ $y - y_0 = -f \frac{m_{21}(X-X_L) + m_{22}(Y-Y_L) + m_{23}(Z-Z_L)}{m_{31}(X-X_L) + m_{32}(Y-Y_L) + m_{33}(Z-Z_L)}$ 透過多視角幾何交會（Multi-View Forward Intersection）計算地表三維坐標。

2. 多視角立體重建（SfM-MVS）與密集匹配演算法：

• 運動恢復結構（Structure from Motion, SfM）進行相機自校正與外方位求解。
• 半全域匹配（Semi-Global Matching, SGM）或面元多視角立體（Patch-based MVS, PMVS）等像素級比對演算法。

3. 誤差傳播與點雲品質指標：

• 點位幾何精度（平面精度 $\sigma_{XY}$、高程精度 $\sigma_Z$）、點雲密度（Point Density）、穿透性（Penetration）、多重回波特性（Multiple Returns）及邊緣保真度。

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解題方法

本題為標準的「比較申論題」，破題關鍵在於維度切割必須精準對應題目的三大要求：方法、程序、點雲品質，切忌混為一談。

解題切入架構：

1. 方法比較（原理層面）：從能量來源（主動 vs. 被動）、幾何測繪模型（極坐標測距空間交會 vs. 多視角光線共線交會）、定位基準依賴性（直接定位 vs. 間接平差定位）切入。
2. 程序比較（作業層面）：依「外業航攝規劃 $\to$ 資料前處理與定向 $\to$ 點雲解算生成 $\to$ 後處理與分類」四個標準工序對比兩者作業差異。
3. 品質比較（成果層面）：自「幾何精度與誤差分布」、「點雲密度與均勻度」、「植被穿透與林下地形獲取能力」、「弱紋理與反光區域之適應力」、「紋理與光譜屬性資訊」等維度作深層解析。
4. 綜合評比彙整：文末以條理分明的對照表整合異同點，展現答題的系統性與結構完整度。

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選項分析

本題為國家考試申論題型，無選項。答題時須依評分規準將各子題細分條列，以論述搭配綜合對照表呈現。

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解題技巧

1. 掌握破題關鍵字：光達必提「主動式、ToF、GNSS/IMU、直接地理定位、多重回波、植被穿透」；影像密點雲必提「被動式、共線條件、SfM-MVS、SGM、同名點匹配、依賴地表紋理、基高比（$B/H$）」。
2. 避免單向陳述：題目要求「比較異同點」，若只單純分別介紹光達與影像的定義，得分將大打折扣。必須採取「同者歸納、異者對比」的寫法。
3. 精準點出高程精度機制差異：

• 光達高程主要受測距儀及局部 GNSS/IMU 垂直分量控制，垂直精度通常優於平面精度。
• 影像匹配高程精度受幾何交會基高比影響，其理論高程誤差為 $\sigma_Z \approx \frac{Z}{B} \cdot \frac{Z}{f} \cdot \sigma_{px}$，通常垂直精度略遜於平面精度。

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【答案】

光達（LiDAR）技術與影像密集匹配（Dense Image Matching, DIM）技術皆為當前產製三維密點雲的主流手段，兩者於「方法」、「程序」及「點雲品質」之異同點剖析如下：

一、 方法之異同點比較

1. 相同點

• 空間三維資訊重建目的相同：兩者最終目標皆在獲取物體表面大量且連續的離散三維坐標點集 $(X, Y, Z)$，以構建數值地表模型（DSM）或實景三維模型。
• 依賴坐標轉換理論：皆需透過坐標轉換矩陣，將感測器局部坐標系轉換至國家地圖坐標系（如 TWD97）。

2. 相異點

• 感測原理與能量來源：
• 光達：屬主動式遙測。感測器主動發射高頻雷射脈衝，量測光訊號往返目標物的飛行時間（$\text{ToF}$）以解算距離，不受日照條件影響，可夜間作業。
• 影像：屬被動式遙測。感測器接收地表反射之太陽光成像，完全依賴外界光照與地表輻射亮度環境，夜間或光線極度不足時無法作業。
• 三維幾何交會解算機制：
• 光達：採直接空間測距交會。由雷射發射方向（掃描鏡角度）與脈衝測距值組成局部極坐標向量，結合機載 GNSS/IMU 所提供的即時位置與姿態，直接解算出目標點之絕對坐標（直接地理定位，Direct Georeferencing）。
• 影像：採光學多視角幾何交會。基於中心投影與共線條件式，透過影像間同名點匹配（Matching），以多光線交會（Forward Intersection）解求空間三維點位。

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二、 程序之異同點比較

核心觀念

本題旨在考驗考生對航空攝影測量（Photogrammetry）中「地面控制點（Ground Control Points, GCPs）」之工程角色、幾何理論及施測規劃原則的掌握程度。其核心原理涵蓋：

1. 共線條件方程式（Collinearity Condition Equation）與光束法平差（Bundle Block Adjustment）：建立像點坐標、相機透鏡中心投影中心及對應地面物方點之幾何轉換關係，以控制點作為平差求解之「絕對基準（Datum）」。
2. 空間七參數相似轉換（7-Parameter Helmert Transformation）：將攝影測量局部相對立體模型轉換至國家大地坐標系統（如 TWD97/TWVD2001），提供旋轉（$\omega, \phi, \kappa$）、平移（$\Delta X, \Delta Y, \Delta Z$）與尺度因子（$S$）之絕對定向依據。
3. 誤差傳播與模型變形控制：光學航帶或航塊在空中三角接合時，隨機誤差與系統性誤差累積會造成航帶產生彎曲（Bending）與扭轉（Twisting）；控制點之幾何配置直接決定網形幾何強度（Geometry Strength），用以箝制誤差發散。

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解題方法

本題為標準的觀念綜合申論題，切入點應分為三大邏輯主軸依序論述：

1. 控制點的功能剖析：從「絕對定向」、「空中三角測量平差約束」、「相機自我檢校（Self-Calibration）」及「成果品質驗證（檢核點）」四大層面切入，層次分明說明其物理與幾何意義。
2. 控制點品質之選定標準：從「幾何精確度（對比成圖規範與 GSD）」、「影像可判讀性與對比度」、「點位實體穩定性與現地保存性」三方面切入。
3. 控制點分布之規劃策略：從「全區幾何包絡（防止外推）」、「航帶/航塊間隔布設」、「垂直高差涵蓋（防止高程外推）」以及「傳統航攝與 GNSS/IMU 輔助航攝之差異」進行系統化論述。

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選項分析（命題構面剖析）

本題非選擇題，為國家考試典型三段式專業申論題，閱卷評分構面與得分要點分析如下：

• 第一構面：控制點的功能（約佔 30% 分數）：
• 必須寫出「坐標系統基準賦予（絕對定向）」與「抑制空三平差之變形累積（彎曲與扭轉）」。
• 須額外提及「相機檢校/自檢校參數解算」與「獨立檢核點（Check Points）對成果精度的檢驗」，方能展現名師級的答題完整性。
• 第二構面：控制點品質的選定（約佔 35% 分數）：
• 關鍵在於「精度等級與比例尺（或 GSD）的匹配關係」（如控制點誤差應小於容許成圖中誤差的 $1/3 \sim 1/5$）。
• 必須兼顧「影像識別品質（標靶/自然特徵點之反差、清晰度）」與「地基物理穩定度」。
• 第三構面：控制點分布的選定（約佔 35% 分數）：
• 核心得分關鍵字是「周邊包絡（Perimeter Control）」與「嚴禁外推（Extrapolation）」。
• 必須區分平面控制與高程控制在航帶上的布設特性（高程點須成對分布於航線兩側），並點出高程起伏劇烈處應兼顧最高與最低點。

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解題技巧

1. 破除名詞混淆（陷阱提醒）：許多考生將「控制點（GCP）」與「檢核點（Check Point, CP）」混為一談。在空三平差中，控制點參與方程式最小二乘平差計算；檢核點絕不可參與平差，僅用於平差後獨立評定精度。答題時主動區分兩者，是獲取高分的顯著亮點。
2. 記憶口訣：

• 品質選定四字訣：「準、顯、穩、合」（精度高、影像顯明、地基穩固、坐標系統符合）。
• 分布原則四字訣：「包、勻、跨、控」（外圍包絡、內部均勻、跨帶成對、起伏受控）。

3. 區分時代背景：可補充「GNSS/IMU 直接地理定位（Direct Georeferencing / Integrated Sensor Orientation, ISO）」時代的差異，說明現代航攝雖大幅減少內部點位需求，但測區邊界與檢核點仍不可或缺。

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【答案】

一、 控制點於攝影測量任務中的功能

地面控制點（Ground Control Points, GCPs）指其物方坐標（$X, Y, Z$）在特定國家坐標系統中為已知且可精確指認於航片上的實體點位，其主要功能如下：

核心觀念

本題旨在評量考生對攝影測量中兩大核心數學轉換模型——共線方程式（Collinearity Equations）​與直接線性轉換式（Direct Linear Transformation, DLT）​之理解程度，涵蓋其數學理論本質、幾何物理意義、未知參數結構，以及在「方位解算（Orientation）」與「物點定位（Positioning）」工程應用上的適配角色與精度表現。

1. 共線條件與共線方程式：

• 幾何定義：物方空間點 $P(X, Y, Z)$、攝影機透鏡投影中心 $O(X_L, Y_L, Z_L)$ 及像片上對應的像點 $p(x, y, -f)$，三者在空間中恆在一條直線上。
• 數學式： $x - x_0 = -f \frac{m_{11}(X - X_L) + m_{12}(Y - Y_L) + m_{13}(Z - Z_L)}{m_{31}(X - X_L) + m_{32}(Y - Y_L) + m_{33}(Z - Z_L)}$ $y - y_0 = -f \frac{m_{21}(X - X_L) + m_{22}(Y - Y_L) + m_{23}(Z - Z_L)}{m_{31}(X - X_L) + m_{32}(Y - Y_L) + m_{33}(Z - Z_L)}$ 式中 $(x_0, y_0, f)$ 為內方位元素（IOP）；$(X_L, Y_L, Z_L)$ 與旋轉矩陣 $M = [m_{ij}]_{3 \times 3}$（由三個旋轉角 $\omega, \varphi, \kappa$ 組成）為外方位元素（EOP）。

2. 直接線性轉換式（DLT）：

• 代數定義：由 Abdel-Aziz 與 Karara 於 1971 年提出，基於透視射影幾何，直接建立二維像片坐標 $(x, y)$ 與三維物方空間坐標 $(X, Y, Z)$ 之間的代數直接映射關係。
• 數學式： $x = \frac{L_1 X + L_2 Y + L_3 Z + L_4}{L_9 X + L_{10} Y + L_{11} Z + 1}$ $y = \frac{L_5 X + L_6 Y + L_7 Z + L_8}{L_9 X + L_{10} Y + L_{11} Z + 1}$ 式中 $L_1 \sim L_{11}$ 為 11 個線性轉換參數，隱含了相機的 3 個內方位元素與 6 個外方位元素（共 9 個實體幾何自由度）。

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解題方法

本題為申論比較題，作答切入點應分為三大部分：

1. 相同點與相異點之對比（以條列與對照表呈現，建立清晰架構）。
2. 方位解算任務中兩者之角色與成效。
3. 物點定位任務中兩者之角色與成效。

一、共線方程式與直接線性轉換式之比較

（一）相同處

1. 投影幾何基礎相同：兩者本質上皆立足於「透視投影（中央投影，Perspective Projection）」的射影幾何原理。
2. 坐標轉換目標相同：兩者目的皆在建立二維像片平面量測坐標 $(x, y)$ 與三維物方空間坐標 $(X, Y, Z)$ 之間的對應數學關係。
3. 任務涵蓋範圍相同：兩者均可用於解求感測器方位參數（空間後方交會／系統標定）以及反求未知點三維空間坐標（空間前方交會／立體定位）。
4. 誤差補償彈性相同：兩者均可外加透鏡對稱畸變（Radial Distortion）與偏心畸變（Decentering Distortion）多項式參數進行精細修正。

（二）相異處

比較項目	共線方程式（Collinearity Equations）	直接線性轉換式（DLT）
數學模型性質	嚴密物理幾何模型（Rigorous Physical Model）	代數投影轉換模型（Algebraic Projective Model）
參數物理意義	物理意義明確：直接包含 3 個內方位元素 $(x_0, y_0, f)$ 及 6 個外方位元素 $(X_L, Y_L, Z_L, \omega, \varphi, \kappa)$。	物理意義抽象：11 個轉換參數 $L_1 \sim L_{11}$ 為內、外方位幾何元素之代數組合，單一參數無直觀物理意義。
求解演算法	非線性方程式：必須利用泰勒級數展開進行線性化，求解極度依賴初值（Initial Values）​進行疊代運算。	形式線性方程式：可直接整併為針對 $L$ 參數的線性最小二乘法觀測方程式，完全不需提供初值，一次直接求解。
相機檢定依賴	必須預先取得精密的相機檢定資料（內方位元素），或藉由自校正光束法平差同時解算。	無須預先實施相機檢定，極適合非量測型相機或未經定標的動態影像。
控制點需求條件	單張後方交會至少需 3 個不共線之空間控制點（提供 6 條方程式求解 6 個 EOP）。	至少需 6 個立體非共面之空間控制點（11 個未知數，需至少 11 條方程式；每點提供 2 式，6 點共 12 式）。
旋轉正交性約束	旋轉矩陣 $M$ 天生具備嚴格的正交條件約束（$M M^T = I$），幾何剛性高。	11 個 $L$ 參數隱含 9 個物理自由度，未加約束時各參數間非獨立，未強制滿足正交條件。
幾何可靠度與精度	整體網形幾何結構嚴密，抗外推能力強，精度極高。	在控制點包絡（Convex Hull）範圍內內插精度高，但外推區域之幾何變形劇烈、精度較差。

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二、用於「方位解算任務」之角色及成效

方位解算任務係指利用已知物方坐標之控制點及其像點坐標，求解拍攝時相機的位置、姿態及感測器內部幾何參數（即後方交會或標定）。

1. 直接線性轉換式（DLT）的角色與成效：

• 角色：
• 非量測相機的快速標定工具：在近景攝影測量、工業檢測、生物力學運動分析或監控影像中，相機未經精密實驗室檢定且隨機變動，DLT 扮演即時

核心觀念

1. 雙像空間前方交會（Space Forward Intersection）自由度分析：

• 觀測量：已知兩張立體相片之外方位元素（EOP）及內方位元素（IOP），量測物方點 $P$ 在左、右影像上的像點坐標 $(x_1, y_1)$ 與 $(x_2, y_2)$，共有 $n = 4$ 個觀測量（4 個共線方程式）。
• 未知數：物方點的三維空間坐標 $(X_P, Y_P, Z_P)$，共有 $u = 3$ 個未知數。
• 多餘觀測數（自由度）：$r = n - u = 4 - 3 = 1$。

2. 核面幾何（Epipolar Geometry）與視差（Parallax）特性：

• 沿基線方向（左右視差 $p = x_1 - x_2$）：兩投影中心與物方點構成「核面（Epipolar Plane）」。在核面內部，兩條投影光線只要不平行，必然相交於一點。左右視差大小直接對應物方點的深度或高程 $Z$。
• 垂直基線方向（上下視差 $q = y_1 - y_2$）：反映兩條光線是否位於同一個核面上，即空間兩射線是否相交的「共面條件（Coplanarity Condition）」。

3. 最小二乘平差殘差分布原理：

• 最小二乘平差中，觀測量之殘差（改正數 $V$）僅能出現在幾何超定（Over-determined）的方向上。若某方向的量測變化能被未知參數無拘束地完全吸收，則該方向之幾何矛盾為零，平差殘差恆為零。

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解題方法

第一子題：為何沿基線方向之像點量測誤差不反映在改正數（殘差）上？

1. 幾何維度分解： 雙像空間前方交會的多餘觀測數為 $r = 4 - 3 = 1$，代表整體系統僅存在 1 個幾何幾何檢核條件，該條件即為「左相機透鏡中心、右相機透鏡中心、左像點、右像點與地面點五點共面（共面條件）」。
2. 核面內的完全吸收效應： 以常態攝影（Normal Case）為例，物方點坐標與視差的幾何關係式為： $X = \frac{B}{p} x_1, \quad Y = \frac{B}{p} y_1, \quad Z = \frac{B \cdot f}{p}$ 其中 $B$ 為基線長，$f$ 為主焦距，$p = x_1 - x_2$ 為左右視差（沿基線方向）。 由微分關係可得高程變化量： $dZ = -\frac{B \cdot f}{p^2} dp = -\frac{Z^2}{B \cdot f} dp$ 在核面（包含基線與光線的二維平面）內，兩道投影射線是由 2 個參數（$X, Z$）所決定。由於未知數 $Z$（高程）未受任何外部拘束，當左右像點在沿基線方向存在量測誤差 $\Delta x$ 時，此誤差量 $\Delta p = \Delta x_1 - \Delta x_2$ 會百分之百被地面點的高程 $Z$（及水平位置 $X, Y$）的平移所完全吸收。
3. 殘差的投影空間限制： 在平差模型 $V = AX - L$ 中，設計矩陣 $A$ 在核面內的行向量完全張成（span）了沿基線方向的觀測變化空間。因此，正交投影至殘差空間 $(I - A(A^T P A)^{-1} A^T P)$ 時，基線方向的誤差分量落在零空間（Null Space），改正數向量中該方向的值恆等於 0。 平差所產生的唯一殘差，全部反映在垂直基線方向（即上下視差 $q$，兩射線在空間中是否產生歪斜不相交），故沿基線方向的量測誤差絕不會顯現在像點坐標的改正數上。

第二子題：針對前方交會，如何有效修正沿基線方向的量測誤差？

由於雙像前方交會在單一基線方向無內部檢核能力，必須藉由「增加獨立約束」或「破除單一幾何限制」來修正與抑制該誤差：

1. 採用多像前方交會（Multi-ray Forward Intersection）：

• 增加攝影重疊度（如航向重疊率提高至 80%、或具旁向重疊航線），使同一地面點出現在 3 張或更多影像中。